浙江省瑞安中学2019届高三第三次适应性测试-数学文

浙江省瑞安中学 2019 届高三第三次适应性测试数学试卷(文科)

本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,考试时间 120 分钟,试卷总分为 150 分。请考生按规 定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式:

求的表面积公式

棱柱的体积公式

S ? 4? R2

V ? Sh

求的体积公式

其中 S 表示棱柱的低面积, h 表示棱柱的高。

V ? 4 ? R3 3

棱台的体积公式

其中 R 表示球的半径
棱锥的体积公式

1 V ? 3 h(S1 ? S1S2 ? S2 其中 S1、S2 表示棱台的上、下低面积, h 表示棱

V ?1 Sh 3

台的高。

其中 S 表示棱锥的底面积, h
表示棱锥的高

第I卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1.若复数 z 满足 z ? i(z ? 2i) ,则在复平面内 z 所对应的点在(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.“ x ?(A B) ”是“ x ? A且x ? B ”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.双曲线 kx2 ? y2 ? 1 的一条渐近线与直线 2x ? y ?1 ? 0 垂直,

则此双曲线的离心率是(

)

A. 5 2

B. 3 2

C. 4 3

D. 5

4.已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为

(

)

A. 1 5

B. 2 5

C. 3 5

D. 4 5

5.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把 100 个

面包分给 5 个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 1 是较小的两份之 7

和,问最小的 1 份为(



A. 11 6

B. 5 6

C. 10 3

D. 5 3

6.定义行列式运算 x1 x2

y1 y2

? x1 y2 ? x2 y1, 将函数

f (x) ? 3 1

cos x 的图象向右平移 sin x

?(? ? 0) 个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则? 的最小值为(



A. ? 6

B. 5? 6

C. 2? 3

D. ? 3

7.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a ? 平面 M, b ? 平面 N, M N ? c ,, 则下面四个命

题中正确的是(



A.若 a 与 b 是平行两直线,则 c 至少与 a,b 中的一条相交

B.若 a ? b,a ? c , 则必有 M ? N

C.若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直

D.若 a // b,则a // c

8.圆心在抛物线 x2 ? 2 y(x ? 0) 上,并且与抛物线的准线及 y 轴均相切的圆的方程是(



A. x2 ? y2 ? x ? 2y ? 1 ? 0 4

B. x2 ? y2 ? x ? 2y ?1 ? 0

C. x2 ? y2 ? 2x ? y ? 1 ? 0 4

D. x2 ? y2 ? x ? 2y ?1 ? 0

9.已知点 A(1, 0) ,直线 l : y ? 2x , O 是坐标原点, R 是直线 l 上的一点,若 RA ? 2AP ,

则 OP 的最小值是(

)

A. 3

B. 3 5 5

C. 3 5

D. 3

10.已知函数 f ? x? 的定义域为?a,b? ,函数 f ? x? 的图象如图所示,则函数 f ? x ? 的图象是( )

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。把答案填在答题卷的相应位置。 11.某大型超市销售的乳类商品有四种:液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且液态奶、
酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 40 种、10 种、30 种、20 种不同的品牌,现从中抽 取一个容量为 20 的样本进行三聚氰胺安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则 抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是
12.海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A 、 B ,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向,海上停泊 着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75? 方向,与 A 相距 3 2 海里的 D 处;乙船位于 灯塔 B 的北偏西 60? 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处,则两艘船之间的距离为 海里。
13.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是
14.函数 y ? f (x) 在定义域 (? 3 , 3)内可导,其图象如下图,记 y ? f (x) 的导函数为 2
y ? f / (x) ,则不等式 f / (x) ? 0 的解集为_____________

15.几何体的三视图如上,则该几何体的体积是
16. 设 F 为抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,点 A 在抛物线上, O 为坐标原点,若

?OFA ? 120 ,且 FO ? FA ? ?8 ,则抛物线的焦点到准线的距离等于

?x2 ? y2 ? 2x ? 2y ?1 ? 0

17.设 O 为坐标原点,A(1,1),若点 B(x,y)满足 ??1 ? x ? 2,

则OA ? OB

??1 ? y ? 2.

取得最小值时,点 B 的坐标是

三、解答题(共 72 分,解答题须写出必要的解题过程) 18、(本题满分 14 分)如图,点 A、B 是单位圆上的两点,A、B 点分别在第一、二象限,点

C 是圆与 x 轴正半轴的交点,若∠COA= 600 ∠AOB=? ,点 B 的坐标为 (? 3 , 4) , 55
(1)求 sin ? 的值;
(2)已知动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动至少需要 2 秒钟, 若动点 P 从 A 点到 C 点按逆时针方向作圆周运动,求点 P 到 x 轴 的距离 d 关于时间 t(秒)的函数关系式。

19.(本题满分 14 分)
已 知 直 角 梯 形 ABCD 中 , A B/ / C D, A B? B C, A?B 1, B?C 2 , C?D 1? 过3 , A 作
AE ? CD ,垂足为 E、G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将 ?ADE 沿 AE 折叠,使 DE ? EC (1) 求证: BC ? 面 CDE (2) 求证: FG // 面 BCD
(3) 求四棱锥 D-ABCE 的体积

20.(本题满分 14 分)将 n2 个数排成 n 行 n 列的一个数阵:

a11 a12 a13 ??? a1n a21 a22 a23 ??? a2n a31 a32 a33 ??? a3n ??? ??? ??? ?????? an1 an2 an3 ??? ann

已知 a11 ? 2, a13 ? a61 ?1,该数列第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列,每

一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列,其中 m 为正实数。

(1).求第 i 行第 j 列的数 aij ;

(2)求这 n2 个数的和。

21.(本小题满分 15 分) 已知函数 f (x) ? mx3 ? nx2 (m,n ? R,m ? n且m ? 0) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行.
(1)求 m 与 n 的关系式; (2)若函数 y ? f (x) 在区间[n, m] 上有最大值为 m ? n2 ,试求 m 的值.
22. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别
在 x 轴和 y 轴上(如图),且 OC=1,OA=a+1(a>1),点 D 在边 OA 上,满足 OD=a. 分别以 OD、OC 为长、短半轴的椭圆在矩 形及其内部的部分为椭圆弧 CD. 直线 l:y=-x+b 与椭圆弧相切, 与 OA 交于点 E.
(1)求证: b2 ? a2 ? 1; (2)设直线 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,求直线 l 的方程; (3)在(2)的条件下,设圆 M 在矩形及其内部,
且与 l 和线段 EA 都相切,求面积最大的圆 M 的方程.

浙江省瑞安中学 2019 届高三第三次适应性测试 数学参考答案(文科)

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 A B

A

A

D

B

D

C

B

B

二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。)

11. 6 ;

12. 13 ;

13. 3 ; 10

15. 12 ;

16. 16 ;

17. (1,2),(2,1)

14.[? 1 ,1] [2,3) ; 3

三、解答题(5 题共 72 分,解答题须写出必要的解题过程) 18. (本题满分 14 分)如图,点 A、B 是单位圆上的两点,A、B 点分别在第一、二象限,
点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,若∠COA= 600 ∠AOB=? ,点 B 的坐标为 (? 3 , 4) , 55
(1)求 sin ? 的值;

(2)已知动点 P 沿圆弧从 C 点到 A 点匀速运动至少需要 2 秒钟, 若动点 P 从 A 点到 C 点按逆时针方向作圆周运动,求点 P 到 x 轴 的距离 d 关于时间 t(秒)的函数关系式。

18.解:(1) sin?COB ? 4 ,cos?COB ? ? 3 , …………3 分

5

5

sin? ? sin(?COB ? 600 ) ? 4 ? 3 3 10

…………7 分

(2)? ? ? 6

…………10 分

? d ?| sin t |,(2 ? t ? 12)
6

…………14 分

19.解:(I)证明:由已知得:

DE ? AE, DE ? EC,? DE ? 面ABCE ? DE ? BC,又BC ? CE,? BC ? 面DCE

(II)证明:取 AB 中点 H,连结 GH,FH,

?GH // BD, FH // BC,?GH // 面BCD, FH // 面BCD ?面FHG // 面BCD?GE // 面BCD

(由线线平行证明亦可)

(III) 1 ?1? 2? 3 ? 2 3

3

3

20.解:(I)由 a11 ? 2, a13 ? a61 ?1, ,得 2m2 ? 2 ? 5m ?1

解得 m ? 3 或 m ? ? 1 (舍去) 2

………………(3 分)

aij ? aij ?3j?i ? ??2 ? ?i ?1? m?? 3j?i ? ?3i ?1?3j?i ………………(7 分)

(II)

S ? ?a11 ? a12 ? ???a1n ? ? ?a21 ? a22 ? ???a2n ? ? ????an1 ? an2 ? ???ann ?

? ? ? ? ? ? ? a11 1? 3n ? a21 1? 3n ? ??? ? an1 1? 3n

1?3

1?3

1?3

…………(14 分)

? 1 ?3n ?1?? ?2 ? 3n ?1? n ? 1 n?3n ?1??3n ?1?

2

2

4

21.解:(1)由图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行,知 f '(2) ? 0

?n ? ?3m ① m ? 0 …………………………………………………(5 分) (2)令 f '(x) ? 3mx2 ? 2nx ? 3mx2 ? 6mx ? 0
得 x ? 0或x ? 2 易证 x ? 0 是 f (x) 的极大值点, x ? 2 是极小值点.
令 f (x) ? f (0) ? 0,得x ? 0或x ? 3 .
(I)当 0 ? m ? 3 时, f (x)max ? f (0) ? 0,?m ? n2 ? 0 由①,②解得 m ? 1 ,符合前提 0 ? m ? 3 . 9
(II)当 m ? 3 时, f (x)max ? f (m) ? m4 ? m2n ?m4 ? m2n ? m ? n2. ③ 由①,③得 m3 ? 3m2 ? 9m ?1 ? 0,记g(m) ? m3 ? 3m2 ? 9m ?1 ,
g '(m) ? 3m2 ? 6m ? 9 ? 3(m ?1)2 ? 6 ? 0 , ?g(m) 在 R 上是增函数,又 m ? 3,?g(m) ? g(3) ? 26 ? 0 , ? g(m) ? 0 在 (3,??) 上无实数根. 综上讨论可知,m 的值为 m ? 1 .……………………………………(15 分)
9

22.解:题设椭圆的方程为

x2 a2

? y2

?1.

………1 分



?? ?

x2 a2

?

y2

? 1,

消去

y



?? y ? ?x ? b

(1 ? a2 )x2 ? 2a2bx ? a2 (b2 ?1) ? 0 . ……………………2 分

由于直线 l 与椭圆相切,故△ =(-2a2b)2-4a2(1+a2) (b2 -1)=0,

化简得 b2 ? a2 ? 1.



(2)由题意知 A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),

…………………4 分

? ? 于是 OB 的中点为

a

? 2

1

,

1 2

.

…………………………5 分

? ? 因为 l 将矩形 OABC 分成面积相等的两部分,所以 l 过点 a ? 1, 1 , 22



1 2

?

?(a ? 2

1)

?

b

,亦即

2b

?

a

?

2

.



由①②解得 a ? 4 , b ? 5 ,故直线 l 的方程为 y ? ?x ? 5 .

33

3

? ? ? ? (3)由(2)知 E

5 3

,

0

,

A

7 3

,

0

.

…………………………6 分 …………………………8 分

因为圆 M 与线段 EA 相切,所以可设其方程为 (x ? x0 )2 ? ( y ? r)2 ? r2 (r ? 0) .………9 分

? ?

0

?

r≤

1 2

,

因为圆

M

在矩形及其内部,所以

?? ? ?

x0

?

5, 3

? ??

x0

?

r≤

7 3

.

④ ……………………… 10 分

圆M与

l

相切,且圆

M



l

上方,所以

3(x0 ? 3

r) 2

?

5

?

r

,即

3(x0

?

r)

?

5

?

3

2r .

………………………12 分

??0

?

r≤

1 2

,

代入④得

?? ? ?

5

?

3(

2 3

? 1)r

?

5 3

,

?5? 3 ?? 3

2r ≤ 7 , 3

即 0 ? r≤

2 3

.

………………………13 分

所以圆 M 面积最大时, r ?

2 3

,这时,

x0

?

7

? 3

2.

故圆

M

面积最大时的方程为

? ??

x

?

7

? 3

2

?2 ??

?

? ??

y

?

2 3

?2 ??

?

2. 9

………………………15 分


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