极坐标系及简单的极坐标方程习题课_图文

能在极坐标系中用极坐标表示点的 位置,能进行极坐标与直角坐标的 互化,掌握直线与圆的极坐标方程.

1.   已知点M 的直角坐标为(2, ? 2 3), 则其极坐标是 ? A. (4, ) 3 4? C., (4 ) 3
2 2

?
2? B., (4 ) 3 5? D. (4, ) 3

?

?2 3 解析: ? ? 2 ? ??2 3 ? ? 4, tan ? ? ? ? 3, 2 3? 5? 且? ? ( , 2? ),所以? ? ,故选D. 2 3

  2.已知点M ( ?,? ),则M 点关于极点 对称的点N的极坐标是 ? A. ( ?,? ? ? ) C. ( ?,? ? ? ) B. ( ?, ?? ) D. ( ?, 2? ? ? )

A?

3.在极坐标系中,过点M (2, ),且平行于 2 极轴的直线的极坐标方程是   .
解析: 如图,设P( ?,? )为 直线上任意一点, 在Rt ?MP中, 2 即? sin ? ? 2.

?

? cos( ? ? ) ? 2,

?

4.极坐标方程分别是? ? cos? 和? ? sin ? 的两个圆的圆心距是 .

1 1 解析: ? ? cos? 是圆心为(, 0),半径为 的圆; 2 2 1 ? 1 ? sin ? 是圆心为( , ),半径为 的圆, 2 2 2 2 故两圆的圆心距为 . 2

5.坐标方程4sin ? ? 3化为直角坐标
2

方程是
2

  .

解析: 由4sin ? ? 3知, 4r 2 ? sin 2 ? ? 3? 2, 即4 y 2 ? 3 ? x 2 ? y 2 ?,则y 2 ? 3x 2, 即y ? ? 3 x.

1.坐标系的类型

?1? 直线上的点的坐标; ? 2 ? 平面直角坐标系; ? 3? ① __________ 系; ? 4 ? 柱坐标系; ? 5 ? 球坐标系.
2.坐标之间互化

?1? 极坐标M ( ?,? )化为平面直角坐标M ( x,y):
?② ? ?③

? 2 ?空间点P的直角坐标( x,y,z )与柱坐标
? x ? ? cos? ? ( ?,?,z )之间的变换公式为: . ? y ? ? sin ? ?z ? z ? 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标 系及空间直角坐标系的一部分建立起来的.

? 3?空间点P的直角坐标( x,y,z )与球坐标
? x ? r sin ? cos? ? (r,?,? )之间的变换关系为 ? y ? r sin ? sin ? . ? z ? r cos ? ?

3.直线与圆的极坐标方程

【要点指南】 ①极坐标;②x ? ? cos?;③y ? ? sin ?; ④y ? x tan ?;⑤? sin(? ? ? ) ? p;⑥? sin ? ? b;

?1 ? ⑦x ? a;⑧ ? ;⑨? ? r; sin?? ? ? ? sin??1 ? ? ?
⑩x 2 ? 2rx ? y 2 ? 0; ? ? ?2r sin ?

题型一 极坐标的基本概念及应用

例1. ?1?点A(5, )在条件: 3 ①? ? 0,? ? (?2? , 0)下的极坐标是 ________ ; ②? ? 0,? ? (2? , 4? )下的极坐标是 _________ . 1 4? ? 2 ?点P(? , )与曲线C: 2 3

?

? ? sin 的关系是 ________ .
2

?

解析: ?1? ①当?>0时,点A(5, )的极坐标的一般 3 形式为(5, ? 2k? )(k ? Z). 3 由 ? 2? <? <0,得 ? 2? < ? 2k? <0(k ? Z), 3 ? 5? 解得k ? ?1,所以? ? ? 2? ? ? , 3 3 5? 所以满足条件的点A的极坐标为(5, ? ). 3

?

?

?

解析: ②当?<0时,点A(5, )的极坐标的一般 3 形式是(?5, ? ? 2k ? 1? p)(k ? Z).由2? <? <4? , 3 得2? < ? ? 2k ? 1? ? <4? ,解得k ? 1, 3 ? 10? 所以? ? ? 3? ? , 3 3 10? 故满足条件的点A的极坐标为(?5, ). 3

?

?

?

1 4? 1 ? 解析: ? 2 ?因为点P (? , )与点P?( , ) 2 3 2 3

? 1 3 是同一点,且 sin ? sin ? , 2 6 2
所以点P?在曲线C:? ? sin 上, 2 1 4? ? 故点P (? , )在曲线C:? ? sin 上. 2 3 2

?

?

评析: 有关在极坐标系中求线段的长或 平面图形面积等问题的求解,关键是应 用点的极坐标的几何意义,同时应注意: 若? ? 0,则 ? ? ? 0,且点M ( ?,? )与 P(? ?,? )关于极点对称.

素材1:已知A、B两点的极坐标分别为 4? 5? (?3, )、 (5, ? ),求 AB 和?AOB的 3 6 面积(其中点O为极点).

解析: 在?AOB中,因为A、B两点的坐标分别为 4? 5? ? (?3, )、 (5, ? ),则A、B两点的坐标可化为(3, )、 3 6 3 7? (5, ),因而OA、OB两边长分别为3、 5, 6 7? ? 5? 夹角?AOB ? ? ? , 6 3 6 所以 AB ? OA ? OB ? 2 OA OB ? cos ?AOB ? 34 ? 15 3,所以 AB ? 34 ? 15 3, S ? AOB 1 5? 15 ? ? A ? B ? sin ?AOB ? ? 3 ? 5 ? sin ? . 2 6 4
2 2 2

题型二

极坐标与直角坐标的互化

例2.将下列直角坐标化为极坐标: 5 ①(0, ? );②(?2, ? 2 3);③(3,3). 3

?? ? x2 ? y2 ? 解析: 利用公式 ? 转化. y ?tan? ? ? x ? 0? x ? 5 5 3? ①(0, ? )为y轴负半轴上的点,可化为( , ); 3 3 2 4? ②(?2, ? 2 3)可化为(4, ); 3 ③(3,3)可化为(2 3, ). 6

?

评析:将极坐标化为直角坐标较容易, 只要利用x ? ? cos?,y ? ? sin ?即可; 而将直角坐标化为极坐标,它需要同时 y 2 2 2 满足? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0). x

素材2.将下列极坐标化为直角坐标: 2? 3 ①(3, );②(2, );③( ,? ). 4 3 2 ? x ? ? ? cos? 解析: 利用公式 ? 转化. ? y ? ? ? sin?
3 2 3 2 ①(3, )化为( , ); 4 2 2 2? ②(2, )化为(?1,3); 3 3 3 ③( ,? )化为(? ,. 0) 2 2

?

?

题型三

极坐标方程与直角坐标方程的互化

例3.将下列直角坐标方程 化为极坐标方程:

?1? x ? y ? 2ax ? 0; ? 2 ? x ? y ? 0; 2 2 ? 3? x ? y ? 2 x.
2 2

解析: ?1? 将? 2 ? x 2 ? y 2,x ? ? cos? 代入, 得? 2 ? 2 ? a cos? ? 0,即? ? 2a cos? 或? ? 0. 而? ? 0恒表示极点,曲线? ? 2a cos? 过极点, 故所求极坐标方程为? ? 2a cos? .

? 2 ? 将x ? ? cos?,y ? ? sin ? 代入,
得? cos? ? ? sin ? ? 0,即? ? 0或 tan ? ? ?1. 由 tan ? ? ?1,得? ? 3? . 4

3? 而? ? 0表示极点,直线? ? ( ? ? R )过极点, 4 3? 故所求极坐标方程为? ? ( ? ? R ). 4

解析: ? 3? 将x ? ? cos?,y ? ? sin ? 代入, 得? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? cos?, 2cos? 即? ? 0或? ? . cos 2?

2cos? 而? ? 0表示极点,? ? 过极点, cos 2? 2cos? 故所求极坐标方程为? ? . cos 2?

评析:直角坐标方程化为极坐标方程比较 容易,只要运用公式x ? ? cos? 及y ? ? sin ? 直接代入并化简即可.对方程进行变形时, 方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.

素材3. ?1?曲线的极坐标方程为? ? cos? ? sin ?, 则其直角坐标方程为 ________________. 轨迹为 ______________________________ ; 2 ? 2 ?已知直线的极坐标方程为? sin(? ? ) ? , 4 2 则极点到该直线的距离是 __________ .

?

解析: ?1? 应填x ? y ? x ? y ? 0;
2 2

1 1 2 圆心为( , ? ),半径为 的圆. 2 2 2 2 ? 2 ? 应填 . 2

评析:极坐标方程化为直角坐标方程相对 困难一点,解决此类问题常通过变形,构 造形如? cos?,? sin ?,? 2的形式,进行整 体代换.其中,方程两边同乘以(或同除以)

? 及方程两边平方是常用的变形方法.

题型四

极坐标方程的应用

例4.在极坐标系中,已知点A( 2, 0)到直线 l:? in(? ? ) ? m ? m ? 0 ?的距离为3. 4 ?1? 求实数m的值;

?

? 2 ? 设P是直线l上的动点,Q在线段OP上,
且满足 OP ? OQ ? 1,求点Q的轨迹方程, 并指出轨迹是什么图形.

分析: 将极坐标方程转化为直角坐标方程, 再利用点到直线的距离公式求得m的值;极 坐标系下的轨迹方程的求解与直角坐标系下 的轨迹方程的求解方法类似,此处可用动
解析: ?1?以极点为原点,极轴为x轴的正半轴, 建立直角坐标系,则点A的直角坐标为( 2,, 0) 直线l的直角坐标方程为x ? y ? 2m ? 0. | 2 ? 2m | 因为A到直线l的距离d ? ? 1 ? m ? 3, 2 所以m ? 2.

解析: ? 2 ?由?1? 得直线l的方程为? sin(? ? ) ? 2. 4 1 ? ? ? ? ??0 ? 1 ? 0 ? .① 设P( ?0,? 0 ),Q( ?,? ),则 ? ?? ?? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 因为点P( ?0,? 0 )在直线l上,所以?0 sin(? 0 ? ) ? 2.② 4 1 ? ? 将①代入②,得 sin(? ? ) ? 2,即? ? sin(? ? ). ? 4 4 这就是点Q的轨迹方程. 2 2 2 2 1 化为直角坐标方程为( x ? ) ? (y ? ) ? . 8 8 16 1 3? 1 因此点Q的轨迹是以( , )为圆心, 为半径的圆. 4 4 4

?

?

评析:直角坐标与极坐标互化要注意互 化的前提.若要判断曲线的形状,可先 将极坐标方程化为直角坐标方程,再判 断.在直角坐标系中,求曲线的轨迹方 程的方法有直译法,定义法,动点转移 法.在极坐标系中,求曲线的极坐标方 程,这几种方法仍然是适用的.

素材4.在极坐标系中,极点为O,已知 P ,, 0) P2 ( 3, ),曲线C:? ? 2. 1( 3 2 ?1? 求直线P1 P2的极坐标方程;

?

? 2 ? 记直线P1 P2与曲线C交于
A、B两点,求?AOB.

解析: ?1? 如图所示,设点P( ?,? )是直线P 1P 2 上任意一点,则? sin ? ? 3 ? ? cos?, 所以直线P 1P 2的极坐标方程是? sin ? ? ? cos ? ? 3.

解析: ? 2 ?由?1? 知,直线P 1P 2 上的点P ( ?,? ) 3 3 满足? ? ,即OP ? , sin? ? cos? sin? ? cos? 而 sin ? ? cos?的最大值为 2, 3 6 则OP的最小值为 ? .在等腰?OAB中, 2 2 6 OA ? OB ? 2,底边AB上的高为 . 2 则AB ? 2,所以?OAB是等边三角形, 因此,?AOB ?

?
3

.

备选例题 已知圆的极坐标方程为

? ? 2 ? (cos? ? 3 sin ? ) ? 5 ? 0, 2? 求直线? ? 截圆所得弦AB的长度.
2

3

解析: 方法1:圆的直角坐标为? x ? 1? ? ( y ? 3) 2 ? 9,
2

直线的直角坐标方程为y ? ? 3x,即 3x ? y ? 0. 又圆心(?1, ? 3)到直线 3 x ? y ? 0的距离为 d? |? 3? 3| ? 3 ?2 ? 12 ? 3,则弦长为2 9 ? 3 ? 2 6.
2

2? ? ?? ? 3 方法2:由? , ? ? 2 ? 2 ? ? cos? ? 3sin? ? ? 5 ? 0 ? 解得? 2 ? 2 ? ? 5 ? 0,解得?1 ? ?1 ? 6,? 2 ? ?1 ? 6, 从而弦长为 | ?1 ? ? 2 |? 2 6.

1.极坐标系和极坐标的理解. 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于:平面直角 坐标系中,平面上的点与有序数对之间的对应关系 是一一对应的;而极坐标系中,对于给定的有序数 对( ?,? ),可以确定平面上的一点,但是平面内的 一点的极坐标,却不是唯一的. 一般的,若( ?,? )是点M 的极坐标, 则( ?,? ? 2k? )(k ? Z), (? ?,? ? ? ? 2k? )(k ? Z)也都 是点M 的极坐标.总之,点M ( ?,? )的极坐标可以是 ( ?,? ? 2k? )(k ? Z). 当规定?>0,0 ? ? <2?以后,平面内的点(除极点外) 与有序数对就可以一一对应了.

2.极坐标与直角坐标的互化注意事项.

?1? 极坐标和直角坐标的互化公式是
?? 2 ? x2 ? y2 ? x ? ? cos? ? 或? . ? y ? y ? ? sin? ?tan? ? ? x ? 0 ? x ? 这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用: ⅰ原点与极点重合; () (ⅱ) x轴正半轴与极轴重合; (ⅲ)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中, 需注意等价性,特别是两边同乘以r n时,方程增 了一个n重解r ? 0,要判断它是否是方程的解,若 不是要去掉该解.

? 2 ?由极坐标方程给出的问题,若不好处理,
就直角坐标化;由直角坐标方程给出的问题, 若用极坐标方法处理较为简便,就极坐标化. y ? 3? 慎用 tan ? ? ,如点M 的直角坐标为? ?1,1?, x 化为极坐标时,由 tan ? ? ?1不能确定?的取值, 必须结合 ? ?1,1? 所表示的点所在象限的情况确 3? 定其极坐标为( 2, ). 4

3.极坐标方程的应用及求法.

?1? 合理建立极坐标系,使所求曲线方程简单. ? 2 ? 巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间
的互化公式,把问题转化为熟悉的知识解决问题.

? 3? 利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出
两极坐标r、q是求极坐标系曲线方程的法宝.

4.常用结论. 极坐标系内点的对称关系:

?1?点P( ?,? )关于极点的对称点为P?( ?,? ? ? ); ? ? ); ? 2 ?点P( ?,? )关于极轴所在直线的对称点为P?( ?, ? 3?点P( ?,? )关于直线? ? ? 4 ?点P( ?,? )关于直线? ?
? ?
2 的对称点为P?( ?,? ? ? ); 的对称点为P?( ?, ? ? );

4 ? 5? 在极坐标下,A( ?1,?1 ),B( ? 2,? 2 )间的距离
2 AB ? ?12 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 2 cos??1 ? ? 2 ? .

已知点B的极坐标为(?5, ),则下列所给出 3 的四个坐标中不能表示点B的坐标是(     ) ? 4? A., (5 ? ) B., (5 ) 3 3 2? 5? C., (5 ? ) D. ( ?5, ? ) 3 3

?

错解: B、C或D

错解分析: 对极坐标中的参数?、?的 正负所表示的几何意义理解不透彻.

正解:点(?5, )所在的位置如图?1? 所示,点(5, ? ) 3 3 2? 4? 所在的位置如图? 2 ? 所示,而 ? , 的终边落在 3 3 OB的位置上,极径又是正的,所以B、C两项所 5? ? 5? 表示的点也在点B的位置上; ? ? 2? ? , ? 的 3 3 3 终边落在OA的位置上,但是极径是负的,D选项 所表示的点也在点B的位置上.

?

?


相关文档

极坐标系及简单的极坐标方程习题课【优质PPT】
极坐标系及简单的极坐标方程习题课ppt课件
极坐标系及简单的极坐标方程习题课(新)
高考数学一轮复习人教A版极坐标系及简单的极坐标方程名师公开课省级获奖课件
高考数学一轮复习人教A版坐标系及简单的极坐标方程名师公开课省级获奖课件
【课件】极坐标系和简单的极坐标方程习题课
坐标系与曲线的极坐标方程习题课
高二坐标系与简单曲线的极坐标方程练习题
2016届高考数学一轮复习1坐标系与简单曲线的极坐标方程课
2019高中数学第8课简单曲线线的极坐标方程习题训练1学案新人教A版选修4_06
电脑版