北师大版高中数学选修2-3课件:第二章 概率 §3_图文

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第二章 概 率
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§3 条件概率与独立事件

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有甲、乙两批种子,发芽率分别为 0.8和 0.9 ,在两批种子

中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是多少?
提示: P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.

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1.条件概率
(1)条件概率的定义 B 发生的条件下,A 发生的概率,称为 B 发生时 A 发生的

P(A|B) . 条件概率,记作__________
(2)条件概率公式 P?A∩B? ①当 P(B)>0 时, 有 P(A|B)= (其中 A∩B 也可记成 P?B? AB ; ________) P?AB? P?A? ②当 P(A)>0 时,有 P(B|A)=__________.

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理解条件概率需注意以下几点
1.事件B在事件A已发生这个附加条件下的概率与没有这 个附加条件的概率是不同的. 2.所谓条件概率,是当试验结果的一部分信息已知(即在 原随机试验的条件下,再加上一定的条件 ) ,求另一事件在此 条件下的概率.

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3. 已知事件 A 发生, 在此条件下 B 发生, 相当于 AB 发生, 求 P(B|A)时,可把 A 看作新的基本事件空间来计算 B 发生的概 n?AB? n?AB? n?Ω? P?AB? 率,即 P(B|A)= = = . n?A? n?A? P?A? n?Ω?

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2.相互独立事件
(1)定义

P(AB)=P(A)P(B) 设 A,B 为两个事件,如果____________________ ,则称
事件 A 与事件 B 相互独立. (2)性质
B ①如果事件 A 与 B 相互独立, 那么事件 A 与_______ ,A 与 B B A _______ ,__________ 与__________ 也都相互独立. P(A) ②若事件 A 与 B 相互独立, 则 P(B|A)=__________ , P(A|B)

P(B) ,P(AB)=____________ P(A)P(B) . =________

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理解事件的相互独立要注意以下几点
1.对于事件A,B,如果事件A(或B)是否发生对事件 B(或 A) 发 生 的 概 率 没 有 影 响 , 则 称 这 两 个 事 件 为 相 互 独 立 事 件.如:甲袋中装有 3 个白球, 2 个黑球,乙袋中装有 2 个白 球,2个黑球,从这两个袋中分别摸出1个球,把“从甲袋中摸 出1个白球”记为事件A,把“从乙袋中摸出 1个白球”记为事 件B,显然事件A与B相互独立.

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2.一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都是相互独立的. 拓展:如果事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事 件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即 P(A1A2A3?An)=P(A1)P(A2)?P(An).

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1 3 1.已知 P(B|A)= 2,P(AB)= 8,则 P(A)等于( 3 A. 16 3 C. 4 13 B. 16 1 D. 4

)

3 解析: 由 P(AB)=P(A)P(B|A)可得 P(A)= 4.

答案: C

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2 .投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测 试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6 ,且各次投篮是否 投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )

A.0.648
C.0.36
解析:

B.0.432
D.0.312
利用独立重复试验概率公式求解.

2 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k=2)=C2 × 0.6 ×(1-0.6), 3

投中 3 次的概率为 P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为 P(k
2 3 =2)+P(k=3)=C2 × 0.6 × (1 - 0.6) + 0.6 =0.648.故选 A. 3

答案: A

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3.两个人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为 1 1 5,4,则密码被译出的概率为____________.
解析: 密码被译出的对立事件是不能被破译,即两人都 1 1 12 3 没有译出的概率为 P=(1-5)×(1-4)=20=5, 3 2 ∴被译出的概率为 1-5=5.

答案: 0.4

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4 .制造一种零件,甲机床的正品率为 0.90 ,乙机床的正 品率为0.80,分别从它们制造的产品中任意抽取一件.

(1)两件都是正品的概率;
(2)两件都是次品的概率; (3)恰有一件正品的概率.

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解析: 记“从甲机床抽到正品”为事件 A,“从乙机床 抽到正品”为事件 B,“抽取的两件产品中恰有一件正品”为 事件 C,由题意知 A,B 是相互独立事件, (1)P(AB)=P(A)· P(B)=0.90×0.80=0.72; (2)P( A B )=P( A ) · P( B )=0.10×0.20=0.02; (3)P(C) = P(A B ) + P( A B) = P(A)· P( B ) + P( A )· P(B) = 0.90×0.20+0.10×0.80=0.26.

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条件概率
现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2 个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的 概率.

[思路导引]

(1)(2)问是古典概型问题,(3)是求条件概率,

利用条件概率公式求解.

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[边听边记] AB.

设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A, 第 2 次抽到

舞蹈节目为事件 B,则第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目为事件 (1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个的事件数为 n(Ω)= A2 6=30, 根据分步计数原理 2 =3. (2)因为 n(AB)=A2 4=12,于是 n?AB? 12 2 P(AB)= = = . n?Ω? 30 5
1 n(A)=A1 A 4 5=20,于是

n?A? 20 P(A)= = n?Ω? 30

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(3)方法一: 由(1)(2)可得, 在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下, 2 P?AB? 5 3 第 2 次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)= = = . P?A? 2 5 3 方法二:因为 n(AB)=12,n(A)=20, n?AB? 12 3 所以 P(B|A)= = = . n?A? 20 5

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条件概率的求法 P?AB? (1)利用定义, 分别求出 P(A)和 P(AB), 解得 P(B|A)= . P?A? (2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数, n?AB? 即 n(AB),得 P(B|A)= . n?A?

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1.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,
每次抽1张.已知第1次抽到A,求第2次也抽到A的概率.

解析: 方法一:设第 1 次抽到 A 为事件 M,第 2 次抽到 A 为事件 N,两次都抽到 A 为事件 MN,从 52 张扑克牌中不放 回地抽 2 张的事件总数为
1 A1 故 4A51=4×51=204,

204 P(M)=2652;

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事件 MN 的总数为

A2 4=12,故

12 P(MN)=2652.

12 P?MN? 2652 1 由条件概率公式,得 P(N|M)= = 204 =17. P?M? 2652
1 方法二:第 1 次抽到 A 的事件数为 A1 A 4 51=4×51=204,

两次都抽到 A 的事件数为 A2 4=12, 12 1 故 P(N|M)=204=17.

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相互独立事件
甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲
射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求: (1)2人都射中目标的概率; (2)2人中恰有1人射中目标的概率; (3)2人至少有1人射中目标的概率;

(4)2人至多有1人射中目标的概率.
[ 思路导引 ] (1) 直接利用公式求解, (2)(3)(4) 利用互斥事 件分类讨论,再用独立事件对立事件公式求解.

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解析: 记“甲射击 1 次,击中目标”为事件 A,“乙射 击 1 次,击中目标”为事件 B,则 A 与 B, A 与 B,A 与 B , A 与 B 为相互独立事件, (1)2 人都射中目标的概率为: P(AB)=P(A)· P(B)=0.8×0.9=0.72.

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(2)“2 人各射击 1 次, 恰有 1 人射中目标”包括两种情况: 一种是甲射中、乙未射中(事件 A B 发生),另一种是甲未射中、 乙射中(事件 A B 发生).根据题意,事件 A B 与 A B 互斥,根据 互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所 求的概率为: P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B) =0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9 =0.08+0.18=0.26.

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(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”2 种情况,其概率为 P=P(AB)+[P(A B )+P( A B)]=0.72+0.26=0.98. (4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人都未射中”, 故所求概率为:P=P( A B )+P(A B )+P( A B) =P( A )P( B )+P(A)P( B )+P( A )P(B) =0.02+0.08+0.18=0.28.

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在解题过程中,要明确事件中的“至少有一

个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发
生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.已知两个事件 A、B,它们的概率分别为P(A)、P(B),则
A、B 中至少有一个发生的事件为 A+B; A、B 都发生的事件为 AB; A、B 都不发生的事件为 A B ; A、B 恰有一个发生的事件为 A B + A B; A、B 中至多有一个发生的事件为 A B + A B+ A B .

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2.从一副扑克牌(除去大、小王)52张中任抽一张,设A= “抽得老 K”,B =“抽得红牌”, C=“抽到 J”,判断下列 每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? (1)A与B;(2)C与A.

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解析: (1)由于事件 A 为“抽得老 K”,事件 B 为“抽得 红牌”,故抽得红牌中有可能抽到红桃 K 或方块 K,即有可能 抽到老 K,故事件 A,B 有可能同时发生,显然它们不是互斥 事件,更加不是对立事件.以下考虑它们是否互为独立事件: 4 1 26 1 抽到老 K 的概率 P(A)=52=13, 抽到红牌的概率 P(B)=52=2, 1 1 1 故 P(A)· P(B)=13· 2=26,事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽 得红牌”,亦即“抽得红桃老 K 或方块老 K”, 2 1 故 P(AB)=52=26,从而有 P(A)· P(B)=P(AB),因此 A 与 B 互为独立事件.

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(2)从一副扑克牌(除去大、小王)52张中任取一张,抽到老 K就不可能抽到 J,抽到J就不可能抽到老K,故事件C与事件A

不可能同时发生, A 与 C 互斥,又因为抽不到老 K 不一定抽到
J ,故 A 与 C 并非对立事件,显然 P(AC) = 0 , P(A)·P(C)≠0 ,所 以P(AC)≠P(A)·P(C),所以A与C不相互独立.

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与相互独立事件有关的综合问题
(12 分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训 练情况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 2 3 1 内(称为合格)的概率分别为5,4,3,若对这三名短跑运动员的 100 m 跑的成绩进行一次检测,则 (1)三人都合格的概率; (2)三人都不合格的概率; (3)出现几人合格的概率最大.

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[思路导引]

记“甲、 乙、 丙三人 100 米跑成绩合格”分别

为事件 A,B,C,显然事件 A,B,C 相互独立,ABC 表示三人 都合格, A B C 表示三人都不合格,依题意即可求出(1)(2), 对于问题(3)要明白“出现几人合格的概率”表示可能没有,可 能有一个,可能有两个也可能有三个.

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[规范解答]

记“甲、 乙、 丙三人 100 米跑成绩合格”分别

为事件 A,B,C,显然事件 A,B,C 相互独立, 2 3 1 则 P(A)=5,P(B)=4,P(C)=3. 设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k=0,1,2,3) 2分 2 3 (1)三人都合格的概率: P3=P(ABC)=P(A)· P(B)· P(C)=5×4 1 1 ×3=10. (2) 三 人 都 不 合 格 的 概 率 : P0 = P( A 3 1 2 1 P( A )· P( B )· P( C )=5×4×3=10. B 5分 C )= 8分

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(3)恰有两人合格的概率: P2=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC) 2 3 2 2 1 1 3 3 1 23 =5×4×3+5×4×3+5×4×3=60. 10 分

1 23 恰有一人合格的概率:P1=1-P0-P2-P3=1-10-60- 1 25 5 10=60=12. 综合(1)(2)(3)可知 P1 最大. 所以出现恰有 1 人合格的概率最大. 12 分

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对于含有“至少”、“至多”的概率问题,通 常转化为求其对立事件的概率,即利用公式 P(A)=1-P( A )达 到求解的目的. 如果事件 A1,A2,?,An 相互独立,对于公式 P(A1A2?An) =P(A1)P(A2)?P(An)中任意多个事件 Ai 换成其对立事件后等式 仍成立.

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3.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每 轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘 汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分 5 4 3 1 别为 6、 5、 4、 3,且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

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解析: 设事件 Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”, 5 4 由已知 P(A1)= 6,P(A2)= 5, 3 1 P(A3)= 4,P(A4)= 3, (1)设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”, 则 P(B)=P(A1A2 A 3) =P(A1)P(A2)P( A 3) 3? 1 5 4 ? = 6× 5×?1- 4?= 6. ? ?

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(2)设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则 P(C)=P( A +A1 A 2+A1A2 A 3) =P( A 1)+P(A1 A 2)+P(A1A2 A 3) 3? 1 5 1 5 4 ? = 6+ 6× 5+ 6× 5×?1- 4? ? ? 1 = 2.

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设甲、乙两射手独立地对同一目标进行射击,各射击一
发,他们击中目标的概率分别为 0.9,0.8,求在一次射击中,目 标被击中的概率.

【错解】

设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,

甲、乙两人中至少有一人击中目标为事件C.因为C=A+B, 所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=1.7. 【错因】 因为甲、乙两射手独立射击同一目标,所以事 件A与B是两个相互独立事件.错解中运用公式 P(A+ B) = P(A)

+P(B)是误认为A、B是两个互斥事件.

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【正解】 设甲击中目标为事件 A,乙击中目标为事件 B, 甲乙两人中至少有一人击中目标为事件 C. 方法一:因为 A、B 是相互独立事件,所以 A 与 B , A 与 B 也是相互独立事件,所以 P(C) = P(A B ) + P( A B) + P(AB) = P(A)P( B ) + P( A )P(B) + P(A)P(B) = 0.9×(1 - 0.8) + (1 - 0.9)×0.8+0.9×0.8=0.98. 方法二:P(C)=1-P( C )=1-P( A B )=1-P( A )P( B ) =1-[1-P(A)][1-P(B)] =1-0.1×0.2=0.98.

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