2014.05高三数学(理)答案

2013---2014 学年度下学期高三第二次统一考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一.选择题:每小题 5 分,总计 60 分 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 A 6 A 7 D 8 D 9 C 10 C 1 1 n (1-( ) ) 2 3 28 7 π 3 11 A 12 A

又∵面 SAD⊥面 ABCD,且面 SAD∩面 ABCD=AD ∴SE⊥面 ABCD ∵BD?面 ABCD ∴SE⊥BD ∵BD⊥CE,SE⊥BD,CE∩SE=E,∴BD⊥面 SEC SC?面 SEC ∴BD⊥SC (用三垂线定理证明,只要说清 CE 为 SC 在面 ABCD 内射影,同样赋分)??????6 分 (2)如图,以 E 为原点,EA、ES 所在直线分别为 x 轴,z 轴建立如图所示坐标系; 则 A(1,0,0),B(1, 2,0),C(-1, → SC=(-1, 2,- 3), S 2,0),D(-1,0,0),S(0,0, 3),E(0,0,0) z

二.填空题:每小题 5 分,总计 20 分. 13. 3
2014

→ SE=(0, 0, 3), → SB=(1, 2,- 3),

14.

D E O

C y

15. (1,2) 三.解答题:

16.

设面 ESA 的法向量为→ n1 =(x1,y1,z1), 设面 ESA 的法向量为→ n2 =(x2,y2,z2),则: → n1 ⊥→ SC,→ n1 ⊥→ SE,→ n2 ⊥→ SC,→ n2 ⊥→ SB
?-x1+ 2y1- 3z1=0 ? ∴? ? 3z1=0 ? ?-x2+ 2y2- 3z2=0 ? ? ?x2+ 2y2- 3z3=0 ?

π 2 17.解:f(x)=2cosx(3sinx-cosx)- 2 sin(2x+ )+1=3sin2x-2cos x-sin2x-cos2x+1 4 π 2sin2x-2cos2x=2 2sin(2x- ) 4 (1)令 2kπ π π π ≤2x- ≤2kπ + 2 4 2 π 3 ≤x≤kπ + π ,k∈Z 8 8 ????? ?8 分 ????? ?4 分

x

A

B

解得:→ n1 =( 2,1,0) ,→ n2 =(0, 3, 2) ∴→ n1 ·→ n2 = 3,|→ n1 |= 3,|→ n2 |= 5????????????????????9 分 ∴cos<→ n1 ,→ n2 >= 3 3× 5 = 5 5 5 ∴<→ n1 ,→ n2 >=arccos 5

解得:kπ -

π 3 ∴f(x) 的单调递增区间为[kπ - ,kπ + π ],k∈Z 8 8 5π 3π (2)∵ ≤x≤ 24 4 ∴2 π ≤sin(2x- )≤1 2 4 π π 5π ∴ ≤2x- ≤ 6 4 4 ∴-2≤2 2sin(2xπ )≤2 2 4

5 设二面角 E-SC-B 的平面角为θ ,由图可知θ =<→ n1 ,→ n2 >= arccos ? 5 即二面角 E-SC-B 的大小为 arccos 5 ??????????????????12 分 5

∴fmin(x)=-2,fmax(x)= 2 2 ??????12 分 18.(本小题满分 12 分) (1)证明:连接 BD,设 BD∩CE=O 易证:△CDE∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD ∵∠DBC+∠BDC=90? ∴∠ECD +∠BDC=90? ∴∠COD=90? ∴BD⊥CE?????????2 分 (用其它方法证出 BD⊥CE,同样赋分) ∵△SAD 为正三角形,E 为 AD 中点 ∴SE⊥AD

19. (本题满分 12 分) (1)读取茎叶图中数据,“标准件”的个数为 12,“非标准件”的个数为 18 12 18 按分层抽样抽取 5 件,这 5 件中,“标准件”的个数为 5? =2,“非标准件”的个数为 5? =3 30 30 设事件 A=“从 2 件标准件和 3 件非标准件中选 2 件,至少有一件是标准件”

2013---2014 学年度上学期高三第一次模拟考试数学试题(理科)参考答案考第 1 页(共 7 页)

C2 3 7 ? 则 P(A)=1?P(A )=1? = 10 C2 5 7 答:至少有一件是“标准件”的概率是 ??4 分 10 (2) 易知 X=0,1,2,3 事件“X=0”=“A”;“X=1”=“BA”;“X=2”=“BBA”;“X=3”=“BBB”(没抽到 A,也需强制 性结束) 1 1 1 0 A0 A1 A2 A3 4C8 2 4C8 8 4C8 4 4C8 1 P(X=0)= = ;P(X=1)= = ;P(X=2)= = ;P(X=3)= = 3 33 55 55 A1 A2 A3 A3 12 12 12 12 故 X 的分布列如下??10 分 X P 0
2 3

→ =(2-x ,-y ),A → → =(x2+2,y2),MA 2 1 1 1M=(x1+2,y1),NA2=(2-x2,-y2) → → → → 由A (x2+2) (2-x1)-y1y2+( x1+2)( 2-x2)-y1y2=12 1N·MA2+A1M·NA2=12 得: -2x1x2-2y1y2+8=12 4k -12 -9k + 2 =-2 2 4k +3 4k +3 ∴k=± 2 ∴直线 l 方程为: 2x-y- 2=0 或 2x+y- 2=0 ??????12 分 21. (本题满分 12 分) 2(ax +2ex?1) (1)f′(x)= (x>0) x ①当 a≥0 时,方程 2ax +2x?1=0 的正实根是 x0= 减,(x0,+∞)单增 此时 f(x)不存在极大值
2 2 2 2 2 2 2

∴x1x2+y1y2=-2 ∴-5k -12=-8k -6
2 2

k =2

2

1
8 33

2
4 55

3
1 55

2 8 4 1 73 其数学期望 E(X)=0? +1? +2? +3? = ??12 分 3 33 55 55 165 20. (本题满分 12 分) 2 2 2 2 2 2 2 解: (1)将直线方程 y=x-1 代入椭圆方程并整理得: (a +b )x -2a x+a -a b =0 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1,x2 是方程的两个根,由韦达定理得:x1+x2= y1+y2= x1+x2-2=
2

?e+ e +a 1 (a>0)或 (a=0),f(x)在(0,x0)单 a 2e

2

2a a -a b 2 2 , x1x2= 2 2 a +b a +b
2

2

②当?e <a<0 时,方程 ax +2ex?1=0 有两个的正实根是 x1=

2

2

?e+ e +a ?e? e +a 和 x2= (明显 x1<x2) a a

2

2

-2b 2 2 a +b

2

x1+x2 a y1+y2 -b ∴xP= = 2 2 2= 2 2 , yP = 2 a +b 2 a +b
2 2

2

2

yP b ∴kOP= =- 2 xP a

此时 f(x)在(0,x1)单减,(x1,x2)单增,(x2,+∞)单减?x2 是极大值点 ③当 a≤?e 时,f(x)在(0,+∞)单减,故此时 f(x)不存在极大值 ?e? e +a 2 综上,f(x)存在极大值时,a∈(?e ,0),且此时极大值点为 ??????????6 分 a (2)首先注意 g(x)+g(?x)=0?g(x)是奇函数,?+?>0??>?? 此时 g(?)+g(?)>a(?+?)?g(?)?a?>g(??)?a(??)(?>??) 设 G(x)=g(x)?ax=e ?e? ?(2e+1+a)x(x∈R),则上述不等式?G(x)是 R 上的增函数
x x 2 2

b 3 ∴由题意:- 2 =a 4

∴3a =4b (若考生用点差法求得此式同样赋分) y 在直线 l 的方程中令 y=0 得,x=1 ∴F(1,0) ∴c=1 2 2 ∴解得:a =4,b =3 2 2 A1 x y ∴椭圆方程为: + =1 ??????6 分 O 4 3

P N

l M F A2 x

? ?x +y =1 2 2 2 2 (2)联立方程组:? 4 3 ,消元并整理得: (4k +3)x -8k x+4k -12=0 ? ?y=k(x-1)
△=(-8k ) -4(4k +3)( 4k -12)=144(k +1)>0 8k 4k -12 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 4k +3 4k +3 y1+y2=k(x1+x2-2)= -6k -9k ,y1y2= 2 2 4k +3 4k +3
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

据 G′(x)=e +e? ?2e?1?a,则对任意 x∈R,恒有 G′(x)≥0 即 a≤e +e? ?2e?1 成立
x x x x

又 e +e? ?2e?1≥2 e ?e? ?2e?1=1?2e,故 a≤(e +e? ?2e?1)min=1?2e
x x x x x x

结合(1)的结论知 a∈(?e ,1?2e] ????????① 据(1)中的②知 x1,x2(0<x1<x2)是方程 ax +2ex?1=0?a=
2

2

1?2ex 的两个实根 2 x

A1(-2,0) ,A2(2,0) ,M(x1,y1),N(x2,y2)
2013---2014 学年度上学期高三第一次模拟考试数学试题(理科)参考答案考第 2 页(共 7 页)

据?e <a≤1?2e??e <
2 2

1?2ex 1 1 1 ≤1?2e?x∈[ , )∪( ,1] 2 x 1?2e e e

24. 解:(1)由 a ? 0 知原不等式为 | x ? 3 | ? | x |? 4 当 x ? 3 时, 2 x ? 3 ? 4 ,解得 x ? 当 0 ? x ? 3 时, 3 ? 4 ,无解.

1 1?2ex2 上面的 x 可以 x1 也可以是 x2,注意 0<x1<x2,故极大值点 x2∈( ,1],此时 a= 2 e x2 1?2ex2 2 1 2 故 M=f(x2)=ax2 +4ex2?2lnx2= ?x2 +4ex2?2lnx2=2ex2+1?2lnx2,x2∈( ,1] 2 x2 e 1 设 F(x)=2ex+1?2lnx,x∈( ,1] e 2(ex?1) 1 1 此时 F′(x)= >0?F(x)在( ,1]上单增?F( )<F(x)≤F(1) x e e 1 注意到 F( )=5;F(1)=2e+1?5<M≤2e+1.证毕?????????12 分 e 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(1)连结 BC,易知∠ACB=∠APE=90?.即 P、B、C、E 四点共圆. ∴∠PEC=∠CBA. 又 A、B、C、D 四点共圆,∴∠CBA=∠PDF, ∴∠PEC=∠PDF (2)∵∠PEC=∠PDF,∴F、E、C、D 四点共圆. ∴PE·PF=PC·PD=PA·PB=2×12=24. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(1)圆 C 的方程整理可得: ? ? 2?(cos ? ? sin ?)
2 2 2 化为标准方程得: ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2 .圆心为 (1, ?1) ,半径为 2 .

7 . 2 1 . 2
----5 分

当 x ? 0 时, ?2 x ? 3 ? 4 ,解得 x ? ? 故解集为 { x | x ? ?

1 7 或x ? } . 2 2

(2)由 ?x ? R,| x ? 3 | ? | x ? a |? 4 成立可得 (| x ? 3| ? | x ? a |)min ? 4 . 又 | x ? 3| ? | x ? a |?| x ? 3 ? ( x ? a) |?| a ? 3| , 即 (| x ? 3| ? | x ? a |)min = | a ? 3 |? 4 .

----5 分 ----10 分

解得 ?1 ? a ? 7 .

----10 分

直线 l 一般方程为: x ? 2 y ? 2 ? a ? 0 ,故圆心 C 到 l 的距离

d?

|1 ? a | 5 ? |1 ? a | . ----5 分 5 5

(2)由题意知圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ( 2)2 ? (

3 5 2 5 . ) ? 5 5
----10 分

由(Ⅰ)知

5 5 ? |1 ? a | ,得 a ? 0或a ? 2 . 5 5

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