江苏省盐城市2018届高三年级第一学期期中考试数学(文)

盐城市 2018 届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 A ? ?1,3,6? , B ? ?1,2? ,则 A U B = 2.函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为
?







. ▲ .

3.设幂函数 y ? x 的图象经过点 (2, 2) ,则 ? 的值为

4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 , b ? 3 , B ? 5.若命题“ ?x ? R , x ? ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是
2

?
3

,则 A = ▲ .





2 ,则数列 {an } 的前 6 项的和 S6 ? ▲ . 3 r r r r r r 7.设向量 a ? (2,3) , b ? (3,3) , c ? (7,8) ,若 c ? xa ? yb( x, y ? R) ,则 x ? y = ▲
6.在等差数列 {an } 中,若 a2 ? a5 ? 8.若函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 3) x ? ln x 在区间 (1, 2) 上存在唯一的极值点,则实数 a 的取值范围 为 ▲ .



9.设菱形 ABCD 的对角线 AC 的长为 4,则 AB ? AC ?

uu u r uuu r



. y
?

10.设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 A , ? , ? 为常数, 且 A ? 0 ,? ? 0 , ?

?
2

?? ?

?
2

)的部分图象如图所示,

? 3

2
2? 3

O
-2

x

6 ? ? 若 f (? ) ? ( 0 ? ? ? ) ,则 f (? ? ) 的值为 5 2 6





第 10 题图

x 11. 设函数 f ( x ) 是以 4 为周期的奇函数, 当 x ? [?1, 0) 时,f ( x) ? 2 , 则 fo ( lg 2 0 )2

?





高三数学试题第 1 页(共 4 页)

12.设函数 f ( x) ?| x ? a | ? 围是 ▲ .

9 (a ? R ) ,若当 x?(0 4 恒成立,则 a 的取值范 ,? ? ) 时,不等式 f ( x)… x

13.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 A ? 于点 D ,其中 AD ? 3 3 ,则 S?ABC = ▲ .

?
3

, a ? 4 7 ,角 A 的平分线交边 BC

i j? 4 , 14. 设数列 ?an ?共有 4 项, 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4… 若对任意的 i, j (1剟 且 i, j ? N * ) , 0, ai ? a j
使得 iai ? ja j ;③数列 ?an ?中一定存在一项为 0. 其中,真命题的序号有 为正确命题的序号都写上) ▲

i ? j 4, 仍是数列 ?an ?中的某一项. 现有下列命题:①数列 ?an ? 一定是等差数列;②存在 1剟
. (请将你认

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? 3 , cos B ? (1)求 b 的值; (2)求 sin( A ? B) 的值.

uu r uuu r 7 ,且 BA ? BC ? 7 . 9

16. (本小题满分14分) 记函数 f ( x) ? lg(1 ? ax ) 的定义域、值域分别为集合 A, B .
2

(1)当 a ? 1 时,求 A I B ; (2)若“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

高三数学试题第 2 页(共 4 页)

17. (本小题满分 14 分) 设直线 x ? ? 是函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象的一条对称轴. 6 (1)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时 x 的值; (2)求函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的减区间.

?

18. (本小题满分16分) 2016 年射阳县洋马镇政府决定投资 8 千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划 从 2017 年起,在相当长的年份里,每年继续投资 2 千万元用于此项目. 2016 年该项目的净收入 为 5 百万元(含旅游净收入与菊花产业净收入) ,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为 上一年的 1.5 倍. 记 2016 年为第 1 年, f ( n) 为第 1 年至此后第 n(n ? N * ) 年的累计利润(注: 含第 n 年,累计利润 = 累计净收入-累计投入,单位:千万元) ,且当 f ( n) 为正值时,认为该 项目赢利. (1)试求 f ( n) 的表达式; (2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由. (参考数据: ( ) ? 5 , ln 2 ? 0.7 , ln 3 ? 1.1 )
4

3 2

高三数学试题第 3 页(共 4 页)

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? ?1 , a2 ? 1 ,且 an ? 2 ? (1)求 a5 ? a6 的值; (2)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项的和,求 Sn ; (3)设 bn ? a2n?1 ? a2n ,是否存正整数 i, j, k (i ? j ? k ) ,使得 bi , b j , bk 成等差数列?若存在, 求出所有满足条件的 i, j , k ;若不存在,请说明理由.

2 ? (?1) n an (n ? N * ) . 2

20. (本小题满分16分) 设函数 f ( x) ? m ln x(m ? R) , g ( x) ? cos x .

1 在 (1, ??) 上单调递增,求 m 的取值范围; x 3? ) ,都有 ? ( x)… 0 ,求 m 的取值范围; (2)设函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若对任意的 x ? (? , 2 (3)设 m ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 是函数 f ( x ) 与 g ( x) 的一个交点,且函数 f ( x ) 与 g ( x) 在点 P 处
(1)若函数 h( x ) ? f ( x ) ? 的切线互相垂直,求证:存在唯一的 x0 满足题意,且 x0 ? (1,

?

2

).

高三数学试题第 4 页(共 4 页)

数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. ?1,2,3,6? 8. ( ? 2. ? 9. 8 3.

15 , ?6) 2

1 ? 4. 5. (??, ?2) U (2, ??) 6.2 2 2 4 4?3 3 10. 11. ? 12. (??, 2] 13. 12 3 5 5 7 ? 7 ,解得 c ? 3 . 9
2 2

7.

8 3

14.①②③

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.解: (1)由 BA ? BC ? 7 ,得 ac cos B ? 7 ,即 3c ?
2 2 2

uu r uuu r

………………3 分

在 ?ABC 中,由余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 所以 b ? 2 . (2)因为 cos B ?

7 ? 4, 9

………………6 分

7 4 2 ,所以 B 为锐角,故 sin B ? . ………………8 分 9 9 b2 ? c 2 ? a 2 22 ? 32 ? 32 1 ? ? , 又由余弦定理,得 cos A ? 2bc 2? 2?3 3 2 2 所以 A 为锐角,且 sin A ? . ………………11 分 3 2 2 7 1 4 2 10 2 所以 sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? .………………14 分 ? ? ? ? 3 9 3 9 27
……………2分 ……………4分 ……………6分 ……………8分 ……………9分 ……………11分 ……………13分 ……………14分

16.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? lg(1 ? x2 ) ,由 1 ? x 2 ? 0 ,得 A ? (?1,1) . 又 0 ? 1 ? x ? 1 ,所以 B ? (??,0] .
2

故 A I B ? (?1,0] . (2)“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件 ? B ? A . ①当 a ? 0 时, A ? R , B ? ?0? ,适合题意; ②当 a ? 0 时, A ? R , B ? [0, ??) ,适合题意; 1 1 , ) , B ? (??,0] ,不适合题意. ③当 a ? 0 时, A ? ( ? a a 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . 17.解: (1)因为直线 x ? ? 所以 f (?

?
6
?
6

是函数 f ( x) 的图象的对称轴, ……………2分

?
6

? x) ? f (?

?
6

? x) 对 x ? R 恒成立.
? x) ? sin(?

所以 sin(?

?
6

? x) ? a cos(?

?
6

? x) ? a cos(?

?
6

? x) 对 x ? R 恒成立,

高三数学试题第 5 页(共 4 页)

即 (a ? 3)sin x ? 0 对 x ? R 恒成立,所以 a ? ? 3 .

……………6分

从而 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) . ……………8分 3 ? ? 5? 故当 x ? ? 2k? ? ,即 x ? 2k? ? ……………10分 (k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值为2. 3 2 6 (说明:其它方法的,类似给分) ? ? 3? 5? 11? (2)由 2k? ? 剟 ,解得 f ( x) 的递减区间为 [2k? ? x? 2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) . …12分 2 3 2 6 6 5? 从而 f ( x) 在 [0, ? ] 上的减区间为 [ , ? ] .(注:区间的形式不唯一) ……………14分 6 18.解: (1)由题意知,第 1 年至此后第 n(n ? N * ) 年的累计投入 为 8 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 6 (千万元) , 第 1 年至此后第 n(n ? N ) 年的累计净收入
*

?

……………3 分

1 3 n (( ) ? 1) 1 1 31 1 3 2 1 3 n ?1 2 2 3 为 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ??? ? ? ( ) ? ? ( )n ? 1 (千万元). ………7 分 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ?1 2 3 n 3 n 所以 f (n) ? ( ) ? 1 ? (2n ? 6) ? ( ) ? 2n ? 7 (千万元). ……………8 分 2 2 3 n ?1 3 n 1 3 n (2)方法一:因为 f (n ? 1) ? f (n) ? [( ) ? 2( n ? 1) ? 7] ? [( ) ? 2n ? 7] ? [( ) ? 4] , 2 2 2 2 所以当 n? 3 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 ,故当 n? 4 时, f ( n) 递减; 4 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 ,故当 n… 4 时, f (n) 递增. 当 n… ……………12 分 15 3 27 33 ? 0 , f (7) ? ( )7 ? 21 ? 5 ? ? 21 ? ? ? 0 , 又 f (1) ? ? 2 2 8 8 3 8 f (8) ? ( ) ? 23 ? 25 ? 23 ? 2 ? 0 . 2
所以,该项目将从第 8 年开始并持续赢利. 答:该项目将从 2023 年开始并持续赢利. ……………15 分 ……………16 分

1) ,则 f ?( x) ? ( ) ln 方法二:设 f ( x) ? ( ) ? 2 x ? 7( x…
x x

3 2

3 2

3 ?2, 2

2 2 2 ? ? ? 5 ,所以 x ? 4 . 3 ln 3 ? ln 2 1.1 ? 0.7 ln 2 从而当 x ? [1, 4) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递减; 当 x ? (4, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递增. 15 3 33 ? 0 , f (7) ? ( )7 ? 21 ? ? ? 0 , 又 f (1) ? ? 2 2 8 3 f (8) ? ( )8 ? 23 ? 25 ? 23 ? 2 ? 0 . 2
令 f ?( x) ? 0 ,得 ( ) x ?
高三数学试题第 6 页(共 4 页)

3 2

……………12 分

所以,该项目将从第 8 年开始并持续赢利. 答:该项目将从 2023 年开始并持续赢利. 19.解: (1)由题意,当 n 为奇数时, a n ? 2 ?

……………15 分 ……………16 分

1 3 a n ;当 n 为偶数时, a n ? 2 ? a n . …………2 分 2 2 1 1 3 9 又 a1 ? ?1 , a2 ? 1 ,所以 a3 ? ? , a5 ? ? ; a 4 ? , a 6 ? ,即 a5 ? a6 ? 2 . …………4 分 2 4 2 4
1 3 ?1 ? (1 ? ( ) k ) 1 ? (1 ? ( ) k ) 3 n 1 n 3 k 1 k 2 2 2 ? 2[( ) ? ( )2 ] ? 4 . ? ? ? 2[( ) ? ( ) ] ? 4 1 3 2 2 2 2 1? 1? 2 2 3 1 3 ②当 n ? 2 k ? 1 时, Sn ? S2 k ? a2 k ? 2[( )k ? ( )k ] ? 4 ? ( )k ?1 2 2 2 ?1 ?1 3 n2 1 n2 3 k ?1 1 k ?1 ? 3? ( ) ? 2 ? ( ) ? 4 ? 3 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 4 . 2 2 2 2 n n ? 3 1 2 ? ( ) 2 ? 2 ? ( ) 2 ? 4, n为偶数, n ? N * , ? ? 2 2 所以, S n ? ? n ?1 n ?1 ?3 ? ( 3 ) 2 ? 2 ? ( 1 ) 2 ? 4, n为奇数, n ? N * ? 2 2 ?

(2)①当 n ? 2k 时, Sn ? S2 k ? (a1 ? a3 ? ??? ? a2 k ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ??? ? a2 k ) ……………6 分

……………8 分

……………9 分

3? (3)由(1) ,得 bn ? a2n?1 ? a2n ? ? ? ?

?1? ?? ? ? 2? ? 2? ? j ,且 k , j ? Z ,所以 k… j ?1. 因为 k >

n ?1

n ?1

… 0 (仅 b1 ? 0 且 ?bn ? 递增). ……………10 分

j ? 2 时, bk… ①当 k… bj ?2 ,若 bi , b j , bk 成等差数列,则

bi ? 2b j ? bk? 2b j ? b j ? 2

j ?1 j ?1 ?? 3 ? j ?1 ? 1 ? j ?1 ? ?? 3 ? j ?1 ? 1 ? j ?1 ? 1 ?3? 7 ?1? ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 , 4 ?2? 4 ?2? ?2? ? ?2? ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? ?

此与 bn… 0 矛盾. 故此时不存在这样的等差数列. ②当 k ? j ? 1 时, bk ? b j?1 ,若 bi , b j , bk 成等差数列,则

……………12 分

?? 3 ? j ?1 ? 1 ? j ?1 ? ?? 3 ? j ? 1 ? j ? 1 3 3 1 bi ? 2b j ? bk ? 2b j ? b j ?1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ( ) j ?1 ? ? ( ) j ?1 , 2 2 ? 2? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 2 又因为 i ? j ,且 i, j ? Z ,所以 i? j ? 1 . 1 3 3 1 3 1 若 i? j ? 2 ,则 bi刡 b j ?2 ,得 ? ( ) j ?1 ? ? ( ) j ?1? ( ) j ?3 ? ( ) j ?3 , 2 2 2 2 2 2 3 j ?3 1 j ?3 ? j ?1. 得 ( ) ? 5 ? ( ) ? 0 ,矛盾,所以 i = 2 2 ?? 3 ? j ?1 ? 1 ? j ?1 ? ?? 3 ? j ? 2 ? 1 ? j ? 2 ? ?? 3 ? j ? 1 ? j ? 从而 2bj ? bj ?1 ? bj ?1 ,得 2 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? , ? 2? ? ? 2? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? j ?2 ?2. 化简,得 3 ? 1 ,解得 j = ……………15 分 从而,满足条件的 i, j , k 只有唯一一组解,即 i ? 1 , j ? 2 , k ? 3 . ……………16 分

高三数学试题第 7 页(共 4 页)

1 m 1 ,所以 h?( x) ? ? 2 . x x x m 1 1 0 ,即 m… 对 x ? (1, ??) 恒成立. 由题意, h?( x) ? ? 2 … ……………2 分 x x x 1 1. 又当 x ? (1, ??) 时, ? 1 ,所以 m… ……………4 分 x m (2)因为 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? m ln x ? cos x ,所以 ? ?( x) ? ? sin x . x 3? ) ,所以 ln x ? 0 , cos x ? 0 ,故 ? ( x) ? 0 ,不合题意.…6 分 ①当 m? 0 时,因为 x ? (? , 2 3? 3? ) ,所以 ? ?( x) ? 0 ,故 ? ( x) 在 (? , ) 上单调递增. ……8 分 ②当 m ? 0 时,因为 x ? (? , 2 2 3? 1 0, 0 对任意的 x ? (? , ) 都成立, 0, 欲 ? ( x)… 则需 ? (? )… 所以 m ln ? ? cos ? … 解得 m… . 2 ln ? 1 , ?? ) . 综上所述, m 的取值范围是 [ ……………10 分 ln ? m (3)证明:因为 f ?( x ) ? , g ?( x) ? ? sin x ,且函数 f ( x ) 与 g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线互相垂 x m 直,所以 ? (? sin x0 ) ? ?1,即 m sin x0 ? x0 (*). x0 又点 P( x0 , y0 ) 是函数 f ( x ) 与 g ( x) 的一个交点,所以 m ln x0 ? cos x0 (**).
20.解: (1)由题意,知 h( x) ? m ln x ? 由(*) (**)消去 m ,得 x0 ln x0 ? sin x0 cos x0 ? 0 . 所以在 (0,1] 上没有 x0 适合题意. ②当 x0 ? (1, ??) 时,设 r ( x) ? x ln x ? sin x cos x , x ? (1, ??) . 所以函数 r ( x) 在 (1, ??) 上至多有一个零点. 因为 r (1) ? ln1 ? sin1cos1 ? ? sin1cos1 ? 0 , r ( ) ? 则 r ?( x) ? ln x ? 1 ? cos 2 x ? 0 ,即函数 r ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, ……………12 分 ……………13 分 ①当 x0 ? (0,1] 时,因为 m ? 0 ,所以 m ln x0? 0 ,且 cos x0 ? 0 ,此与(**)式矛盾.

?

?
2

2

ln

?
2

? sin

?
2

cos

?
2

?

?
2

ln

?
2

?0,

且 r ( x) 的图象在 (1, ??) 上不间断,所以函数 r ( x) 在 (1,

?
2

) 有唯一零点.

即只有唯一的 x0 ? (1, ??) ,使得 x0 ln x0 ? sin x0 cos x0 ? 0 成立,且 x0 ? (1, 综上所述,存在唯一的 x0 ? (0, ??) ,且 x0 ? (1,

?
2

).

?
2

).

……………16 分

高三数学试题第 8 页(共 4 页)


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