广东高考文科数学近5年试题分类汇编(2007-2011)

广东高考文科数学近 5 年试题分类汇编
1.集合与简易逻辑 2007 5 2008 5 2009 5分 2010 10 分 2011 5

(2007 年高考广东卷第 1 小题)已知集合 M ? {x 1 ? x ? 0,N ? {x A. {x ?1≤ x ? 1} B. {x x ? 1} C. {x ?1 ? x ? 1}

1 ? 0} ,则 M ? N ? (C 1? x



D. {x x ≥ ?1}

(2008 年高考广东卷第 1 小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加 北京奥运会比赛的运动员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合 C={参加北京奥运会比赛的女运动 员},则下列关系正确的是(D ) A. A ? B B. B ? C C. B∪C = A D. A∩B = C (2009 年高考广东卷第 1 小题).已知全集 U=R,则正确表示集合 M= {-1,0,1} 和 N= { x |x +x=0} 关系的韦恩 (Venn)图是
2

2 【答案】B【解析】由 N= { x |x +x=0} {?1, 0} 得 N ? M ,选 B.

(2010 年高考广东卷第 1 小题)若集合 A={0,1,2,3} B={1,2,4} , ,则集合 A ? B=( A.) A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0}

(2010 年高考广东卷第 8 小题) “ x >0”是“ 3 x2 >0”成立的( A.) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 w_w C.非充分非必要条件 (2011 年高考广东卷第 2 小题) D.充要条件

2 2 已知集 A ? ( x, y ) x, y为实数,且x ? y ? 1 , B ? ( x, y ) x, y为实数,且x ? y ? 1 ,则 A ? B 的元素个数为(C)

?

?

?

?

A.4 2.复数 2007 5 2008 5

B.3 2009 5

C.2 2010

D. 1 2011 5

(2007 年高考广东卷第 2 小题)若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? ( D ) A. ?2 B. ?

1 2

C.

1 2

D.2

(2008 年高考广东卷第 2 小题)已知 0<a<2,复数 z = a + i(i 是虚数单位) ,则|z|的取值范围是( B ) A. (1,5) B. (1,3) C. (1, 5 )
n

D. (1, 3 )

(2009 年高考广东卷第 2 小题)下列 n 的取值中,使 i =1(i 是虚数单位)的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4
4

D .n=5

【答案】C 【解析】因为 i ? 1 ,故选 C.
-1-

(2011 年高考广东卷第 1 小题)设复数 z 满足 iz = 1,其中 i 为虚数单位,则 z = (A) A.- i B.i C.- 1 D.1 3.向量 2007 5 2008 5 2009 5 2010 5 2011 5

?? ? ? ? ? ?? ? ? (2007 年高考广东卷第 4 小题)若向量 a,满足 a ? b ? 1 , a 与 b 的夹角为 60° ,则 a a ? a b ? ( B ) b · ·
A.

1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D.2

(2008 年高考广东卷第 3 小题)已知平面向量 a =(1,2) b =(-2,m) , ,且 a ∥ b ,则 2 a + 3 b =(B A. (-5,-10) B. (-4,-8) C. (-3,-6) D. (-2,-4)

?

?

?

?

?

?



(2009 年高考广东卷第 3 小题)已知平面向量 a= x,1 ,b= , ( ) (-x, x 2) 则向量 a ? b A 平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴
2

D.平行于第二、四象限的角平分线

【解析】 a ? b ? (0,1 ? x2 ) ,由 1 ? x ? 0 及向量的性质可知,C 正确.

c (2010 年高考广东卷第 5 小题)若向量 a = 1,1) b = 2,5) c =(3,x)满足条件 (8 a - b )· =30, x = (C) ( , ( , 则
B.5 C.4 D.3

?

?

?

?

?

?

A. 6

(2011 年高考广东卷第 3 小题)已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (a ? ?b) / / c, 则? ? (B) A.

1 4

B.

1 2
2008 5

C.1

D. 2

4.框图 2007 5 2009 5 2010 5 2011

(2007 年高考广东卷第 7 小题)图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生 人数依次记为 A,A2, ,A (如 A2 表示身高(单位:cm)在 ?150155 ? 内的学生人数) . ? 10 , 1 图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图. 现要统计身高在 160~180cm 含 160cm, ( 不含 180cm) 的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( B ) A. i ? 9 B. i ? 8 C. i ? 7 D. i ? 6
人数/人

开始 输入 A,A2, ,A ? 10 1
600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195

s?0 i?4


i ? i ?1

s ? s ? Ai

输出s
否 结束 图2

身高/cm

图1
-2-

(2008 年高考广东卷第 13 小题)阅读下面的程序框图。若输入 m = 4,n = 3,则输出 a = _12___,i =__3___ 。 (注: 框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=” ) (2009 年高考广东卷第 11 小题)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投 进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 2 3 4 5 6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则 图中判断框应填 i ? 6 ,输出的 s= a1 ? a2 ? ? ? a6

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”), 图 1【答案】 i ? 6 , a1 ? a2 ? ? ? a6 【解析】顺为是统计该 6 名队员在最近三场比赛 中投进的三分球总数的程序框图,所图中判断框 应填 i ? 6 ,输出的 s= a1 ? a2 ? ?? a6 . (2010 年高考广东卷第 11 小题)某城市缺水问题 比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民 某年的月均用水量进行了抽样调查,其中 4 位居 民的月均用水量分别为 x1 , x4 (单位: ?, 吨). 根 据图 2 所示的程序框图,若 x1 , x2 , x3 , x4 , 分别为 1, 1.5 , 1.5 , 2 ,则输出的结果 s 为 5.函数 2007 24 分 2008 5分 2009 5分 2010 24 分 2011 15 分

3 2

.

(2007 年高考广东卷第 3 小题)若函数 f ( x) ? x3 ( x ?R) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是( B ) A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数 (2007 年高考广东卷第 5 小题)客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后 以 80km/h 的速度匀速行驶 1 上时到达内地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程 s 与 时间 t 之间关系的图象中,正确的是( C ) s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

s(km)
160 140 120 100 80 60

0

1

2

3

t(h) 0

1

2

3

t(h)

0

1 -3-

2

3

t(h) 0

1

2

3

t(h)

A.

B.

C.

D.

(2007 年高考广东卷第 21 小题)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ ?11] 上 , 有零点,求 a 的取值范围. 21解: 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 2 x ? 3 ,令 f ( x) ? 0 ? x ?

3 ? [?1,1] ,不符合题意, 故 a ? 0 2
f (?1) ? f (1) ? 0 解得 a ?

当 f ( x ) 在 [-1, 1]上有一个零点时, 此时 ?

?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 或 1 ? ?1 ? ? ?1 ? 2a ?

?3 ? 7 或1 ? a ? 5 2

当 f ( x)

? ?3 ? 7 ? ? 3 或a ? ?a ? ?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 2 2 在 [-1 , 1] 上 有 两 个 零 点 时 , 则 ? 解得 ? 1 ? 1 1 ? ?1 ??1 ? ? ?a ? ? 或a ? 2a 2 2 ? ? ? f (?1) ? f (1) ? 0 ? ?a ? 1或a ? 5 ? ?

7



a?

?3 ? 7 ?3 ? 7 或a ? 5 ;综上,实数 a 的取值范围为 (??, ] ? [1, ??) 2 2
3 ? 2x 的值域,令 2 x2 ?1

( 别 解 : 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ? 0 ? (2 x2 ?1)a ? 3 ? 2 x , 题 意 转 化 为 x ?[?1,1] 求 a ?

t ? 3 ? 2 x ? [1,5] 得 a ?

2 转化为勾函数问题) 7 t ? ?6 t

(2008 年高考广东卷第 8 小题)命题“若函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数,则 loga 2 ? 0 ”的 逆否命题是( )

A. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 B. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 C. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D. 若 loga 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数
x (2009 年高考广东卷第 4 小题)若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a a>0,且a ? 1 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? ( )

A. log2 x

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

x 【答案】A 【解析】函数 y ? a a>0,且a ? 1 的反函数是 f ( x) ? loga x ,又 f (2) ? 1 ,即 loga 2 ? 1 , ( )

所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log2 x ,选 A. (2010 年高考广东卷第 2 小题)函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 B
-4-

A.(2, ?? )

B.(1, ?? )

C.[1, ?? )

D.[2, ?? )

(2010 年高考广东卷第 3 小题)若函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 与 g ( x) ? 3x ? 3? x 的定义域均为 R ,则 D A. f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数 B. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

(2010 年高考广东卷第 20 小题)已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) , 其中常数 k 为负数, f ( x ) 在 且 区间 ?0, 2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) .w_w(1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c* *m20.解: (1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f (x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2) ∴ f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k

1 1 1 3 f ( x) ∴ f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k k 4k 1 1 1 (2)若 x ? [0,2] ,则 x ? 2 ? [2,4] f ( x ? 2) ? f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k 1 ∴当 x ? [2,4] 时, f ( x ) ? ( x ? 2)( x ? 4) k
由 f ( x) ? kf ( x ? 2) 得 f ( x ? 2) ? 若 x ? [?2,0) ,则 x ? 2 ? [0,2) 若 x ? [?4,?2) ,则 x ? 2 ? [?2,0) ∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2)

∴ f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)(x ? 4)

∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k 2 ( x ? 2)(x ? 4)

?k 2 ( x ? 2)(x ? 4), x ? [?3,?2) ? kx( x ? 2), x ? [?2,0) ? ∵ (2,3] ? [2,4],[?3,?2) ? [?4,?2) ∴当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)(x ? 4), x ? (2,3] ? k
2 ∵ k ? 0 ,∴当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k ( x ? 2)(x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f (x) 为增函数;

当 x ? [?2,0) 时,f ( x) ? kx( x ? 2) , 由二次函数的图象可知, x ? [?2,?1) 时,f (x) 为增函数, x ? [?1,0) 当 当 时, f (x) 为减函数; 当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [0,1) 时, f (x) 为减函数;当 x ? [1,2] 时,

f (x) 为增函数;

-5-

当 x ? (2,3] 时, f ( x ) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f (x) 为增函数。 k

(3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。 (可画图分析) ∵ f (?3) ? ?k 2 , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ? ∴当 ? 1 ? k ? 0 时, y max ? f (3) ? ?

1 k

1 , y min ? f (1) ? ?1; k

当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? f (3) ? 1, ymin ? f (?3) ? f (1) ? ?1; 当 k ? ?1 时, ymax ? f (?1) ? ?k , ymin ? f (?3) ? ?k 2 . (2011 年高考广东卷第 4 小题)函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. (1, ??)

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 C 1? x
C. (?1,1) ? (1, ??) D. (??, ??)

(2011 年高考广东卷第 10 小题)设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数

( f ? g )( x)和( f ? g )( x) : 对任意 x ? R,( f ? g )( x) ? f ( g ( x));( f ? g )( x) ? f ( x) g ( x), 则下列等式恒成立的是 B
A. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) C. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) B. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) D. (( f ? g ) ? h)( x) ? (( f ? h) ? ( g ? h))( x) -9 .

(2011 年高考广东卷第 12 小题)设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1.若f (a) ? 11, 则f (?a) ? 6.导数 2007 5分 2008 17 分 2009 19 分 2010 14 分 2011 14 分

(2007 年高考广东卷第 12 小题)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是

?1 ? ? e , ?? ? ? ?




(2008 年高考广东卷第 9 小题)设 a∈R,若函数 y ? e ? ax ,x∈R 有大于零的极值点,则(
x
x

【解析】题意即 e ? a ? 0 有大于 0 的实根,数形结合令 y1 ? ex , y2 ? ?a ,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得 C. a < -1/e D. a > -1/e (2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x(单位:元) 。 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购 地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积) 。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

? a ? 1 ? a ? ?1,选 A. A. a < -1 B. a > -1

f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ? f ? ? x ? ? 48 ? 10800 , x2

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ? x ? 10, x ? Z ? ? 2000 x x
令 f ? ? x? ? 0 得

x ? 15

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0
-6-

因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 (2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【答案】D 【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x

? ?? ? ( x ? 2)e

x

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

(2009 年高考广东卷第 21 小题)已知二次函数 y ? g (x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g (x) 在 x =-1 处取得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.
2 【解析】 (1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行? 2a ? 2 a ? 1

又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

?

b ? ?1 2
设 P xo , yo
2

, b?2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,

c ? m;

f ? x? ?

g ? x? m ? x? ?2, x x

?

?
m?? 2 ; 2

? m2 m? 2 2 2 2 2 则 PQ ? x0 ? ? y0 ? 2 ? ? x0 ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m2 ? 2 ?2 2m2 ? 2 ? 4 x0 ? x0 ?
w.w.w.k.s. (2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

m ? 2? 0 , x



?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ,函数 m

y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ?2 ?

2 ?1 ? k ?

4 ? 4m ?1 ? k ?

?

1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ; k ?1

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,

k ? 1?

1 1 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? m k ?1
是曲线 Cn 上的点 (n=1,2,?) .

(2010 年高考广东卷第 21 小题)已知曲线 Cn:y ? nx2 , P ( n ,yn ) xn 0 yn 0 ? 点 nx ( , ? )

(1)试写出曲线 Cn 在点 P 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; n (2)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 P Qn 的长度之比取得最大值,试求试点 P 的坐标 ( xn , yn ); (3)设 m 与 k 为 n n 两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 P 的坐标, n
-7-

证明:

?
n ?1

s

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn ? 2

ms ? ks (s ? 1, 2,…) w.w.ww.

w. 21.解: (1) y ? ? 2nx ,设切线 l n 的斜率为 k ,则 k ? y ? | x ? xn ? 2nxn ∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? yn ? 2nxn ( x ? xn ) 又∵点 Pn 在曲线 C n 上, ∴ yn ? nxn ∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? nxn ? 2nxn ( x ? xn )
2 2

即 2nxn x ? y ? nxn ? 0
2

令 x ? 0 得 y ? ?nxn ,∴曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,?nxn )
2 2

(2)原点 O(0,0) 到直线 l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:

| ?nxn |
2

4n 2 x n ? 1
2

x n ? (nxn ? nxn ) 2
2 2 2

?

nxn 1 ? 4n x n
2 2

?

1 1 ? 4nxn nxn

?

1 4

当且仅当

1 1 1 1 1 2 , ) 时,取等号。此时, y n ? nx n ? 故点 Pn 的坐标为 ( ? 4nxn 即 x n ? 2n 4n 2n 4n nxn

(3)证法一:要证

?|
n ?1

s

(m ? 1)x n ? (k ? 1) y n | ?| ms ? ks | (s ? 1,2,?) 2
s

只要证

m ?1 ? k ?1 ?
n ?1

1 2 n

? s | m ? k | (s ? 1,2,?)

只要证

?2
n ?1

s

1 n
1

? s?

m ?1 ? k ?1 m? k
1 n ? n ?1

(s ? 1,2,?) m ?1 ? k ?1 m? k

?

1 2 n
s

?

n? n

?

? n ? n ? 1 ,又?

?1

所以: ?
n ?1

1 2 n

? 1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( s ? s ? 1) ? s (s ? 1,2,?) ? s ? m ? 1 ? k ? 1 (s ? 1,2,?)
m? k

^w.k.s.5*w_w w. k#s(2011 年高考广东卷第 19 小题) 设

a ? 0,









f ( x) ? Inx ? a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x的单调性。
解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??).

f ?( x) ?

2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 , x

当a ?1 时,方程2a(1-a)x ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 0 的判别式
2

1? ? ? ? 1 2 a ? 1)a ? ? . ( ? 3? ?

①当 0 ? a ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 1 时, ? ? 0, f ?( x) 有两个零点, x1 ? ? ? 0, x2 ? ? 3 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)
-8-

且当 0 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 )与( x2 , ??) 内为增函数; 当 x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 ) 内为减函数;

1 ? a ? 1时, ? ? 0, f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 内为增函数; 3 1 ③当 a ? 1时, f ?( x) ? ? 0( x ? 0), f ( x)在(0, ??) 内为增函数; x
②当 ④当 a ? 1 , ? ? 0, x1 ? 时

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 2a 2a(1 ? a)

x2 ?

(a ? 1)(3a ? 1) 1 ? ? 0, 所以f ?( x) 在定义域内有唯一零点 x1 , 2a 2a(1 ? a)

且当 0 ? x ? x1时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, x1 ) 内为增函数;当 x ? x1 时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , ??) 内为减函数。

f ( x) 的单调区间如下表:
0?a? 1 3 1 ? a ?1 3
a ?1

(0, x1 )

( x1 , x2 )

( x2 , ??)

(0, ??)

(0, x1 )

( x1 , ??)

(其中 x1 ?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ) ? , x2 ? ? 2a 2a(1 ? a) 2a 2a(1 ? a)
2008 17 分 2009 22 分 2010 19 分 2011 12 分

7.三角函数与解三角形 2007 17 分

(2007 年高考广东卷第 9 小题)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 最小正周期 T 和初相 ? 分别为( A ) A. T ? 6 , ? ?

π? ?π ?? 1) 则该简谐运动的 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, , 2? ?3 ??

π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3

C. T ? 6π , ? ?

π 6

D. T ? 6π , ? ?

π 3

4) 0) 0) (2007 年高考广东卷第 16 小题)已知 △ ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3, , B(0, , C (c, .
(1) 若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin ?A 的值. 16.解: (1)

??? ??? ? ?

? ?

??? ? ??? ? AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ??? ? AB ? (?3, ?4)

?

(2)

??? ? AC ? (2, ?4)

? ? ?? ? ? ?? A B? A C ? ( c 3 ) ? 1 6? 2 5 c ? 得 ? 3 ? ? 3 0 ??? ???? ? A B? A C ?6 ? 1 6 1 ? ? ? ? c o s A ? ??? ???? ? 5 A B? A C 5 2 0

c?

25 3

?sin ?A ?

1 ? cos 2 ?A ?

2 5 5
-9-

(2008 年高考广东卷第 5 小题)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x , x ? R ,则 f ( x ) 是( D ) A. 最小正周期为π 的奇函数 C. 最小正周期为π 的偶函数 B. 最小正周期为π /2 的奇函数 D. 最小正周期为π /2 的偶函数

(2008 年高考广东卷第 16 小题)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过 点 M(π /3,1/2)(1)求 f ( x ) 的解析式; 。 (2)已知 ? 、 ? ? (0, ? / 2) ,且 f (? ) ? 3/ 5 , f ( ? ) ? 12 /13 , 求 f (? ? ? ) 的值。 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ( (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0,

? 1

3 12 ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值。 2 5 13 ? 1 ? 1 【解析】 (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin(x ? ? ) ,将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? )? ,而 0 ? ? ? ? , 3 2 3 2 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2
(2)依题意有 cos ? ?

?

, )。 3 2

3 4 12 5 3 12 ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) ,?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 13 2 5 5 13 13

3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
(2009 年高考广东卷第 7 小题)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,
o

则 b= A.2 B.4+ 2 3 C.4— 2 3
0 0 0

D. 6 ? 2
0 0 0 0

【答案】 【解析】 A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ? A sin

2? 6 由 a=c= 6 ? 2 4

可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

1 a 由正弦定理得 b ? ? sin B ? 2 sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4

(2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

【答案】A 【解析】因为 y ? 2cos ( x ?
2

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 A. ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

(2009 年高考广东卷第 16 小题)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值

?
2

)

- 10 -

(2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

? ,求 cos ? 的值 2

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? b
2 2 2 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? w 2 2

(2010 年高考广东卷第 13 小题).已知 a, c 分别是△ABC 的三个内角 A, C 所对的边, a=1, b, B, 若 b= 3 , A+C=2B, 则 sinA=

1 2

.

设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

? ?

??

? ? , ?>0 , x? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. 6?
?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值.w_w*w ? 4 12 ? 5

(1) 求 f ? 0 ? ;w(2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ? 16.解: (1)由已知可得: f (0) ? 3 sin

?

6 ? 2? ? ? ? (2)∵ f (x) 的周期为 ,即 ∴? ? 4 故 f ( x) ? 3 sin( 4 x ? ) ? 2 6 2 a ? a ? ? ? (3)∵ f ( ? ) ? 3 sin[ 4 ? ( ? ) ? ] ? 3 sin( a ? ) ? 3 cos a 4 12 4 12 6 2 9 3 ∴由已知得: 3 cos a ? 即 cos a ? 5 5
∴ sin a ? ? 1 ? cos a ? ? 1 ? ( ) ? ?
2 2

?

3 2

3 5

4 4 4 故 sin a 的值为 或 ? 5 5 5

(2011 年高考广东卷第 16 小题)

1 ? ), x ? R 3 6 ? ? 10 6 , f (3? ? 2? ) ? , 求 sin(? ? ? )的值. (1) 求 f (0) 的值;设 ? , ? ? [0, ], f (3? ? ) ? 2 2 13 5
已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

16.解: (1) f (0) ? 2sin ? ?

? ? ?? ? ? ?2sin 6 ? ?1 ; ? 6?

(2)?

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

- 11 -

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?
2 2

? sin ? ?

5 3 , cos ? ? , 13 5
2

4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

故 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 8.不等式 2007 2008 22 分 2009

5 3 12 4 63 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65
2010 12 分 2011 10 分 )

(2008 年高考广东卷第 10 小题)设 a、b∈R,若 a - |b| > 0,则下列不等式中正确的是(D 3 3 2 2 A. b - a > 0 B. a + b < 0 C. a - b < 0 D. b + a > 0

?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? (2008 年高考广东卷第 12 小题)若变量 x、y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是__70_____。 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
(2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x(单位:元) 。 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平 均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积) 。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ? x ? ? ? 560 ? 48 x ? ? f ? ? x ? ? 48 ? 10800 , x2

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ? x ? 10, x ? Z ? ? 2000 x x
令 f ? ? x? ? 0 得

x ? 15

当 x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

;当 0 ? x ? 15 时, f ? ? x ? ? 0

因此 当 x ? 15 时,f(x)取最小值 f ?15? ? 2000 ; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 (2010 年高考广东卷第 19 小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C .另外, 该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C .如果一个 单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预 订多少个单位的午餐和晚餐? 19.解:设应当为该儿童分别预订 x 个单位的午餐, y 个单位的晚餐,所花的费用为y ,则依题意得: z

?12 x ? 8 y ? 64 ? 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 ? 6 x ? 6 y ? 42 ? x ? y ? 7 ? 0 ? ? ? ? x, y 满足条件 ?6 x ? 10 y ? 54 即 ?3 x ? 5 y ? 27 ? 0 , ? ? x? N x? N ? ? y?N y?N ? ? ? ?

x? y ?7 3x ? 5 y ? 27 M (4,3)

目标函数为 z ? 2.5 x ? 4 y ,
- 12 -

O
3x ? 2 y ? 16

x

画出可行域如右图所示,设直线 l : y ? ? 其中

2.5 z x? 5 4

z 为直线 l 在 y 轴上的截距 4 z 4

当直线 l 经过直线 x ? y ? 7 与 3x ? 5 y ? 27 的交点 M (4,3) 时, 取得最小值, 此时 z 取得最小值, zmin ? 22 且 由图可知,当直线 y ? ? 解方程组: ?

5 z x ? 经过可行域上的点 M (即直线x ? y ? 7 ? 0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小,即 z 最 8 4
所以, z min ? 22

小.

? x? y ?7 ? 0 , 得点 M 的坐标为 x ? 4, y ? 3 ?3x ? 5 y ? 27 ? 0

答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐,3 个单位的晚餐,此花的费用最少为 22 元. (2011 年高考广东卷第 5 小题)不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解积是 D
2

A. ( ?

1 ,1) 2

B. (1, ??)

C. (??,1) ? (2, ??)

D. (??, ? ) ? (1, ??)

1 2

?0 ? x ? 2 ? (2011 年高考广东卷第 6 小题)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 M ( x, y ) 为 D ? ?x ? 2 y ???? ??? ? ? 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1), 则z ? OM ? 的最大值为 B OA
A.3 9.概率统计 2007 17 分 2008 18 分 2009 18 分 2010 22 分 2011 18 分 B.4 C. 3 2 D. 4 2

(2007 年高考广东卷第 9 小题)在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字 外完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( A ) A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 12

(2007 年高考广东卷第 18 小题)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应 的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x
y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;

? ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 18 解: (1) 散点图略 (2)

? ? X iYi ? 66.5
i ?1

4

?X
i ?1

4

2 i

? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 86

X ? 4.5

Y ? 3.5

? ?b ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? ? ? 0.7 ; a ? Y ? bX ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81
- 13 -

所求的回归方程为 (3)

y ? 0.7 x ? 0.35

当 x ? 100 时 y ? 0.7 ?100 ? 0.35 ? 70.35 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨)

(2008 年高考广东卷第 11 小题)为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 量。产品数量的分组区间为[45,55) ,[55,65) ,[65,75) ,[75,85) ,[85,95) ,由此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是__13_____。

(2008 年高考广东卷第 19 小题) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到初二年级女生的概率是 0.19。 (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生, 问应在初三年级抽取多少名?(3)已知 y≥245,z≥245,求初三年 级中女生比男生多的概率。 19.解: (1)因为

x ? 0.19 ,所以 x ? 380 2000
女生 男生

一年级 373 377

二年级

三年级

(2)初三年级人数为 y ? z ? 2000 ? (373 ? 377 ? 380 ? 370) ? 500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生, 应在初三年级抽取 的人数为

x
370

y z

48 ? 500 ? 12 名 2000

(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为

? y, z ? ,由(2)知 y ? z ? 500 ,且 y,z ?Z ?

基本事件共有 ? 245,255? , ? 246,254? , ? 247,253? ,?? 255,245? 共 11 个, 事件 A 包含的基本事件有 ? 251,249? , ? 252,248? , ? 253,247 ? , ? 254,246? ,

? 255, 245? 共 5 个,所以 P ( A) ? 11
(2009 年高考广东卷第 12 小题)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系 统抽样法,将全体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号?,196-200 号). 若第 5 组抽出的号码为 22, 则第 8 组抽出的号码应是 。 若用分层抽样方法, 40 岁以下年龄段应抽取 则 人. 图 2【答案】37, 20 【解析】 由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22, 所以第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出 的号码为 37. 40 岁以下年龄段的职工数为 200 ? 0.5 ? 100 ,则应抽取的人数 为

5

40 ?100 ? 20 人. 200

(2009 年高考广东卷第 18 小题)随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的 茎叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.
- 14 -

【解析】 (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高 集中于 170 : 180 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2)

x ?

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10
甲 班 的 样 本 方 差 为

1 2 2 2 2 [(158 ? 170)2 ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170? 10
? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173)(178, 176) (176,173)共 10 个基本事件, 而事件 A 含有 4 个基本事件; ? P ? A ? ?

4 2 ? 10 5



(2010 年高考广东卷第 12 小题)某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与年平均支出 Y(单位: 万 元 ) 的 统 计 资 料 如 下 表 所 示 : w_w w. k#s5_u.c o*m 年份 收入 x 支出 Y 2005 11.5 6.8 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12

根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 13 ,家庭年平均收入与年平均支出有 正 线性相关关 系. (2010 年高考广东卷第 17 小题) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下 表所示:w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?w. k#s5_u.c o*m (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.w_w*w 17.解: (1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析,得到的直 观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁的观众共 有 27 人。 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 ? 27 ? 3 人. 45

(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3;20 岁至 40 岁的观众 有 2 人 , 分 别 高 为 a, b , 若 从 5 人 中 任 取 2 名 观 众 记 作 ( x, y ) , 则 包 含 的 总 的 基 本 事 件 有 :

(1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁至 40 岁包

- 15 -

含的基本事件有: (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个. 故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=

6 3 ? ; 10 5

(2011 年高考广东卷第 13 小题)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某 月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x (单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 0.5 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为 篮命中率为 0.53 . (2011 年高考广东卷第 17 小题)

;用线形回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投

在某次测验中, 6 位同学的平均成绩为 75 分, xn 表示编号为 n(n ? 1, 2,...,6) 有 用

的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1) 求第 6 位同学的成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2) 从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 17. 解: (1)? x ?

1 6 ? xn ? 75 6 n?1

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90,
n ?1

5

s2 ?

1 6 1 ? ( xn ? x)2 ? 6 (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , 6 n?1

? s ? 7.

(2)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5}, 故所求概率为 . 10.立体几何 2007 17 分 2008 17 分 2009 18 分 2010 19 分 2011 24 分

2 5

(2007 年高考广东卷第 6 小题) 若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? ,? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( D ) A.若 ? ∥ ?,l ? ?,n ? ? ,则 l ∥ n C.若 l ? n,m ? n ,则 l ∥ m B.若 ? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ?,l ∥ ? ,则 ? ? ?

(2007 年高考广东卷第 17 小题) 已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8, 高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S . 17 解: 由已知可得该几何体是一个底面边长为 8 和 6 的矩形,高为 4,顶点在底面的射
- 16 -

6

8 图5

影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD ;(1)

1 V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
2

2

?6? AB 边上的高为 h2 ? 4 ? ? ? ? 5 ?2?
2

2

因此

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2

(2008 年高考广东卷第 7 小题) 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、 C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如 图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 (或称左视图)为(A. )

(2008 年高考广东卷第 18 小题)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是 圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD。 (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC = 【解析】 (1)?

11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积。
BD 是圆的直径 ?

?BAD ? 90?



? A D P~? B A D ,

BD sin 60? AD DP AD 2 ? , DP ? ? ? BA AD BA BD sin 30?
?

? ?

? ?

2

3 4 ? 3R ; ? 1 2R ? 2 4R2 ?

(2 ) 在 Rt ? BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R

?

2 2 2 2 2 P D2 ? C D ?9 R ?2 R ?1 1 R ? P C? P D ? C D 又 ?PDA ? 90?

? PD ? 底面 ABCD
S? ABC ? 1 AB?BC s i n 6? 0 ? ? 2
? 4?5 ?

1 R? 2

? 3 2 R? 2 ? 2 2? ?

1 2

?2 ?? ? 2 ?

?3 2 1 R 4

三棱锥 P ? ABC 的体积为 VP ? ABC ? ?S? ABC ?PD ? ?
- 17 -

1 3

1 3

3 ?1 2 3 ?1 3 R ?R? 3 R . 4 4

(2009 年高考广东卷第 6 小题)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 【答案】D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D

(2009 年高考广东卷第 17 小题)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P- EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;(2)求该安全标识墩的体积(3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? PO ? HF 又 EG ? HF

? HF ? 平面 PEG

又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
' ' ' ?ABC 为 正 三 角 形 , A A / / B B / / C C ,

(2010 年 高 考 广 东 卷 第 9 小 题 ) 如 图 1 ,

3 CC ' ? 平面ABC且3AA ' ? BB ' ? CC ' ? AB ,则多面体 ABC ? A' B'C ' 的正视图(也称主视图)是 wDDddD 2

- 18 -

(2010 年高考广东卷第 18 小题)如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点, B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, 点 平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平 面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m 18.法一: (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE ,EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD ,FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴

EB ? 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形
由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a) 2 ? a 2 ? 2a
1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

在 Rt?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ VF ? BDE ?

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形, 又∵
∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt?FCD 中, FD ?

5a ,∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h ?

(2011 年高考广东卷第 7 小题)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么 一个正五棱柱的对角线条数共有 D A.20 B.15 C.12 D. 10 (2011 年高考广东卷第 9 小题) 如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体 积为 C

2

2 3

A. 4 3

B.4
正视图

C. 2 3 2
侧视图 19 -

D. 2
俯视图

(2011 年高考广东卷第 18 小题) 下图所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其

? 中 一 般 沿 切 面 向 右 水 平 平 移 得 到 的 。 A, A?, B, B?分别为? , C?D?, DE, D?E? O CD ? ? ? 的中点, 1, O1?, O2 , O2 分 别 为
CD, C?D?, DE, D?E? 的中点。
C?
H?

A?

O1?

D?

? O2
B?

E?

? (1)证明: O1 , A?, O2 , B 四点共面;
(2)设 G 为 AA? 的中点,延长

G

? ? ? ? A?O1到H ?,使得O1H ? ? A?O1,证明:BO2 ? 平面H ?B?G。
C

A

? ? 证明: (1)? A, A?分别为CD, C?D? 中点, ? O1? A? / / O1 A
连接 BO2 ? 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到

O1

D B

O2

E

? AO1 / / BO2 ? O1? A? / / BO2 ? O1? , A?, O2 , B 共面。
(2)将 AO1 延长至 H 使得 O1H=O1A,连接 HO1? , HB, H ?H // ? 由平移性质得 O1?O2? =HB

? BO2? / / HO1?

? ? A?G ? H ?O1? , H ?H ? A?H ?, ?O1? H ?H ? ?GA?H ? ? 2
? ?GA?H ? ? ?O1? H ?H ? O1? H ? H ?G

? ?H ?O1? H ? GH ?A ?

?

2

? BO2? ? H ?G

? O1?O2? ? B ?O2? , O1?O2? ? O2?O2 , B ?O2? ? O2?O2 ? O2? ? O1?O2? ? 平面B ?BO2 O2?

? O1?O2? ? BO2?

? BO2? ? H ?B ? ? BO2? ? 平面H ?B ?G.
2009 19 分 2010 19 分 2011 19 分

? H ?B ? ? H ?G ? H ?
11.平面几何与圆锥曲线 2007 19 分 2008 19 分

(2007 年高考广东卷第 11 小题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O ,且过点

P(2, ,则该抛物线的方程是 4)

y 2 ? 8x



(2007 年高考广东卷第 19 小题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x

相切于坐标原点 O ,椭圆 (1)求圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 . a2 9

- 20 -

(2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在,请求出点

Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

n ? ? ?1 ? m 19 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)(m<0,n>0)依题意可得 ? ? m2 ? n2 ? 2 2 ?

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

?所求的圆的方程为
(2) 由已知可得

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8

2a ? 1 0

?

a?5

? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 , 右焦点为 F( 4, 0); 25 9

?( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? 2) 2 ? 8 ? 设 Q( x0 , y0 ) ,依题意 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 ? 0 0 ?
解得 x0 ?

4 12 , y0 ? 或 x0 ? 0, y0 ? 0 (舍去) 5 5

?存在点 Q( 4 , 12 )
5 5

(2008 年高考广东卷第 6 小题)经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线

x ? y ? 0 垂直的直线方程是( C
A. x + y + 1 = 0 C. x - y + 1 = 0



B. x + y - 1 = 0 D. x - y - 1 = 0

x2 y2 (2008 年高考广东卷第 20 小题)设 b>0,椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 2b b
抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) 。如图所示,过点 F(0,b + 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G。已知抛 物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1。 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A、B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物 线上是否存在点 P,使得△ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求 出这些点的坐标) 。 【解析】 (1)由 x ? 8( y ? b) 得 y ?
2

1 2 x ?b, 8 1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) , y ' ?

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F 点的坐标为 (b, 0) , 1 1

? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2

(2)? 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。
- 21 -

若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x,

1 2 x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和 ( 2, 0) , 8 ??? ??? ? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4
2

关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 (2009 年高考广东卷第 13 小题)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

.

25 2

【 解 析 】 将 直 线 x? y ? 6 化 为 x? y ?6 ? 0 , 圆 的 半 径 r ?

| 2 ?1 ? 6 | 5 ,所以圆的方程为 ? 1?1 2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

25 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

(2009 年高考广东卷第 19 小题)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 2

F2 ,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak .
(1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2
x2 y 2 ? ?1. 36 9

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 2 2 2 则?c , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )点 AK 的坐标为 ? ?K , 2?

所求椭圆 G 的方程为:

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
(2010 年高考广东卷第 6 小题)若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? 2 y ? 0 相切,则圆

O 的方程是 w_w D w. k#s5_u.c o*m
A.( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 B.( x ? 5)2 ? y2 ? 5 w_w*w.k_ C.( x ? 5) ? y ? 5
2 2

D.( x ? 5) ? y ? 5
2 2

(2010 年高考广东卷第 7 小题)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 w_w B w. k#s5_u.c o*m A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5
- 22 -

(2011 年高考广东卷第 8 小题)设圆 C与圆x2 ? ( y ? 3)2 ? 1外切,与直线y ? 0相切,则圆C的圆心轨迹为 A A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆

(2011 年高考广东卷第 21 小题) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2交x 轴于点 A ,设 P 是 l 上一点, M 是 线段 OP 的垂直平分线上的一点,且满足 ?MPO ? ?AOP. (1) 当点 P 在 l 上与动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T (1, ?1), 设 H 是 E 上动点,求 HO ? HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标;

(3) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范 围。 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

? ?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
2 2 因此 x ? y ?| x ? 2 |, 即

y 2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

? MQ 为线段 OP 的垂直平分线,

? ? P Q ? ?M O.Q M

又? ?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP. 因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x,0). 为分析 M ( x,0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R). 由

| MO |?| MP |






| x |? ( x ? 2) 2 ? a 2 )得, x ? ?1 ?
综合①和②得,点 M 轨迹 E 的方程为

1 2 a ? ?1. 故 M ( x,0) 的轨迹方程为 y ? 0, x ? ?1 4

?4 (x ? 1)x, ? ? 1, y2 ? ? x ? ? 1. ?0 ,

(2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3) :

E1 : y2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1) ;

E2 : y ? 0, x ? ?1.
? 3 ? , ?1? 。 ? 4 ?

当 H ? E1 时,过T作垂直于 l 的直线,垂足为 T ? ,交 E1 于 D ? ?

| | 再过 H 作垂直于 l 的直线, l于H ?. 因此, HO |?| HH ? (抛物线的性质) 交 。
- 23 -

。 ? HO | ? | HT |?| HH ? | ? | HT |?| TT ? |? 3 (该等号仅当 H ?与T ? 重合(或 H 与 D 重合)时取得) | 当 H ? E2 时,则 | HO | ? | HT |?| BO | ? | BT |? 1 ? 5 ? 3. 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 ? ? 3 , ?1? .
? ? 4 ? ?

(3)由图 3 知,直线 l1 的斜率 k 不可能为零。 设 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0). 故x ?

1 ( y ? 1) ? 1, 代入E1 的方程得: y 2 ? 4 y ? ? 4 ? 8 ? ? 0. ? ? k k ?k ?
16 ?4 ? ?4 ? ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 2 ? ? 28 ? 0. 2 k ?k ? ?k ?
2

因判别式 ? ?

所以 l1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。又由 E2 和 l1 的方程可知,若 l1 与 E2 有交点, 则此交点的坐标为 ? 不同的交点。 因此,直线 l1斜率k 的取值范围是 (??, ? ] ? (0, ??). 12.数列 2007 19 分 2008 19 分 2009 19 分 2010 5分 ;若它的 2011

k ?1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 ? ,0 ? , 且 ? ?1.即当 ? ? k ? 0时, l1与E2 有唯一交点 ? , 0 ? ,从而 l1 表三个 k 2 ? k ? ? k ?
1 2

(2007 年高考广东卷第 13 小题) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? .2n-10 ; 8

2 (2007 年高考广东卷第 20 小题) 已知函数 f ( x) ? x ? x ?1 , ?,? 是方程 f ( x ) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x ) 是

f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an?1 ? an ?
(1)求 ?,? 的值;

f (an ) (n ? 1, ?) . 2, f ?(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln

an ? ? (n ? 1, ?) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 2, an ? ?

20 解:(1) 由 x ? x ? 1 ? 0
2

得x?

?1 ? 5 2
2

?? ?

?1 ? 5 2
2 an ? 1 2an ? 1

??

?1 ? 5 2

(2)

? f ? ? x ? ? 2x ? 1

? an?1 ? an ? an ? an ?1 ?
2an ? 1

- 24 -

an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1? 5 ? ? 2 an 2 ? 1 ? 5 an ? ? an ? ? an ?1 ? ? 2an ? 1 2 2 ?? 2 ? ? ? an ? ? ? ? ? ? ? ? an ?1 ? ? an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1 ? 5 ? ? an ? ? ? 2 ? an ? 1 ? 5 an ? ? an ? ? 2an ? 1 2 2 ? 2 ?

? ?

? ?

2

?

bn?1 ? 2bn



b1 ? l n

a1 ? ? 3? 5 1 ? 5 ? ln ? 4 ln a1 ? ? 2 3? 5
4 ln 1? 5 ?1 ? 2n ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln 1? 2 2
B )

?数列 ?bn ? 是一个首项为 4 ln 1 ? 5 ,公比为 2 的等比数列;? Sn ? 2

(2008 年高考广东卷第 4 小题) 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d =( A. 2 B. 3 C. 6 D. 7

(2008 年高考广东卷第 21 小题)设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ?

1 (an ?1 ? 2an ? 2 ) (n = 3,4,?) 。数列 {bn } 3

满足 b1 ? 1 , bn (n = 2,3,?)是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k,都有-1≤ bm ? bm?1 ? ? ? bm?k ≤ 1。 (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? nanbn (n = 1,2,?) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 。 【解析】 (1)由 an ?

1 (an ?1 ? an ? 2 ) 得 3

2 an ? an ?1 ? ? (an ? 1 ? an ? 2 ) 3

(n ? 3 )
n ?1

又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 , ? 数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 1 公比为 ?

2 ? 2? 的等比数列, an?1 ? an ? ? ? ? 3 ? 3?

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?? (an ? an?1 )
? 2? 1? ? ? ? 3? ? 1? ? 2 1? 3
n ?1

? 2? ? 2? ? 2? ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?
? ?1 ? b1 ? b2 ? 1 ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 ? b ? Z,b ? 0 2 ? 2

2

n?2

8 3? 2? ? ? ?? ? 5 5? 3?

n ?1





? ?1 ? b2 ? b3 ? 1 ? b2 ? ?1 ,由 ? ?1 ? b3 ? 1 ? b ? Z,b ? 0 3 ? 3



b3 ? 1 ,?
当 n 为奇数时

? 1 当 n 为偶数时 同理可得当 n 为偶数时, bn ? ?1;当 n 为奇数时, bn ? 1;因此 bn ? ? ?-1

- 25 -

n ?1 ? 8 3 ?2? 当 n 为奇数时 ? n ? n? ? 5 ?3? (2) c ? na b ? ? 5 ? n n n n ?1 3 ?2? ? 8 当 n 为偶数时 ? n ? n? ? ? 5 5 ?3? ?

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn

当 n 为奇数时,
0 1 2 3 n ?1 8 8 8 8 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5 5 5 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

0 1 2 3 n ?1 4 ? n ? 1? 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ?

当 n 为偶数时
0 1 2 3 n ?1 8 8 8 8 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5 5 5 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

??

0 1 2 3 n ?1 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ?

?2? ?3?

0

?2? ?3?

1

?2? ?3?

2

?2? ?3?

3

?2? ?3?
4

n ?1

??①

2 ①× 得: 3
①-②得:

2 ? 2? ?2? ?2? ? 2? ?2? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? 3 ? 3? ?3? ?3? ? 3? ?3? 1 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
?2? 1? ? ? n n 3 ?2? ?2? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ? ?3 ? n? ? ? 2 ?3? ?3? 1? 3
n

1

2

3

n

??②

1

2

3

4

n ?1

? 2? ? n? ? ? 3?

n

?2? ? Tn ? 9 ? ? 9? 3 ? ? ? n ?3?

n

? 4n ? 23 9 ? n ? 3? ? 2 ?n ? ? ? ? 当 n 为奇数时 5 5 ? ?3? 因此 S n ? ? n ? 4n ? 27 9 ? n ? 3? ? 2 ? 当 n 为偶数时 ? ? ? ? ? 5 5 ?3? ?
(2009 年高考广东卷第 5 小题)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B

2 8 4 2 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q ,即 q ? 2 ,因为等比数列 {an } 的公比为正数,所

?

?

以q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

- 26 -

(2009 年高考广东卷第 20 小题)已知点(1,

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 3

的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 (n ? 2). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

【 解 析 】 1 ) Q f ?1? ? a ? (

1 ?1? , ? f ? x? ? ? ? 3 ? 3?

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9
2 2

4 2 a 2 1 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? .又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; ? ? ? ? 2 27 a3 ? 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?
数列
n

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2? 又 bn ? 0 ,

Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1;

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 * 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;?bn ? 2n ? 1 ( n ? N );

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1


1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

(2010 年高考广东卷第 4 小题)已知数列{ an }为等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 a2· =2a ,且 a4 与 2a7 的等差 a3 1 中项为

5 ,则 S5=w_w w. k C #s5_u.c o*m A.35 4

B.33

C.31

D.29 2 .

(2011 年高考广东卷第 11 小题)已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4, 则此数列的公比q ? (2011 年高考广东卷第 20 小题) 设 b ? 0, 数列 ?an ? 满足a1 ? b, an ?

nban ?1 (n ? 2). an ?1 ? n ? 1

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式;证明:对于一切正整数 n, 2an ? bn?1 ? 1. 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a1 ? b ? 0, 知an ?

nban?1 ?0 an?1 ? n ? 1

- 27 -

n 1 1 n ?1 ? ? an b b an?1
当 n ? 2时, An ?

令 An ?

n 1 , A1 ? , an b

1 1 1 1 1 1 1 1 ? An ?1 ? ? ? ? n ?1 ? n ?1 A1 ? ? ? ? n ?1 ? n . b b b b b b b b

1? 1 ? ?1 ? n ? bn ? 1 b b ? b ? 1时, An ? ? ? n ①当 1 b (b ? 1) 1? b
(2)当 b ? 1时, (欲证2an ?

? nb n (b ? 1 ) ,b ? 1 ? ②当 b ? 1 时, An ? n. ? an ? ? b n ? 1 ?1, b ? 1 ?

2nbn (b ? 1) ? bn ?1 ? 1, bn ? 1

只需 2nb ? (b
n

n ?1

? 1)

bn ? 1 bn ? 1 ) ? (bn?1 ? 1) ? b2 n ? b2 n?1 ? ? ? bn?1 ? bn?1 ? bn?2 ? ? ? 1 b ?1 b ?1

1 1 1? ? ? bn ? bn ? n ? bn?1 ? n?1 ? ? ? b ? ? ? bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2nbn , b? b b ?
? 2an ?
13.新题型 2007 5分 2008 2009 5分 2010 5分 2011

2nb n (b ? 1) ? 1 ? b n ?1 . n b ?1

综上所述 2an ? bn?1 ? 1.

(2007 年高考广东卷第 10 小题) 图 3 是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给 A,B,C,D 四 A D 个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A,B,C,D 四个维修点的这批 配件分别调整为 40 , 45 , 54 , 61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么 要完成上述调整,最少的调动件次( n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调 动件次为 n )为( C ) C B A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 (2009 年高考广东卷第 10 小题) 图3 广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行,各城市之间 的路线距离(单位:百公里)见下表.若以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短 路线距离是 A. 20.6 B.21 C.22 D.23 w.w.w.k.s.5 【答案】B【解析】由题意知,所有可能路线有 6 种: ① A ? B ? C ? D ? E ,② A ? B ? D ? C ? E ,③ A ? C ? B ? D ? E ,④ A ? C ? D ? B ? E ,⑤ A ? D ? B ? C ? E ,⑥ A ? D ? C ? B ? E , 其 中 , 路 线 ③ A?C ? B ? D ? E 的 距 离 最 短 , 最 短 路 线 距 离 等 于 4 ? 9 ? 6 ? 2 ? 21 , 故选 B. (2010 年高考广东卷第 10 小题) 在 集 合 {a , b , c , d} 上 定 义 两 种 运 算 ? 和 ? 如 下 : w_w w. k#s5_u.c

- 28 -

o*m 那么 d ? (a ? c) ? A A.a B.b 14.极坐标系与参数方程 2007 5分 2008 5分 C.c 2009 5分 D.d 2010 5分 2011 5分

(2007 年高考广东卷第 14 小题)在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,则点 ? 2, ? 到直线 l 的距离为 2 .

? ?

π? 6?

0 ? (2008 年高考广东卷第 14 小题) 已知曲线 C1、 2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 , ? 4cos ?( ? ? 0 , ? ? ? C
则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为___ (2 3, (2009 年高考广东卷第 14 小题)若直线 ? 【答案】 ?6 【解析】将 ?

?
2

) ,

?
6

) _____
.

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k = ? y ? 2 ? 3t

? x ? 1 ? 2t 3 7 3 化为普通方程为 y ? ? x ? ,斜率 k1 ? ? , 2 2 2 ? y ? 2 ? 3t
4 ? 3? ? 4? ,由 k1k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 得 k ? ?6 ; k ? 2? ? k ?

当 k ? 0 时,直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k 2 ? ? 当 k ? 0 时,直线 y ? ?

3 7 x ? 与直线 4 x ? 1 不垂直.综上可知, k ? ?6 . 2 2

(2010 年 高 考 广 东 卷 第 14 小 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ρ , ? ) 0 ? ? <2? ) 中 , 曲 线 (

? ? cos? ? sin ? ? ? 1 与

? ?sin ? ? cos? ? ? 1的交点的极坐标为

(1, ) 2

?

. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

5 2 ? ? x ? 5 cos ? ? ?x ? t (0 ? ? ? ? ) 和 ? (2011 年高考广东卷第 14 小题) 已知两曲线参数方程分别为 ? 它们的 4 (t ? R ) , ? y ? sin ? ? ?y ? t ?
交点坐标为

? 2 5? ? 1, ? ? 5 ? ? ?



15.几何证明选讲 2007 2008 5分 5分

2009 5分

2010 5分

2011 5分

D

C
A

(2007 年高考广东卷第 15 小题)如图 4 所示,圆 O 的直径 AB ? 6 ,C 为圆周上一点,
BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 D ,则 ?DAC ?
- 29 -

O
图4

B

l

30?



(2008 年高考广东卷第 15 小题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2。AC 是圆 O 的直径,PC 与 圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R =

3 ________

? (2009 年高考广东卷第 15 小题) 点 A、 C 是圆 O 上的点, AB=4, ACB ? 30o , , B、 且

则圆 O 的面积等于 图 3 【答案】 16?

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】连结 AO,OB,因为 ?ACB ? 30o ,所以 ?AOB ? 60o , ?AOB 为等边三角形,故圆 O 的半径
r ? OA ? AB ? 4 ,圆 O 的面积 S ? ? r 2 ? 16? .

(2010 年高考广东卷第 15 小题) 如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, ∥AB, ⊥AB, DC CB

AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF=
_s_5 u.c*o*m

a 2

a 2

.

(2011 年高考广东卷第 15 小题)如图,在梯形 ABCD 中, AB / /CD,

AB ? 4, CD ? 2, E, F分别为AD,BC上的点,且EF ? 3,EF / / AB, D 7 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 . 5 E

C

F

A

B

- 30 -


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