高三数学 一轮复习单元练习题：数列(4)

20xx 高三数学一轮复习单元练习题：数列（4）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．关于数列：3，9……，2187，以下结论正确的是（ A．此数列不是等差数列，也不是等比数列； B.此数列可能是等差数列，但不是等比数列； C．此数列不是等差数列，但可能是等比数列； D.此数列可能是等差数列，也可能是等比数列。 ）

2．已知数列 ?an ? 满足 a n ?1

? 2a ? ? n ?? ?2a ? 1 n ? ?
3 7

(0 ? a n ?

1 2

1 ( ? a n ? 1) 2
C．

若a 1 ?

6 , 则a 8的值为（ 7

）

A．

6 7

B．

5 7

D．

1 7
）

3．设 a、b、c 是三个不相等的实数，若 a、b、c 成等差数列且 a、c、b 成等比数列，则（ A． a : b : c ? 4 : 1 : (?2) C． a : b : c :? 1 : 2 : 3 B． a : b : c ? 4 : 1 : 2 D． a : b : c ? 4 : (?1) : 2

4．已知-1， a1 , a 2 ,?4 成等差数列，-1， b1 ,b 2 , b3 ,?4 成等比数列，则

a2 ? a1 ?（ b2

）

A．

1 4

B． ?

1 2

C．

1 2

D．

1 1 或? 2 2
）

5．数列 ?an ? 是正项等比数列， ?bn ? 是等差数列，且 a 6 ?b 7 ，则有（ A． a3 ? a9 ? b4 ? b10 C． a 3 ?a9 ? b4 ? b10 B． a3 ? a9 ? b4 ? b10

D． a3 ? a9与b4 ? b10 大小不确定

，则 f(2)+f(4)+ … +f(2n) 等于 6 ．设 y ? f ( x) 是一次函数，若 f (0) ? 1, 且f (1), f (4), f (13)成等比数列
（ ） B．n(n+4)
2

A．n(2n+3)

C．2n(2n+3)

D．2n(n+4) ）

7．已知 ?an ? 的前 n 项和 Sn=n -4n+1,则 a1 ? | a 2 | ?? ? a10 的值是（ A．65 8．设数列{ xn}满足 log a B．67
xn?1

C．61

D．56

? 1 ? log a xn ，且 x1 ? x2 ?

? x100 ? 100 ，则 x101 ? x102 ?

?x 200 的值为（ ）

A．100a

B．101a

2

C．101a

100

D．100a

100

9.已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,且 S 2 =10,S 5 =55,则过点 P(n, an )和 Q(n+2, an?2 )(n∈N+)的直线的一 个方向向量的坐标可以是 A． （2， （ ）

1 ） 2

B． （?

1 ,?2 ） 2

C．( ?

1 ,-1) 2
*

D．(-1,-1)

10．若数列 ?an ? 的前 8 项的值各异，且 a n ?8 ? a n 对任意 n ? N 都成立，若 k ? N ，则下列数列中可以 取遍 ?an ? 的 8 项的值的数列为（ A． ?a2 k ?1 ? B． ?a3k ?1 ? ） C． ?a4 k ?1 ? D． ?a6 k ?1 ?

11．已知数列{ an}满足 an?1 ? an ? an?1 （n≥2） ， a1 ? a, a2 ? b 设 Sn ? a1 ? a2 ? 确的是（ ） A． a100 ? ?a, S100 ? 2b ? a C． a100 ? ?b, S100 ? b ? a B． a100 ? ?b, S100 ? 2b ? a D． a100 ? ?a, S100 ? b ? a

? an ，则下列结论正

12．设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn 且 S1=1，点（n,Sn）在曲线 C 上，曲线 C 和直线 x-y+1=0，交于 A、B 两点，且 AB ? A． an ? 2n ? 1 题号 答案 1 2

b ，则这个数列的通项公式是（
B． a n ? 3n ? 2 3 4 5 6

） D． an ? 5n ? 4 10 11 12

C． an ? 4n ? 3 7 8 9

二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．等差数列 ?an ? 的第 3，7，10 项成等比数列，则这个等比数列的公比 q=
2 14．已知数列{ an}的各项均为正数，前 n 项和 Sn 满足 6Sn ? an ? 3an ? 2 ，若 a2 , a4 , a9 成等比数列，则数

列{ an}的通项 an=

.

15．已知 a, b, a ? b 成等差数列， a, b, ab 成等比数列，则通项为 a n ? 为

8 的数列 ?an ? 的前 n 项和 2an ? bn
2

16．设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) ,关于数列 ?an ? 有下列四个命题： ①若 ?an ? 既是等差数列又是等比数列，则 an ? an?1 (n ? N * ) ； ②若 S n ? an2 ? bn (a, b ? R) ，则 ?an ? 是等差数列； ③若 S n ? 1 ? (?1) n ，则 ?an ? 是等比数列； ④若 ?an ? 是等比数列，则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m (m ? N* ) 也成等比数列； 其中正确的命题是 三、解答题（本题共 6 小题，共 74 分） 17． （本小题满分 12 分） 设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn， S4 ? ?62, S6 ? ?75 （1）求通项 an 及前 n 项和 Sn； （2）求数列{ an}前 n 项和 Tn。 18． （本小题满分 12 分） 19．已知等差数列{ an}的第 2 项 a2=5，前 10 项之和 S10=120，若从数列{ an}中，依次取出第 2 项，第 n 4 项，第 8 项，…，第 2 项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，设{bn}的前 n 项和为 Tn，试比较 Tn+1 与 2Tn 的大小。 19． （本小题满分 12 分） 直线
1 过（1，0）点，且 1 关于直线

（填上正确的序号） 。

y=x 对称的直线为

2 ，已知点

An (n,

an ?1 )(n ? N ? ) 在 an

2 上， 1

a ? 1。

2 当 n≥2 时，有 an?1an?1 ? an an?1 ? an

（1）求

2 的方程；

（2）求{ an}的通项公式； （3）设 bn ?

an (n ? N ? ) 求数列{ bn}的前 n 项和 Sn (n ? 2)!

20． （本小题满分 12 分） 为实现经济腾飞，社会和谐发展，柘林湖旅游风景区管理局投入资金进行湖区生态环境建设，以此发展旅 游产业，根据规划，今年投入 800 万元，以后，每年投入将比上年减少 1 ，今年景区旅游收入估计为 400
5

万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 。 4

（1） 设 n 年内（今年为第一年）总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 a n , bn 的表达式； （2） 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 21． （本小题满分 12 分） 21．数列{ an }中，an+1+an=3n—5（n∈N ） ①若 a1=—20，求数列通项公式。 ②设 Sn 为{ an }前 n 项和，证明：当 a1>—27 时，有相同的 n，使 Sn 与 an?1 ? an 都取最小值。
*

22． （本小题满分 14 分）22．已知数列{ an }的前 n 项和 Sn 满足，Sn=2an+（—1） ，n≥1。 ①求数列{ an }的通项公式； ②求证：对任意整数 m>4，有

n

1 1 ? ? a4 a5

?

1 7 ? am 8

参考答案 一、选择题： 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 D 9 B 10 B 11 A 12 C

二、填空题： 13．

3 或1 4

14． an ? 3n ? 2

15．

2n n ?1

16．①②③

三、解答题：
2 17．解（1）由 S 4 ? A ? 4 ? B ? 4 ， S 6 ? A ? 6 2 ? B ? 6 得 S n ?

3 2 43 n ? n ， an ? 3n ? 23 2 2

（2）由 an≤0，n+1≥0 得 n=7 所以 Tn ? ?(a1 ? a2 ?

? a7 ) ? (a8 ? a9 ?

an )

? S n ? 2 S7 ?

3 2 43 n ? n ? 154 2 2

18．解：由 a1+d=5，10a1+45d=120 得 a1=3，d=2 n n+1 所以 an=2n+1，bn=a2 =2 +1 所以 Tn ? 2
n? 2

? n ? 4 ， Tn?1 ? 2n?3 ? n ? 3

Tn?1 ? 2Tn ? 5 ? n 当 n>5 时， Tn?1 ? 2Tn ，当 n=5 时， Tn?1 ? 2Tn ，当 n<5 时， Tn?1 ? 2Tn
2 19．解： （1）由 an?1an?1 ? an an?1 ? an

设

an ?1 an ? ?1 an an ?1

?k2 ? 1 设

2：

y ? x ? b 又（1，0）关于 y ? x 对称点
1=0+b，b=1 所以
2：

为（0，1）在

2 上，所以

x ? y ?1 ? 0

（2）因为

an ?1 a2 ? ? (n ? 1) ? n ? 1 所以 an ? n ! an a1
an 1 1 1 ? ? ? 所以 (n ? 2)! (n ? 2)(n ? 1) n ? 1 n ? 2
1 5

（3） bn ?

Sn ?

1 1 n ? ? 2 n ? 2 2(n ? 2)
1 5

20．解： （1）第一年投入 800 万元，第二年投入 800 (1 ? ) 万元，……，第 n 年投入 800 (1 ? ) 所以 n 年内的总投入为
4 4 4 a n ? 800? 800? ? 800? ( ) 2 ? ? ? 800? ( ) n ?1 ? 800? 5 5 5 4 1 ? ( )n 5 ? 4000? [1 ? ( 4 ) n ] 4 5 1? 5

n ?1

万元，

第一年旅游业收入为 400 万元，第二年旅游业收入为 400 (1 ? 400 (1 ?

1 ) 万元，……，第 n 年旅游业收入为 4

1 n ?1 ) 万元，所以 n 年内旅游业总收入为 4
5 5 b n ? 400? 400? ? ? ? 400? ( ) n ?1 ? 400? 4 4 5 1 ? ( )n 5 4 ? 1600 [( ) n ? 1] 5 4 1? 4

（2）设至少经过 n 年旅游业的总收入超过总投入，由此 b n ? a n ? 0 即： 1600[( ) ? 1] ? 4000[1 ? ( ) ] ? 0 化简得 5( ) ? 2( ) ? 7 ? 0

5 n 4 n 4 n 5 n 4 5 5 4 5 n 5 n 1 2 设 x ? ( ) ，则 ( ) ? ∴ 5x ? ? 7 ? 0 4 4 x x 2 4 n 2 x ? 1 （舍去） x? 即( ) ? 5x 2 ? 7x ? 2 ? 0 5 5 5

n?5

答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入

21． 解：①由 a2+a1=3—54 ? a2 ? ?31 又 an?1 ? an ? 3n ? 54 an?2 ? an?1 ? 3n ? 51 当 n 为奇数时， an ?

? an?2 ? an ? 3

3n ? 43 2 3n ? 68 1 6n ? 111 25 ? an ? [ ? (?1) n ?1 ] 当 n 为偶数时， an ? 2 2 2 2 3 2 105 已当 n 为奇数时， S n ? a1 ? n ? 27n ? 4 4 3 2 当 n 为偶数时， S n ? n ? 27 n 所以当 n=18 时，Sn 与 an?1 ? an 同时最小。 4
22．解：解（1） an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an?1 ? (?1)n?1 化简即 an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1

2 2 2 (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] 由 a1=1，故数列{ an ? ( ?1) n } 3 3 3 2 是以 a1 ? ( ?1) 为首项，公比为 2 的等比数列。 3 2 1 n ?1 1 n ?1 2 2 n?2 n n n 故 an ? ( ?1) ? ? 2 即 an ? ? 2 ? (?1) ? [2 ? (?1) ] 3 3 3 3 3
即 an ? （2）由已知得

1 1 ? ? a4 a5

?

1 3? 1 1 ? ? 2 ? 3 ? am 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ?
m? 2

?

2

m? 2

? 1 n? ? (?1) ?

3 ?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 9 15 33 63
?

2

? 1 m? ? (?1) ?
)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ? ? 2 3 5 11 21 2 3 5 10 20 1 1 (1 ? m?5 ) 1 4 2 2 1 1 4 5 2 ? [ ? ] ? ( ? ? ? m ?5 ) 1 2 3 5 5 2 2 3 1? 2 13 1 1 13 104 105 7 ? ? ( ) m ?5 ? ? ? ? 15 5 2 15 120 120 8
故

1 1 ? ? a4 a5

?

1 7 ? (m ? 4) am 8