高中数学苏教版选修2-2课件:章末分层突破 03_图文

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拓 展 层 · 链 接 高 考

章末分层突破
提 升 层 · 能 力 强 化 章 末 综 合 测 评

[自我校对]

①-1 ⑤O→ Z

②a=c,b=d

③ z =a-bi

④Z(a,b)

⑥(a+c)+(b+d)I

⑦(a-c)+(b-d)i

复数的概念

正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚 数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. 两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据. 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.

复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时, (1)z∈R;(2)z为虚数.

【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解.
【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0,

?x2-3x-3>0, ① ? 所以?log2?x-3?=0, ② ?x-3>0, ③ ? 由②得x=4,经验证满足①③式. 所以当x=4时,z∈R.

(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0, ?x2-3x-3>0,① ? 所以?log2?x-3?≠0, ② ?x-3>0, ③ ? 3+ 21 3- 21 由①得x> 2 或x< 2 . 由②得x≠4,由③得x>3. 3+ 21 所以当x> 2 且x≠4时,z为虚数.

[再练一题] 1.(1)复数z=|( 3-i)i|+i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为________. 1 (2)设z= +i,则|z|=________. 1+i 【导学号:01580071】
【解析】 (1)∵( 3-i)i= 3i+1,∴|( 3-i)i|=| 3i+1|=2 ∴z=2+i5=2+i,∴复数z的共轭复数为2-i. 1-i 1 1 1 (2)z= +i= 2 +i=2+2i,则|z|= 1+i 1 2 2= 2 .

2 【答案】 (1)2-i (2) 2

复数的四则运算

复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算,注意把i看作一个字母(i2=- 1),除法运算注意应用共轭的性质z· z 为实数.

(1)若i(x+yi)=3+4i,(x,y∈R),则复数x+yi的模是________. z (2)已知(1+2i) z =4+3i,则 的值为________. z

【精彩点拨】 (1)先利用复数相等求x,y,再求模; z (2)先求 z ,进而求z,再计算 . z

【规范解答】 (1)法一:因为i(x+yi)=3+4i,所以x+yi= ?3+4i??-i? =4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5. i?-i?

3+4i i



法二:因为i(x+yi)=3+4i,所以-y+xi=3+4i,所以x=4,y=-3,故|x+ yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5.

法三:因为i(x+yi)=3+4i,所以(-i)i(x+yi)=(-i)· (3+4i)=4-3i,即x+yi =4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5. 4+3i ?4+3i??1-2i? (2)因为(1+2i) z =4+3i,所以 z = = =2-i,所以z=2+ 5 1+2i
2 z 2+i ?2+i? 3 4 i,所以 = = 5 =5+5i. z 2-i

3 4 【答案】 (1)5 (2)5+5i

[再练一题] 2-2i 2.(1)(2014· 四川高考)复数 =________. 1+i
?1+i? ?2 014 (2)(2015· 山东实验中学三模)? =________. ?1-i? ? ?

2-2i ?2-2i??1-i? 【解析】 (1) = =(1-i)2=1-2i+i2=-2i. 1+i ?1+i??1-i?
?1+i? ?2 014 2 014 2 (2)? = i = i =-1. ?1-i? ? ?

【答案】 (1)-2i (2)-1

复数的几何意义
1.复数的几何表示法:即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b) 来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等 式(组)求解. 2.复数的向量表示:以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复 数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要 改变.

已知复数z满足|z|= 2,z2的虚部为2. (1)求复数z; (2)设z,( z )2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积; (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限,且复数m满足|m-z|=1,求 |m|的最值.

【精彩点拨】 (1)设出z,列方程求解;(2)计算出( z )2,z-z2,求出对应点 B,C,在坐标系中确定三角形,进而求面积;(3)求出复数m在复平面内对应点的 轨迹,利用数形结合法求|m|的最值.

【规范解答】 (1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a2-b2)+2abi,
2 2 ? ? a +b = ∴? ? ?2ab=2

2,

? ?a=1, ?? ? ?b=1,

? ?a=-1, 或? ? ?b=-1.

∴z=1+i或z=-1-i.

(2)当z=1+i时,( z )2=-2i,z-z2=1-i,则A(1,1),B(0,-2),C(1,-1). 1 ∴S△ABC=2· 2· 1=1. 当z=-1-i时,( z )2=-2i,z-z2=-1-3i, 则A(-1,-1),B(0,-2),C(-1,-3), 1 ∴S△ABC=2· 2· 1=1.

(3)由题知,z=1+i,对应点(1,1)在第一象限,|z|= 2 ,又|m-z|=|m-(1+i)| =1. 则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心,1为半径的圆, 所以,|m|最小值= 2-1,|m|最大值= 2+1.

[再练一题] 2+4i 3.(2015· 山东实验中学三模)复数z= (i为虚数单位)在复平面内对应点的坐 1-i 标是________.
2+4i 【解析】 z= =(1+2i)(1+i)=-1+3i,所以z在复平面内对应点的坐 1-i 标是(-1,3).

【答案】 (-1,3)

转化与化归思想

一般设出复数z的代数形式,即z=x+yi(x,y∈R),则涉及复数的分类、几何 意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题,都可以转化为实数x,y应满足的 条件,即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.

1 1 设z∈C,满足z+ z ∈R,z-4是纯虚数,求z.
【精彩点拨】 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.

【规范解答】 设z=x+yi(x,y∈R),则 1 1 z+ z =x+yi+ x+yi
? ? x ? y ? ? ? ? =?x+x2+y2?+?y-x2+y2? ?i, ? ? ? ?

1 ∵z+ z ∈R, y ∴y- 2 2=0, x +y 解得y=0或x2+y2=1, 1 1 ? 1? 又∵z-4=x+yi-4=?x-4?+yi是纯虚数. ? ?

1 ? ?x- =0, ∴? 4 ? ?y≠0, 1 15 2 2 ∴x=4,代入x +y =1中,求出y=± 4 , 1 15 ∴复数z=4± 4 i.

[再练一题] 5 4.满足z+ z 是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存 在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.

【解】

设虚数z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),

? 5y ? 5 5 5x ? 则z+ z =x+yi+ =x+ 2 2+?y-x2+y2? ?i,z+3=x+3+yi. x +y i x +y ? ?

5y ? ?y- 2 2=0, 由已知,得? x +y ? ?x+3=-y,
2 2 ? ?x +y =5, 所以? ? ?x+y=-3,

因为y≠0,
? ?x=-2, 或? ? ?y=-1.

? ?x=-1, 解得? ? ?y=-2

所以存在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足题设条件.

1.(2015· 广东高考改编)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则 z =________. 【解析】 ∵z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,∴ z =2-3i.
【答案】 2-3i

2i 2.(2015· 安徽高考改编)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位 1-i 于第________象限.
【解析】 2i?1+i? 2?i-1? 2i = = 2 =-1+i,由复数的几何意义知-1+i 1-i ?1-i??1+i?

在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限.

【答案】 二

z 3.(2015· 山东高考改编)若复数z满足 =i,其中i为虚数单位,则z=_____. 1-i 【导学号:01580071】

【解析】 由已知得 z =i(1-i)=i+1,则z=1-i.
【答案】 1-i

4.(2015· 重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为 3,则(a+bi)(a-bi)=____.
【解析】 ∵|a+bi|= a2+b2= 3,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.
【答案】 3

5.(2016· 山东高考改编)若复数z满足2z+ z =3-2i,其中i为虚数单位,则z= ________.

【解析】 法一:利用复数相等的定义及共轭复数的概念求解. 设z=a+bi(a,b∈R),则2z+ z =2a+2bi+a-bi=3a+bi=3-2i.由复数相 等的定义,得3a=3,b=-2,解得a=1,b=-2,∴z=1-2i. 法二:利用共轭复数的性质求解.由已知条件2z+ z =3-2i①,得2 z +z=3+ 2i②,解①②组成的关于z, z 的方程组,得z=1-2i.
【答案】 1-2i

6.(2016· 四川高考改编)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ________.
r 6-r r 【解析】 Tr+1=C6 x i ,由6-r=4得r=2. 4 2 4 故T3=C2 6x i =-15x .

【答案】 -15x4

7.(2016· 全国Ⅰ改编)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ________.

【解析】 ∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi. 又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1. ∴|x+yi|=|1+i|= 2.
【答案】 2

4i 8.(2016· 全国Ⅲ改编)若z=1+2i,则 =________. z z -1 【导学号:01580072】

【解析】 因为z=1+2i,则 z =1-2i,所以z z =(1+2i)(1-2i)=5,则 4i 4i = 4 =i. z z -1
【答案】 i


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