2018年学习平面向量的数量积的坐标表示PPT教材课件_图文

平面向量的数量积的坐标表示 一、复习练习: 1. 若 | a |? 2, | b |? 1, a与b夹角为60 , a ? b ?| a || b | cos ? 。 (其中?是a与b的夹角) 则a ? b ? (1 ) a ?b | a |? 1, | b |? 2, 2. 若a ? b ? 2, 。 45 则a与b夹角为 ( ) cos ? ? | a || b | 3. 若 a与 b垂直,则 a ?b ? (0 ) a ? b ? a ? b ? 0; a ? a ?| a |2 | a |? a?a (4 ) ; 4. 若| a |? 2,则a ? a ? ? 5. 若i , j分别为与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量, ? ? ? ? 则i ? i ? ( 1 ); j ? j ? ( 1 ); ? ? ? ? i ? j ? j ? i ? ( 0 ). 若a ? a ? 9,则| a |? (3 ) . 二.创设教学情境 已知a ? (?1, 3), b ? (1,1), a与b的夹角为? , 求cos? . a ?b 根据以前的知识, cos ? ? . | a || b | 我们学过两向量的和与差可以转化 为它们相应的坐标来运算,那么怎样 用 a和b的坐标表示a ? b呢? 三、新课学习 1.平面向量数量积的坐标表示 如图,i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量, 由于a ? b ? a ? b cos ?,所以 y A(x ,y ) 1 1 B(x2,y2) b j i ?i ? 1 . j ? j ?1 . i ? j ? j ? i ?0 . a o i x 下面研究怎样用 a和b的坐标表示a ? b. 设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则 a ? x1i ? y1 j,b ? x2 i ? y2 j, a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2. 2 2 故两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和.即 y A(x1,y1) a i a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . B(x2,y2) b j o x 根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算. 2.向量的模和两点间的距离公式 (1)a ? a ? a 或 a ? 2 a ? a; (1)向量的模 设a ? ( x, y), 则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? 2 x2 ? y 2 . (2)两点间的距离公式 设A (x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 )2 ? (y1 ? y2 )2 . 3.两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0 设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0. (2)平行 设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 四、基本技能的形成与巩固 例1.已知a ? (3, 2), b ? (1, ?1), 求向量a与b的 夹角的余弦值. 解:设向量a与b的夹角为?,则 26 cos ? ? ? . 2 26 32 ? 22 ? 12 ? (-1) 3 ?1 ? 2 ? (-1) 26 即向量a与b夹角的余弦值为 . 26 例2.求以点C (a, b)为圆心,r为半径的圆的方 程(如图). 解:设M ( x, y)是圆上一点,则 | CM |? r,即CM ? CM ? r 2 . 因为CM ? ( x ? a, y ? b), 所以(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 即圆的标准方程. y M 如果圆心在坐标原点上,这时a ? 0,b ? 0, 那么圆的标准方程就是 x2 ? y 2 ? r 2 . C o x 例3.已知圆C:(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 求与圆C 相切于点P0 ( x0, y0 )的切线方程(如图). 解:设( P x,y)为所求直线l上一点. 根据圆的切线性质,有CP ? l,即CP , 0 ? PP 0 ?0 y C P0 P 因为CP0 ? ( x0 ? a, y0 ? b), PP0 ? ( x ? x0 , y ? y0 ), 所以(x0 ? a)(x ? x0 ) ? ( y0 ? b)( y ? y0 ) ? 0, 特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为 x2 ? y 2 ? r 2, O x 与它相切于P 0 ( x0 , y0 )的切线方程为 x0(x ? x0 )+y0(y-y0 )=0. 由于 x ? y ? r ,故此方程可化为x0 x ? y0 y ? r . 2 0 2 0 2 2 由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量m ? (1, k ) 与直线l共线, 我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l 的方向向量. 例4.已知直线l1: 3x ? 4 y ? 12 ? 0和l2: 7 x ? y ? 28 ? 0, 求直线l1和l2的夹角. 解:任取直线l1和l2的方向向量 3 m? (1, )和n ? ( 1, 7) . 4 设向量m与n夹角为?,因为m ? n ?| m || n | cos ?, 从而 ? 3? 1? 1 ? ? ? ? ? (-7) 2 4? ? cos ? ? ? . 2 3 2 2 2 2 1 ? (? ) ? 1 ? (-7) 4 所以? ? 45?,即直线

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