2015-2016学年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4_图文

第三章

三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

题型1 基本公式的运用
例 1 化简求值: (1)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;
? ? ?2π ? π? π? ? ? ? ? ? (2)sin x+ +2sin x- - 3cos -x?; 3? 3? ? ? ? 3 ?

(3)tan 23°+tan 37°+ 3tan 23°tan 37°. 解析:(1)原式=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16° 1 +16°)=sin 30°= . =sin(14° 2

π π π (2)原式=sin xcos +cos xsin +2sin xcos 3 3 3 π 2π 2π -2cos xsin - 3cos cos x- 3sin sin x 3 3 3 π π 2π 2π =3sin xcos -cos xsin - 3cos cos x- 3sin sin x 3 3 3 3
? ? π π 2π? 2π? =?3cos - 3sin ?sin x-?sin + 3cos ?cos x 3 3 ? 3 3 ? ? ? ? ? 3 1 3? 1? =?3× - 3× ?sin x-? - 3× ?cos x=0. 2 2? 2? ? ?2

(3)∵tan 60°=tan(23°+37°) tan 23°+tan 37° = = 3, 1-tan 23°tan 37° ∴tan 23°+tan 37°= 3- 3tan 23°tan 37°, 故得 tan 23°+tan 37°+ 3tan 23°tan 37°= 3.

点评: 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中

所含量之间的关系,以便于应用.对于三角函数
式的化简,要求:①能求出值的应求出值;②使 三角函数的种数最少;③使项数尽量少;④尽量 使分母不含有三角函数式;⑤尽量使被开方数不 含有三角函数式.

?跟踪训练 sin 15°-cos 15° 1.化简求值: . cos 15°+sin 15° tan 15°-1 tan 15°-tan 45° 解析:原式= = 1+tan 15° 1+tan 45°·tan 15° =tan(15°-45°)=tan(-30°)=-tan 30° 3 =- . 3

题型2 利用公式求值
?π ? 3 π 3π π 例 2 已知 <α < ,0<β < ,cos? -α?= , 4 4 4 ?4 ? 5 ?3π ? 5 sin? +β?=13,求 sin(α +β)的值. ? 4 ? ?3π ? ?π ? π 分析:? +β?-? -α?= 2 +(α+β). ? 4 ? ?4 ?

π 3π π π 解析:∵ <α< ,∴- < -α<0. 4 4 2 4

?π ? 3 ?π ? 4 ? ? ? ? ∵cos -α = ,∴sin -α =- . 5 ?4 ? 5 ?4 ?

π 3π 3π ∵0<β< ,∴ < +β<π, 4 4 4
?3π ? 5 ?3π ? 12 又∵sin? +β?=13,∴cos? +β?=-13, 4 4 ? ? ? ? ?π ? ∴cos? +(α+β)? ?2 ? ??3π ? ?π ?? =cos?? +β?-? -α?? ?? 4 ? ?4 ?? ?3π ? ?π ? ?3π ? ?π ? =cos? +β?cos? -α?+sin? +β?sin? -α? ? 4 ? ?4 ? ? 4 ? ?4 ?

12 3 5 ? 4? 56 =- × + ×?-5?=- , 13 5 13 ? 65 ? 56 56 故得-sin(α+β)=- ,即 sin(α+β)= . 65 65

点评:利用三角函数化简求值时,首先分析已知角 与特殊角之间的关系,然后再利用相应的和(差)公

式求解.这样处理的目的在于能较好地借助于已知
角进行运算,从而可以简化运算步骤.

?跟踪训练 2.化简求值: (1)sin 75°; (2)sin 15°; 2 5 (3)若 α,β 均为锐角,sin α = , 5 3 sin(α+β)= ,求 cos β . 5 解析:(1)原式=sin(45°+30°)

=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° 6+ 2 2 3 2 1 = × + × = . 2 2 2 2 4 (2)原式=sin(45°-30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30° 6- 2 2 3 2 1 = × - × = . 2 2 2 2 4 2 5 3 α + β (3)∵α,β为锐角,且 sin α= ,sin( )=5, 5 5 ∴cos α= , 5

π 2 5 3 且由 sin α= > ,得 α> . 5 2 3 1 3 3 α + β 又 <sin( )=5< 2 , 2 π 4 ∴α+β> ,∴cos(α+β)=- . 2 5 ∵β=(α+β)-α, ∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 4 5 3 2 5 2 5 =- × + × = . 5 5 5 5 25

题型3 利用公式解决给值求角问题
1 13 例 3 已知 cos α = ,cos(α -β)= , 7 14 π 且 0<β <α < . 2 (1)求 tan α 的值; (2)求 β. 分析:本题中 β=α-(α-β). π 1 解析:(1)∵cos α= ,0<β<α< , 7 2 sin α 4 3 ∴sin α= ,∴tan α= =4 3. 7 cos α

π π (2)∵0<β<α< ,∴0<α-β< . 2 2 13 3 3 ∵cos(α-β)= ,∴sin(α-β)= . 14 14 由 β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 49 1 = × + × = = . 7 14 7 14 7×14 2 π π ∵0<β< ,所以 β= . 2 3

点评: 解答此类问题分三步:第一步,求角的某一 个三角函数值;第二步,确定角所在的范围;第三

步,根据角的范围写出所求的角.特别注意选取角
的某一个三角函数值,是取正弦,还是取余弦.应 先缩小所求角的取值范围,最好把角的范围缩小在 某一三角函数值的一个单调区间内.

?跟踪训练 3.(1)已知 tan α =2,tan β =3,且 α,β 都是 锐角,求α +β; 5 10 (2)已知 α,β 均为锐角,sin α = ,cos β = , 5 10 求 α - β. tan α+tan β 解析:(1)tan(α+β)= 1-tan αtan β 2+3 = =-1. 1-2×3 ∵α,β都是锐角, 3π ∴0<α+β<π,由上式知 α+β= . 4

5 10 (2)∵α,β都是锐角,sin α= ,cos β= , 5 10 ∴cos α= 2 5 3 10 ,sin β= . 5 10

∵α,β都是锐角,且 sin α<sin β,∴α<β, π ∴- <α-β<0, 2 ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β 5 10 2 5 3 10 2 = × - × =- . 5 10 5 10 2 π ∴α-β=- . 4

题型4 化简与证明
例 4 求证:sin(α +β)sin(α -β)=sin2α-sin2β . 证 明 : 左 边 =

(sin αcos β+cos αsin β)

(sin αcos β-cos αsin β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β =sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β =sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β =sin2α-sin2β=右边.

点评:这个恒等式很特别,与实数的平方差公式相似, 为此,也把它称为三角正弦平方差公式.事实上,还可 以证明恒等式 cos(α+β)cos(α-β)=cos2α+cos2β-1.

?跟踪训练

4.在斜△ABC 中,求证:tan A+tan B+tan C =tan A·tan B·tan C. 分析:在△ABC 中,A+B+C=π. 证明:在△ABC 中, ∵A+B+C=π, ∴A+B=π-C, ∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,

tan A+tan B ∴ =-tan C, 1-tan Atan B ∴tan A+tan B=-tan C(1-tan A·tan B),

即 tan A+tan B=-tan C+tan A·tan B·tan C, 亦即 tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.


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