高中数学第一章计数原理12排列与组合124组合2课后导练新人教A版选修23

1.2.4 组合(二) 课后导练 基础达标 1.班级英语兴趣小组有 5 名男生 5 名女生,现在要从中选 4 名学生参加学校的英语演讲比赛, 要求男、女生都有,则不同选法有( ) A.210 种 B.200 种 C.120 种 D.100 种 解析:选法可分为三类:1 男 3 女有 C 1 5 · C 3 5 种方法,2 男 2 女有 C 2 5 · C 2 5 种,3 男 1 女有 C 3 5 · C 1 5 种,共有 C 1 5 · C 3 5 + C 2 5 · C 2 5 + C 3 5 · C 1 5 =200 种.故选 B. 2.某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜,7 种不同的蔬菜,用餐者可以按下述方法搭配午餐: (1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭;(2)任选一种荤菜,两种蔬菜和蛋炒饭,则每天不同 午餐的搭配方法总数是( ) A.22 B.56 C.210 D.420 解析: C 2 4 · C 2 7 + C 1 4 · C 2 7 =210 故选 C. 3.有 15 个队参加篮球赛,首轮平均分成三组进行单循环赛,然后由各组前 2 名共 6 个队进 行单循环决赛,且规定同组的两个队不再赛第二场,则所进行的比赛共有 ( ) A.42 场 B.45 场 C.22 场 D.25 场 解析:首轮比赛共有 C 2 5 ×3=30 场 第二轮有 C 2 6 -3=12 场 故共有 30+12=42 场比赛,选 A. 4.从全班 40 名学生中选一名市级三好学生,2 名区级三好学生,三名校级三好学生(共选出 6 人),共有多少种不同的选法?对这道题:甲列式为 C 1 40 · C 2 39 · C337 ;乙列式为 C 6 40 · C 2 6 · C 3 4 ;丙列式为 C 1 40 · C359 · C 2 5 ,对他们的评价应是( ) A.甲、乙、丙都正确 B.仅甲、乙正确 C.仅乙、丙正确 D.仅甲正确 答案:A 5.如图,某市为改善生态环境,计划对城市外围 A,B,C,D,E,F 六个区域进行治理,第 一期工程拟从这六个区域中选取三个区域实施退耕还林,根据要求至多有两个区域相邻,则 不同的选取方案有__________种. 解析: 2C43 ? C 3 4 ? 16. 综合运用 6.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线有 1 () A.12 对 B.24 对 C.36 对 D.48 对 解析:由于六棱锥的 6 条侧棱交于一点,底面六边形的 6 条边共面,因而只能将侧棱与底边 相搭配.第一步,从 6 条侧棱中任取一条,有 C 1 6 种;第二步,从底面 6 条边中与这条侧棱 不相交的 4 条边中任取一条,有 C 1 4 种,由乘法原理知有 C 1 6 C 1 4 =24 对,故选 B. 7.四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与各棱的中点中取 3 点,使它们和点 A 在同一平面上, 不同取法有( ) A.30 种 B.33 种 C.36 种 D.39 种 解析:符合条件的取法可分为两类:①4 个点(含 A)在棱锥的同一侧面上,有 3 C 3 5 =30 种; ②4 个点(含 A)在侧棱与对棱中点的截面上,有 3 种.由加法原理知不同取法共有 33 种,故 选 B. 8.某池塘内有 A、B、C 三只小船,A 船可乘 3 人,B 船可乘 2 人,C 船可乘 1 人,今有 3 个 成人和 2 个儿童分别乘这些船只,若每船必须坐人,且为安全起见,儿童必须由大人陪同方 可乘坐,则他们分乘这些船只的方法有__________种. 解析:可分两类情形:(1)2 个儿童分乘 A、B 两船,有 A22 种方法,因为儿童必须由大人陪 同,故从 3 个成人中选 2 人分别乘 A,B 两船,有 A32 种方法,余下 1 个成人必须乘 C 船; (2)2 个儿童乘 A 船,从 3 个成人中选 1 人乘 A 船有 C 1 3 种方法,两个成人分乘 B、C 两船, 有 A22 种方法,所以共有 A22 · A32 + C 1 3 · A22 =18 种乘这些船的方法. 拓展探究 9.某商场为促销设计两套方案:(1)全场九折;(2)购物 100 元摸彩球打折,8 个红色和 8 个 绿色的玻璃球放在一个盒子里,顾客任意摸出 8 个球,仅有抽出的红球、绿球个数相等时不 打折,两者相差一个时打 9 折,两者相差 2 个或 2 个以上时打 8 折,问商场应选择哪种方案 更有利可图? 解析:应选第二种方案.此题实质上是计算满足一定条件的组合.其中摸出的红球、绿球相 等,可分两步完成,即第一步:在 8 个红球中取出 4 个红球;第二步在 8 个绿球中取 4 个绿 球.所以有 C84 ? C84 =4 900 种. 类似地同求得取 5 个红球和 3 个绿球的组合数为 C 5 8 · C83 =3 136; 取 3 个红球,5 个绿球的组合数为 C 3 8 C85 =3 136; 取 6 个红球 2 个绿球或 2 个红球 6 个绿球的组合数都为 C86 · C 2 8 =784; 取 7 红球 1 个绿球或 1 个红球 7 个绿球的组合数都为 C 7 8 C 1 8 =64; 取 8 个红球或 8 个绿球的组合数均为 1. 从而不打折的有 4 900 种选法,打 9 折的有 2×3 136

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