【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布

【高中数学】离散型随机变量的均值与方差、正态分布 【知识讲解】 1.若离散型随机变量 ? 的分布列为 X P (1)则称 E ? = (2)把 变量 ? 的 ,记作 x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 。 为随机变量 ? 的均值,也称为期望,它反映了离散型随机变量取值的 叫做随机变量方差, D ? 的算术平方根 D ? 叫做随机 。随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 偏离于均值的 平均程度 。其中标准差与随机变量本身有 相同单位 。 2.均值与方差的计算公式 (1)若 ? =a ? +b(a,b 为常数),则 E? =E(a ? +b)=______________;D? =D(a ? +b)=____________; (2)若 ? 服从两点分布,则 E ? = ,D ? = ; ,D ? = 。 (3)若 X 服从二项分布,即 ? ~ B ( n , p ) ,则 E ? = 3.函数 ? ? ,? ( x ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线。 4.对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足 P ( a ? X ? b ) ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , 则称 X 的分布为正态分布,正态分布完全由 参数 确定。因此正态分布常记作 ,如果 X 服从正态分布,则记为 。 5.正态分布的特点: (1)曲线在 (2)曲线关于直线 (3)曲线在 x ? ? 时 ; 对称; ; ,表示总体的分布越 ; ? 越小, (4)当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线 曲线 ,表示总体的分布越 。 【巩固练习】离散型随机变量的均值与方差 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.已知 X 的分布列为 X P -1 1 2 0 1 3 1 1 6 7 ,且 Y=aX+3,E(Y)= ,则 a 的值为( ) 3 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 -2 -1 1 1 1 1 P m n 12 12 6 12 1 其中 m,n∈[0,1),且 E(X)= ,则 m,n 的值分别为( ) 6 1 1 1 1 1 1 1 1 A. , B. , C. , D. , 12 2 6 6 4 3 3 4 3.(2010· 全国)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需要再补种 2 粒,补种 第 1 页 的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 A.3· 2 -2 ) C.300 C.3· 2 -10 B.200 B.2 ) B.5.25 -4 D.400 ) -8 4.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( D.2 5.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数 学期望为( A.5 C.5.8 D.4.6 二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中任取 3 件,若 ξ 表示取到次品的个数,则 E(ξ)=______. 7.(2009· 上海)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随机变量 ξ 表示选出的志愿者中 女生的人数,则数学期望 E (ξ)=__________(结果用最简分数表示). 8.(袋中有 3 个黑球,1 个红球.从中任取 2 个,取到一个黑球得 0 分,取到一个红球得 2 分,则所得分数 ξ 的数学期望 E(ξ)=________. 9.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设 ξ 为取得红球的次数,则 ξ 的期 望 E(ξ)=________. 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)袋中有相同的 5 个球,其中 3 个红球,2 个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球 都被摸到时,即停止摸球,记随机变量 ξ 为此时已摸球的次数,求: (1)随机变量 ξ 的概率分布列; (2)随机变量 ξ 的数学期望与方差. 11.(14 分)一袋子中有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球,从袋子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一 个红球得 2 分,取到一个黑球得 1 分. (1)若从袋子里一次取出 3 个球,求得 4 分的概率; (2)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸 2 次,求所得分数 ξ 的分布列及数学期望. 12.(14 分)某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、 第 2 页 周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何 一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数时称为 满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表: 信息技术 周一 周三 周五 1 4 1 2 1 3 生物 1 4 1 2 1 3 化学 1 4 1 2 1 3 物理 1 4 1 2 1 3 数学 1 2 2 3 2 3 (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 【巩固练习】均值与方差、正态分布 基础热身 1.下面说法正确的是( ) A.离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的概率的平均值 B.离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平 C.离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的平均水平 D.离散型随机变

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