相对论习题课_图文

相对论习题讨论课

一、狭义相对论的两条基本原理

1. 光速不变原理 2. 相对性原理 二、 洛伦兹变换

洛 仑 兹 变 换

? ?

x?

?

?

x ? ut
1? ? 2

? y? ? y

? ?

z?

?? t ? ?

? ?

z t ? ux / c2
1? ? 2

洛 仑

? ?

x

?

?

x? ? ut?
1? ? 2

兹 逆 变 换

? y ? y?

??z ??t ?

? ?

z? t? ? ux? /
1? ?

c
2

2

速度变换

v?x

?

vx 1?

?u
uv x c2

,

速度逆变换

v?y

?

vy 1? ?

1

?

uv x c2

2

,

v?z

?

vz 1? ?

1

?

uv x c2

2



vx

?

v?x 1?

?u
uv?x c2

,

vy

?

v?y 1 ? ?

1

?

uv?x c2

2

,

vz

?

v?z 1 ? ? 2

1

?

uv?x c2

,

三、 狭义相对论的时空观

(1)同时的相对性

?x? ? ?x ? u?t
1? ? 2

?x? ? u?t? ?x ?
1? ? 2

?t? ? ?t ? u?x / c2
1? ? 2

?t? ? u?x? / c2 ?t ?
1? ? 2

四、长度收缩效应

原长:细棒固定 S? 中 x? 轴上,S? 相对 S 以恒 定速率 u 运动,S? 系中测量出,L0=x1? -x2? ,为
固有长度,即原长。

?

L ? L0

1 ? ? 2 ? L0

u2 1? c2

五、 时间膨胀效应(time dilation)

原时:S 系中同一地点发生的两个事件的时间间隔 称为原时(固有时) τ0 = t2-t1,原时最短。
? ? ?0 1? ? 2
?? 六、 相对论动量 p ? mv m ? m(v)

七、相对论质量

m(v) ?

m0

1?

v2 c2

八、 质点的相对论动能公式: Ek ? mc 2 ? m0c2

九、 相对论能量 E = mc2 爱因斯坦质能关系式

十、 动量和能量的关系 E2 ? m02c4 ? P2c2

E
pc

动质能三角形

m0c2

例题
1. 关于同时性有人提出以下一些结论,其中哪个 是正确的?
(A)在一惯性系中同时发生的两个事件,在另 一惯性系中一定不同时发生。
(B)在一惯性系中不同地点同时发生的两个事 件,在另一惯性系中一定同时发生。
(C)在一惯性系中同一地点同时发生的两个事 件,在另一惯性系中一定同时发生。
(D)在一惯性系中不同地点不同时发生的两个 事件,在另一惯性系中一定不同时发生。 [(C) ]

2. 已知电子的静能为 0.511Mev,若电子的动能为 0.25Mev,则它所增加的质量 ?m 与静止质量 m0 的 比值为
(A)0.1。 (B)0.2。 (C)0.5。 (D)0.9。
[(C) ]

E0 ? m0c2 ? 0.511 mev

Ek ? mc 2 ? m0c2 ? 0.25 mev

?m m0

?

mc 2 ? m0c 2 m0c 2

?

0.25 ? 0.489 ? 0.5 0.511

3. 两个惯性系 S 和 S?,沿 X、X? 轴方向作相对运 动,相对速度为 u,设在 S? 系中某点先后发生的
两个事件,用固定于该系的钟测出两事件的时间间
隔为 ?0 ,而用固定在 S 系的钟测出这两个事件的 时间间隔为 ?。又在 S? 系 X? 轴上放置一固有长度
为 l0 的细杆,从 S 系测得此杆的长度为 l,则

(A) ? < ?0 ,l < l0。 (B) ? < ?0 ,l > l0。

(C) ? > ?0 ,l > l0。
? ? ?0 1? ? 2

(D) ? > ?0 ,l < l0。
[(D)]

L ? L0

1 ? ? 2 ? L0

u2 1? c2

4.

(1)对某观察者来说,发生在某惯性系中同一地

点、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀

速直线运动的其它惯性系中的观察者来说,它们是

否同时发生?

(2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的

两个事件,它们在其它惯性系中是否同时发生?

关于上述两个问题的正确答案是:

(A)(1)同时,(2)不同时.

(B)(l)不同时,(2)同时.

(C)(l)同时,(2)同时.

(D)(1)不同时,(2)不同时.

[(A)]

5. 质子在加速器中被加速,当其动能为静止能量的 4 倍时,其质量为静止质量的 (A)5倍. (B)6倍. (C)4倍. (D)8倍.
[ (A) ]
Ek ? mc 2 ? m0c2 ? 4m0c2 ? m ? 5m0

6. 下列几种说法:

(1)所有惯性系对物理基本规律都是等价的.

(2)在真空中,光的速度与光的频率、光源的运动状态 无关.

(3)在任何惯性系中,光在真空中沿任何方向的传播速 度都相同.

其中哪些说法是正确的?

(A)只有(l)、(2)是正确的.

(B)只有(l)、(3)是正确的.

(C)只有(2)、(3)是正确的.

(D)三种说法都是正确的.

[ (D) ]

7. 当惯性系 S 和 S? 坐标原点 O 和 O? 重合时,有一 点光源从坐标原点发出一光脉冲,对 S 系经过一段 时间 t 后(对 S? 系经过时间为 t ? ),此光脉冲的球 面方程(用直角坐标系)分别为:
S 系______x__2__?__y_2__?__z_2__?__c__2_t_2___________。 S? 系______x_?_2__?__y__?2__?__z_?_2__?__c_2_t_?_2_________。
8.(本题3分)
狭义相对论确认,时间和空间的测量值都是_相__对___的__,它们 与观察者的__运___动____密切相关。

9. 狭义相对论的两条基本原理中,相对性原理说的 是 ___一__切__彼__此__相__对__作__匀__速__直__线__运__动__的__惯__性__系__对__于__物_ __理__学__定__律__都__是__等__价__的__; 光速不变原理说的是 __一__切__惯__性__系__中__,__真__空__中__的__光__ _速__都__是__相__等__的__,__与__光__源__或__观__察__者__的__运__动__状__态__无__关__。
10. 粒子在加速器中被加速,当其质量为静止质量 的 5 倍时,其动能为静止能量的 4 倍 .
? m ? 5m0 , 则 E ? 5m0c2 ? Ek ? mc 2 ? m0c2 ? 4m0c2

11.(本题3分)
一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺 的长度为 0.5m。则此米尺以速度 v =_2_.6_0_×__1_0_8(__m_/_S_)_ m·s-1 接近观察者。

L ? L0

u2 1? c2 ,

? u?

1 ? (0.5)2 c ? 0.866c

12. 当粒子的动能等于它的静止能量时,它的运动速

度为_____3_c__2___。

? Ek ? mc 2 ? m0c 2 ? m0c 2 ? m ? 2m0

1

?

?2 ?

1?

u2 c2

u2 1

3

1? c2

? 2

?

u?

2

c

13.有一直尺固定在 K’系中,它与 OX’轴的夹角
? = 45° ,如果 K’系以速度 u 沿 OX 方向相对于
K系运动,K 系中观察者测得该尺与 OX 轴的夹角

(A)大于 45° 。

(B)小于45° 。

(C) 等于45° 。

(D)当 K’系沿 OX 正方向运动时大于45° ,而 当 K’系沿OX负方向运动时小于45° 。
[(A)]

?

L0 y L0 x

? tg45? ? 1,而

Lx

?

L0 x

1

?

u2 c2

? tg?

? Ly Lx

? L0 y Lx

? ? ? 45?

14. 已知一静止质量为 m0 的粒子,其固有寿命 为实验室测量到的寿命的 1/n,则此粒子的动
能是__(n__?_1_)m__0_c_2 。

? ? ?0 ,

1?

u c2

2

?

?0

?

1?
n

?

1

?n

1?

u2 c2

? Ek ? mc 2 ? m0c 2 ?

m0c 2

1?

u2 c2

? m0c2

? (n ? 1)m0c2

16. 宇宙中存在μ介子,寿命为τ0=2×10-6 s ,对地球 的速度 u = 0.998c,问在 8 千米高空中的μ介子能否 到达地面?
解:按经典观点:

?l ? ? 0u ? 2 ?10?6 ? 0.988? 3 ?108 ? 598.8m ? 8km

但按相对论,地球上的人看来

不能到达地面

? ? ? 0 ? 2 ?10?6 ? 31.7 ?10?6 (s) 1 ? ? 2 1 ? 0.9982

Smax ? ? ? u ? 9500(m) 能到达地面 另解: μ介子看来,大气层收缩:

大气层厚度: l'? l0 1 ? ? 2 ? 8000 1? 0.9982 ? 505.7(m)
S? ? u? 0 ? 0.998? 3?108 ? 2?10?6 ? 598.8(m) ? l?
能到达地面

17. 试证明:(1)如果两事件在某惯性系中是同一地 点发生的,则对一切惯性系来说这两个事件的时间间 隔,只有此惯性系中最短。

(2)如果两事件在某惯性系中是同时发生的,则对一 切惯性系来说这两个事件的空间间隔,只有此惯性系 中最短。

(3)某惯性系同时同地发生的事件,在其他惯性系中

也是同时同地事件。

证明:由洛伦兹变换得到

????x? ? ??t?

? ?

?x ? u?t 1? v2 / c2 ?t ? (u / c2 )?x

??

1? v2 / c2

通过讨论这两个关系式就可得到上述结论。

18. 观察者甲和乙分别静止于两惯性系 K、K? 中,甲 测得同地事件的时间间隔为 4s,乙测得这两个事件的 时间间隔为 5s。求:

(1)K ? 相对于 K 的运动速度。

(2)乙测的这两个事件发生的地点距离。

解: (1) 由洛伦兹变换可得

?t? ?

?t

1 ? (v / c)2

已知 ?t? = 5S, ?t = 4.0 S。代入可解出:v = 3 c/5。

(2) 由洛伦兹变换可得

?x? ? ?x ? v?t ? 0 ? (3c 5) ? 4 ? ?3c (m) 1 ? v2 / c2 1 ? (3c / 5)2 c2

19. 快速运动的介子的能量约为 E=3000Mev,而这种 介子在静止时的能量 E0=100Mev,若这种介子的固
有寿命 ?0 = 2×10-6 s,求它运动的距离。 解:据 E ? mc2 ? m0c2 / 1 ? v2 / c2 ? E0 / 1 ? v2 / c2
可得: 1/ 1? v2 / c2 ? E / E0 ? 30
由此求出: v ? 2.996?108 m / s
地面上观察者看来:
介子运动的时间? ? ? 0 / 1 ? v2 / c2 ? 30? 0 则介子运动的距离l ? v ?? ? v ? 30? 0
? 1.789?104 m


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