2章 13节定积分微积分

课时作业
一、选择题

定积分与微积分基本定理

π π 1.(2011 湖南高考)由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积 3 3 为( ) 1 A. 2 C. 3 2 B.1 D. 3

解析:结合图形可得:

S= π π =sin -sin(- )= 3. 3 3 答案:D 2. (2012 烟台模拟)等比数列{an}中, 3=6, a 前三项和 S3=∫34xdx, 则公比 q 的值为( 0 A.1 1 C.1 或- 2
3 解析:S3=∫04xdx=2x2|3=18, 0

)

1 B.- 2 1 D.-1 或- 2

?a1q2=6, ? 1 由? 得 q=1 或- . 2 ? ?a1+a1q=12,

答案:C 3.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则 5 A. 6 2 C. 3 1 B. 2 1 D. 6 的值等于( )

解析:∵f′(x)=2x+1,∴m=2,a=1, 即 f(x)=x2+x.∴f(-x)=x2-x, ∴∫2f(-x)dx=∫2(x2-x)dx=∫2x2dx-∫2xdx 1 1 1 1

1 1 1 1 = x3|2- x2|2= (8-1)- (4-1) 3 1 2 1 3 2 7 3 5 = - = . 3 2 6 答案:A 9 4.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分的面积为 ,则 k 等于( 2 A.2 C.3
2 ? ?y=x 解析:由? 消去 y 得 x2-kx=0, ? ?y=kx

)

B.1 D.4

所以 x=0 或 x=k,则阴影部分的面积为∫k (kx-x2)dx 0 1 1 9 1 1 9 =( kx2- x3)|k = .即 k3- k3= ,解得 k=3. 2 3 0 2 2 3 2 答案:C 5.(金榜预测)函数 F(x)=∫x t(t-4)dt 在[-1,5]上( 0 A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0,最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 3 D.既无最大值也无最小值 1 1 解析:F(x)=( t3-2t2)|x = x3-2x2, 0 3 3 F′(x)=x2-4x, 令 F′(x)=0,得 x=0 或 x=4, 1 7 ∵F(-1)=- -2=- , 3 3 32 25 F(0)=0,F(4)=- ,F(5)=- , 3 3 32 ∴F(x) 的最大值为 0,最小值为- . 3 答案:B 6.如图,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y=sin x(0≤x≤π)与 x 轴围成如图 )

所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的), 则所投的点落在阴影部分的概率是( )

1 A. π π C. 4

2 B. π 3 D. π

π 解析:∵∫πsin xdx=-cos x|0=-cos π+cos 0=2, 0

2 1 ∴所投的点落在阴影部分的概率是 = . 2π π 答案:A 二、填空题 2 7.若等比数列{an}的首项为 ,且 a4=∫4(1+2x)dx,则公比等于________. 1 3
4 解析:∫4(1+2x)dx=(x+x2)|1=(4+16)-(1+1)=18, 1

2 即 a4=18= ·3?q=3. q 3 答案:3 1 8.已知 a=∫π(sin t+cos t)dt,则(x- )6 的展开式中的常数项为________. 0 ax 解析:∵(sin t-cos t)′=sin t+cos t,
π ∴a=∫0(sin t+cos t)dt=(sin π-cos π)-(sin 0-cos 0)=2.

1 1 5 则(x- )6 的展开式中的常数项为 C3(- )3=- . 6 2x 2 2 5 答案:- 2
1 9.若 f(x)是一次函数,且∫1f(x)dx=5,∫0xf(x)dx= 0

17 2f?x? ,那么∫1 dx 的值是________. 6 x

解析:∵f(x)是一次函数,∴设 f(x)=ax+b(a≠0), 1 1 由∫1(ax+b)dx=5 得( ax2+bx)|1= a+b=5,① 0 0 2 2 17 17 由∫1xf(x)dx= 得∫1(ax2+bx)dx= , 0 0 6 6

1 1 17 即( ax3+ bx2)|1= , 0 3 2 6 1 1 17 ∴ a+ b= ,② 3 2 6 解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, 于是∫2 1 4x+3 f?x? 3 dx=∫2 dx=∫2(4+ )dx 1 1 x x x

=(4x+3lnx)|2=8+3ln2-4=4+3ln2. 1 答案:4+3ln 2 三、解答题 10. 求由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面 积的最小值.

解:由定积分知识可知: S=S1+S2=∫t0(t2-x2)dx+ ∫1(x2-t2)dx t 1 1 =(t2x- x3)|t0+( x3-t2x)|1 t 3 3 1 1 1 =t3- t3+ -t2- t3+t3 3 3 3 4 1 = t3-t2+ ,t∈(0,1), 3 3 1 ∴S′=4t2-2t,∴t=0(舍去)或 t= . 2 当 t 变化时,S′,S 变化情况如下表: t S′ S 1 (0, ) 2 - ? 1 2 0 极小值 1 ( ,1) 2 + ?

1 1 ∴当 t= 时,S 最小,且 Smin= . 2 4


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