全国版2017版高考数学一轮复习函数导数及其应用2.12定积分的概念与微积分基本定理定积分的简单应用课件理_图文

第十二节

定积分的概念与微积分基本定理、 定积分的简单应用

【知识梳理】 1.定积分的概念、几何意义和性质

(1)定积分的定义及相关概念:
①定义:一般地,如果函数f(x)在区间[a,b]上连

续,用分点a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b,将区间
[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]

上任取一点ξ i(i=1,2,?,n),作和式
n

? f (? )?x
i ?1 i

n

当n→∞时,上述和式无限接近某个常 b?a ?? f ? ?i ? , i?1 n 数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积 分,记作
b ?a f ? x ? dx.

②相关概念:在

? f ? x ? dx
b a

中,a与b分别叫做积分下限与

积分上限,区间_______叫做积分区间,函数f(x)叫做 [a,b] 被积函数,x叫做_________,_______叫做被积式. 积分变量 f(x)dx

(2)定积分的几何意义:
f(x) f(x)≥0 f(x)<0

?

b a

f ? x ? dx 的几何意义

表示由直线____,____,y=0及曲线y=f(x) x=a x=b 所围成的曲边梯形的面积 表示由直线____,____,y=0及曲线y=f(x) x=a x=b 所围成的曲边梯形的面积的相反数

f(x)在[a,b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去 上有正有负 位于x轴下方的曲边梯形的面积

(3)定积分的性质: ① =_________(k 为常数). b b ?a kf ? x ? dx k ? a f ? x ? dx ② =_________________. b b b ? f x dx ? ? a 1? ? a f 2 ? x ? dx ? a [f1 ? x ? ? f 2 ? x ?]dx ③________=
b ?a f ? x ? dx b ?c f x dx ? ? ? ? a c f ? x ? dx ? 其中a ? c ? b ? .

2.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并

且F′(x)=f(x),那么

=__________,这个结 b ? a f ? x ? dx F(b)-F(a) 论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.

3.定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形面积的关系:

设阴影部分的面积为S. ①S=
b ?a f ? x ? dx. ②S=_________. b ? ?a f ? x ? dx ③S=________________. c b ? a f ? x ? dx ? ? c f ? x ? dx ④S=

? f ? x ? dx ? ? g ? x ? dx ? ?[f ? x ? ? g ? x ?]dx .
b a b a b a

(2)定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间 的关系.

①s=________.②W=________. b b ?a v ? t ? dt ?a F ? x ? dx

【特别提醒】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲

边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上
方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时,

定积分的值为零.

(2)加速度对时间的积分为速度,速度对时间的积分是 路程.

2.函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有
(1)若f(x)为偶函数,则

a a f x dx ? 2 f x dx. ? ? ? ? ? ? (2)若f(x)为奇函数,则 ?a 0 a ? ?af ? x ? dx ? 0.

【小题快练】 链接教材 练一练

1.(选修2-2P55习题1.6B组T1(3)改编)
【解析】 答案:

=_____.

? 2 dx
4 2 x

x 4 2 2 2 2 12 4 x 4 ? 2 2 dx ? |2 ? ? ? . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

12 ln 2

2.(选修2-2P60习题1.7A组T6改编)汽车以72km/h的 速度行驶,由于遇到紧急情况而刹车,汽车以等减速 度a=4m/s2刹车,则汽车从开始刹车到停止走的距离



m.

【解析】先求从刹车到停车所用的时间t, 当t=0时,v0=72km/h=20m/s,

刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v0-at=20-4t.
令v(t)=0,可得t=5s, 所以汽车从刹车到停车,所走过的路程为:

? ? 20 ? 4t ? dt ? (20t ? 2t ) |
5 0 2

5 0

=50(m).

即汽车从开始刹车到停止,共走了50 m.
答案:50

感悟考题

试一试

3.(2016·广州模拟)定积分
A.e+2 B.e+1

? (2x ? e )dx C.e D.e-1
1 0 x

的值为(

)

【解析】选C.
故选C.

? (2x ? e )dx ? (x ? e ) | ? ?1 ? e ? ? (0 ? e ) ? e,
1 0 x 2 x 1 0 0

4.(2016·泉州模拟)由曲线y=x2-1,直线x=0,x=2和x轴 围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为 ( )

A. B. C.

2 ?0 (x 2 ? 1)dx

? | x ? 1| dx
2 0 2 2 | ?0 (x 2 ? 1)dx | 1 0 2 2 1 2

D.

? (x ? 1)dxB. ? ?曲线 (x ? 1)dx 2-1,直线x=0,x=2和x轴围成的 【解析】选 y=x
封闭图形的面积可表示为
2 ?0 | x 2 ? 1| dx.

5.(2015·天津高考)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭 图形的面积为 .

【解析】两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1), 所以它们所围成的封闭图形的面积

S=

1 2 1 3 1 1 答案: ? (x ? x )dx ? ( x ? x ) |0 ? . 2 3 6 1 6
1 0 2

考向一

定积分的计算

【典例1】(1)计算: ① ②
2 ?3 (3x ? 2x ? 1)dx ?1

=______. =______. 则
3 ?1 f ? x ? dx

? ? sin x ? cos x ? dx 0? ③若 f(x)=

为______.

3 ? 2x ? x 2,

? x 2,x ?[0, 1], (2)设f(x)= ? (e为自然对数的底数), ?1 ? ,x ? (1,e] ?x 则 的值为 __________.

? f ? x ? dx
e 0

【解题导引】(1)①②分别用求导公式找到相应的原函

数;③利用定积分的几何意义求解.
(2)根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分

和的形式求解.

【规范解答】(1)①

2 ?3 3x ? 2x ? 1? dx ?1 ?

? (x 3 ? x 2 ? x) |3 ?1 ? 24. ② ? ? ? ?0 sin x ? cos x dx ? ? sin xdx ? ? ? ? 0 0 cos xdx

? ? ?cos x ? | ?sin x | ? 2.
? 0 ? 0

③由

得 y ? 3 ? 2x ? x 2 ? 4 ? (x ? 1) 2, (x ? 1)2 ? y2 ? 4 ? y ? 0 ?,

表示以(1,0)为圆心,2为半径的圆在x轴上方的部分,
所以 是圆面积的

所以

? 3 ? 2x ? x dx
3 1 2
3 1 2

1 . 4

1 2 ? 3 ? 2x ? x dx ? ? ? ? 2 ? ?. 答案:①24 ②2 ③π 4

? x 2,x ? [0, 1], (2)因为f(x)= ? ?1 ? ,x ? (1,e], ?x 所以 e 1 2 e 1 ? 0 f ? x ? dx ? ? 0 x dx ? ?1 dx x 1 31 4 e 1 ? x |0 ?ln x |1 ? ? ln e ? . 答案 3 : 3 3 4 3

【母题变式】
1.若将本例(1)中②条件变为 “

? ? sin x ? acos x ? dx ? 2

? 2 0

”,则实数a的值如何?

【解析】因为(asin x-cos x)′=sin x+acos x. 所以

? ? sin x ? acos x ? dx ? ? asin x ? cos x ? |

? 2 0

? 2 0

? ? ? (asin ? cos ) ? ? asin 0 ? cos 0 ? ? a ? 1 ? 2. 所以a=1. 2 2

2.若本例(1)中③条件不变,试求

? f ? x ? dx
3 ?1

的值.

【解析】可知

?3 ?1 f ? x ? dx 的圆在x轴上方的部分的面积,故

表示以(1,0)为圆心,2为半径

1 2 ? f ? x ? dx ? ??2 ? 2?. 2
3 ?1

【规律方法】计算定积分的步骤

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、
指数函数与常数的积的和或差.

(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函
数的定积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数.

(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值.

(5)计算原始定积分的值.
提醒:根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.

【变式训练】

1.若

则 =( 1 f ? x ? ? x 2 ? 2 ?1 f x dx , ? 0 ? ? 0 f ? x ? dx

)

1 1 A. ? 1 B. ? C. D.1 3 因为f(x)= 3 【解析】选B.
所以
1 0

x 2 ? 2 ?1 0 f ? x ? dx,

1 3 1 1 所以 ? f ? x ? dx ? ( x ? 2x ? 0 f ? x ? dx) |0 3 1 1 1 1 ? ? 2 ? 0 f ? x ? dx, ? 0 f ? x ? dx ? ? . 3 3

2.若定积分

A.-1

? 则m等于( ? ? x ? 2xdx ? , 4 B.0 C.1 D.2
m ?2 2

)

【解析】选A.根据定积分的几何意义知,定积分
2 2 ?m ? x ? 2xdx y ? ? x ? 2x ?2 轴及直线x=-2,x=m所围成图形的面积, 是 2 y ? ?x ? 2x 圆心(-1,0),半径为1的上半圆,其面积等于 而 ? , 即在区间[-2,m]上该函数图象应 2 ? m 2 为 的圆,于是得 ? ?2 ? x ? 2xdx ? ,m=-1. 4 1 4

的值,就是函数

的图象与x

【加固训练】
1.(2016·长春模拟)与定积分 是( A. ) B.
3? 0

? ?3 1 ? cos xdx 0

相等的

x C. 2 ? sin dx 2 x 3? | 2 ? 0 sin dx | 2

x 2 ? | sin | dx D.以上结论都不对 2
3? 0

【解析】选B.因为1-cos x= 2sin 2 x , 2 所以 x 3? 3? ? 0 1 ? cos xdx ? ? 0 2 | sin | dx 2 x 3? ? 2 ? 0 | sin | dx. 2

2.设f(x)是一条连续的曲线,且为偶函数,在对称区

间[-a,a]上的定积分为
意义和性质,得

由定积分的几何 ?a ? a f ? x ? dx, 可表示为( )

?a ? a f ? x ? dx
A. ? ? a ? a f ? x ? dx 1 a C. ? 0 f ? x ? dx 2 B.2 ? 0 ? a f ? x ? dx D. ? 0 ? a f ? x ? dx

【解析】选B.偶函数的图象关于y轴对称,


? f ? x ? dx 表示为 应选B. 2 ?0 ? a f ? x ? dx,
a ?a

对应的几何区域关于y轴对称,因而其可

3.计算: 2 =_________. ? 0 1 ? x dx

【解析】

2 2 ?0 1 ? x dx ? ?1 1 ? x dx ? ? ? 1 ? x ?1? dx 0?

1 2 1 1 2 2 ? (x ? x ) |0 ?( x ? x) |1 2 2 1 1 2 1 2 ? (1 ?:1 ) ? 0 ? ( ? 2 ? 2) ? ( ?1 ? 1) ? 1. 答案 2 2 2

1 =_____. ? ( 1 ? x ? x)dx 2 【解析】 1 1 2 1 2 1 1 ? 0 ( 1 ? x ? x)dx ? ? 0 1 ? x dx ? ? 0 xdx, 2 表示四分之一单位圆的面积, 2 1 1 1 1 ? 0 xdx ? , ? 0 1 ? x 2 dx 为 2 所以结果是 4 ? ?1 ? . , 答案 : 4 4 ? ?1 4
4.(2015·石家庄模拟)
1 0 2

考向二

利用定积分计算平面图形的面积

【典例2】(2016·牡丹江模拟)抛物
线y2=4x与直线y=2x-4围成的平面图 形的面积是 .

【解题导引】画出平面图形,根据图形确定积分的上、 下限及被积函数.

2 ? y ? 4x, 得 ? x ? 1, 或 ? x ? 4, 【规范解答】由 ? ? ? ? y ? ?2 ? y ? 4. ? y ? 2x ? 4 画出草图如图所示.

选用x为积分变量所求面积为
4 ?1 [2 x ? ( ? 2 x)]dx ? ? 0 1 (2 x ? 2x ? 4)dx

2 2 ? 4 ? x | ?2 ? x | ?x 2 |14 ?4x |14 3 3 8 32 4 ? ? :9 ( ? ) ? ?16 ? 1? ? ?16 ? 4 ? ? 9. 答案 3 3 3

3 2 1 0

3 2 4 1

【一题多解】解答本题还有以下解法:
选用y为积分变量,这时所求的面积为

1 1 2 ? ( y ? 2 ? y )dy 2 4 1 2 1 3 4 ? ( y ?9 2y ? y )|?2 ? 9. 答案: 4 12
4 ?2

【规律方法】

1.利用定积分求平面图形面积的步骤
(1)根据题意画出图形.

(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积
分的上、下限.

(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.
(4)计算定积分,写出答案.

2.根据平面图形的面积求参数的求解策略

先利用定积分求出平面图形的面积,再据条件构建方
程(不等式)求解.

3.与概率综合问题的处理思路
先按照概率问题分析需要求解哪些量,然后求解时再借 助定积分的知识.

2 与直线 y? x y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为( )
【变式训练】(2016·福州模拟)曲线 A.2ln 2 C.4-ln 2 B.2-ln 2 D.4-2ln 2

【解析】选D.如图,

封闭图形的面积为

=4-2ln 2.

2 1 2 4 ? [? x ? 1? ? ]dx ? ( x ? x ? 2ln x) |2 x 2
4 2

【加固训练】 1.(2016·衡水模拟)在平面直角坐标系中,记抛物线 y=x-x2与x轴所围成的平面区域为M,该抛物线与直线 y=kx(k>0)所围成的平面区域为A,向区域M内随机抛掷

一点P,若点P落在区域A内的概率为

则k的值为(

)

8 , 27 1 A. 3 2 B. 3 1 C. 2 3 D. 4

【解析】选A.如图,



得x=1-k,

? y ? kx, ? 2 y ? x ? x , ?

1 2 1 3 1 S ? 2 ? (x ? x )dx ? 2( x ? x ) | ? , 2 3 6 3 区域A的面积 1 ? k 2 1 3 1?k ?1 ? k ? 1?k 2 S ? ? 0 (x ? x ? kx)dx ? ( x ? x ) |0 ? , 2 3 6 3 因为 (1 ? k) 所以 8 3 6 ? 8, 1? k? ? , ? 1 27 27 所以 所以 6 1 2 k? . 1? k ? , 3 3
区域M的面积
2

1 2 0

1 2 0

2.(2016·广州模拟)曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围

成的曲边图形的面积为 4 则k=______. , 3

2 x ? k , ? x ? 0 , ? y ? x , ? 【解析】由 得 或 ? ? ? 2 y ? k , y?0 y ? kx ? ? ? 则曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边梯形的面

积为

3 k 1 k 1 3 4 k 2 2 3 k ? 0 (kx ? x )dx ? ( x ? x ) |0 ? ? k ? , 3 即k =8,所以k=2. 2 3 2 3 3

答案:2

? (A>0, Asin(?x ? ) 6 ω >0)的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积
3.(2016·青岛模拟)若函数f(x)= 为________.

T 2? ? A ? 1, ? ? (? ) ? ?,所以ω=1, 2 3 3 f(x)= ? 图中其与x轴的交点横坐标为 ? 所以 sin(x ? ). , 6 6 图中的阴影部分的面积为
【解析】由图象可知

? ? 3 ? [?sin(x ? )]dx ? cos(x ? ) | ? 1 ? . 答案: 6 6 2 3 1? 2

? 6 0

? 6 0

考向三

定积分在物理中的应用

【典例3】(1)物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l 上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同 时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后,物体A追

上物体B所用的时间t(s)为
A.3 B.4 C.5

(

)
D.6

(2)(2015·杭州模拟)设变力F(x)作用在质点M上,使M

沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x
轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为 J(x

的单位:m;力的单位:N)

【解题导引】(1)利用定积分分别计算出物体A,B行驶 的路程,然后利用它们之间的关系求解. (2)运用变力F(x)对质点M所做的功为W=

?10 1 F ? x ? dx

求解.

【规范解答】(1)选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为

物体B在t秒内行驶的路程为 所以 t t ?0 10tdt, ?0 (3t 2 ? 1)dt,
t t ?0 (3t 2 ? 1 ? 10t)dt ?2(t 3 ? t ? 5t 2 ) |0 ? t 3 ? t ? 5t 2 ? 5, 整理得(t-5)(t +1)=0,解得t=5.

(2)变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10 所做的功为 答案:342

1 3 10 W ? ? F ? x ? dx ? ? (x ? 1)dx ? ( x ? x) |1 ? 342 ? J ?. 3
10 1 10 1 2

【规律方法】定积分在物理中的两个应用

(1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的
速度为v=v(t),那么从时刻 t=a到t=b所经过的路程
b s ? ? a v ? t ? dt. (2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与

F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功

b W ? ?a F ? x ? dx.

【变式训练】(2016·大庆模拟)一列火车在平直的铁

轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度v(t)=5-t+

55 此期间火车继续行驶的距离是 ( 1 ?t
A.55 ln 10 C.12+55ln 7

(t的单位:s,v的单位:m/s)紧急刹车至停止.在 )

B.55 ln 11 D.12+55ln 6

55 注意到t>0,得t=10, 5? t ? ? 0, 1? t 即经过的时间为10 s,行驶的距离 55 10 s ? ? 0 (5 ? t ? )dt 1? t 1 2 ? [5t ? t ? 55ln ? t ? 1?]|10 0 =55ln2 11.
【解析】选B.令

【加固训练】 1.一物体在力F(x)= ?10 (0 ? x ? 2) (单位:N)的作用下 ? ?3x ? 4 (x> 沿与力F(x)相同的方向运动了 42) 米,力F(x)做功为( ) A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J

【解析】选B.力F(x)所做的功为
=20+26=46(J).

? 10dx ? ? ? 3x ? 4? dx
2 0 4 2

2.(2016·福州模拟)一物体按规律x=bt3做直线运动, 式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力正比于速度的 平方(比例系数为k,k>0),则物体由x=0运动到x=a,阻力

所做的功为

.

dx v ? ? (bt 3 )? ? 3bt 2 . dt 媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4.
【解析】物体的速度 当x=0时,t=0;

当x=a时,

a t ? t1 ? ( ) , 又dx=vdt,故阻力所做的功为 b
W 阻=

1 3

? F阻dx ? ? kv ?vdt ? k ? v dt
t1 0 2 t1 0 3

27 3 7 27 3 7 2 ? k ? (3bt ) dt ? kb t1 ? k a b . 7 7 答案: 27 3 7 2 k ab. 7
t1 0 2 3


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