《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第八章 第六节 双曲线

第八章 第六节 双曲线
一、选择题 1.“ab<0”是“方 程 ax2+by2=c 表示双曲线”的 A.必要但不充分条件 C.充分 必要条件 B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

x2 y2 3 2.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,若顶点到渐近线的距 a b 3 离为 1,则双曲线的方程为 x2 3y2 A. - =1 4 4 x2 y2 C. - =1 4 4 3x2 y2 B. - =1 4 4 x2 4y2 D. - =1 4 3 ( )

3. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点, |AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 A. 2 C.2
2

(

)

B. 3 D.3

y 4.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 3

???? ???? PA1 · PF2 的最小值为
A.-2 C.1 81 B.- 16 D.0
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(

)

x2 y2 y2 5.设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的 2 m 3 一个交点, 则 cos∠F1PF2 的值为 1 A. 4 2 C. 3 1 B. 3 1 D.- 3 ( )

6.已知双曲线 mx2- y2=1(m>0)的右顶点为 A,若该双曲线右支上存在两点 B、C 使得 △ABC 为等腰直角三角形,则实数 m 的值可能为 1 A. 2 C.2 二、填空题 x2 y2 7.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 a b B.1 D.3 ( )

________. 8.已知双曲线 kx2-y2=1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,那么双曲线的 离心率为________;渐近线方程为____________. y2 9.P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 15 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 三、解答题 10.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),若此圆过 点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程 .

x2 y2 11.双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到 a b 4 直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

x2 y2 12.P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M、N 分别是双曲线 E a b 1 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 OC =λ OA + OB ,求 λ 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

详解答案
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一、选择题

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

x2 y2 c2 1. 解析: 若 ax2+by2=c 表示双曲线, 即 + =1 表示双曲线, 则 <0, 这就是说“ab<0” c c ab a b 是必要条件,然而若 ab<0,c 可以等于 0,即“ab<0”不 是充分条件. 答案:A 2.解析:不妨设顶点(a,0)到直线 3x-3y=0 的距离为 1,即 = 3 2 3 x2 3y2 ,所以 b= ,所以双曲线的方程为 - =1. 3 3 4 4 答案:A x2 y2 x2 y2 3.解析:设双曲线 C 的方程为 2- 2=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入 2- 2=1 可 a b a b b4 b2 c 得 y2= 2,所以|AB|=2× =2 ×2a.∴b2=2a2.c2=a2+b2=3a2.∴e= = 3. a a a 答案:B y2 2 4.解析:设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0)、F2(2,0),则有 =x -1,y2= 3 3(x2-1), PA1 · PF2 =(-1-x,-y)· (2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2 3a b =1,解得 a=2.又 a 3+9

????

????

???? ???? 1 81 =4x2-x-5=4(x- )2- ,其中 x≥1.因此,当 x=1 时, PA1 · PF2 取得最小值-2. 8 16
答案:A 5.解析:由题意可知 m-2=3+1,解得 m=6. 法一:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2), x2 y2 y2 2 3 2 联立 + =1 与 -x2=1 组成方程组,解得 P( , ).所以由两点距离公式计算得|PF1| 2 6 3 2 2 = 6+ 3,|PF2|= 6- 3. 又|F1F2|=4,所以由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 1 cos∠F1PF2= = . 2|PF1|· |PF2| 3 法二:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 为第一象限内的点,F1(0,-2).F2(0,2), 由题意得|PF1|+|PF2|=2 6,|PF1|-|PF2|=2 3,|F1F2|=4,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2|= 6

1 - 3,同上由余弦定理可得 cos∠F1PF2= . 3 答案:B 6. 解析: 由题意可得, 点 A 的坐标为( 1 , 0), 设直线 AB 的方程为 y=tan 45° (x- m 1 ), m

即 x=y+

1 ? ?x=y+ 1 m ,与双曲线方程联立可得,? m 2 2 ? ?mx -y =1

,则(m-1)y2+2 my=0,解得 y

2 m 2 m 2 m =0 或 y= .由题意知 y= 为 B 点的纵坐标,且满足 >0,即 0<m<1,根据选项 1-m 1-m 1-m 知. 答案:A 二、填空题 4 9 7.解析:根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即 2- 2= a b 1,考虑到焦距为 4,这也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲线自身的一个等 式 a2+b2=c2,这样,三个方程,三个未知量,可以解出 a=1,b= 3,c=2,所以,离心 率 e=2. 答案:2 8.解析:双曲线 kx2-y2=1 的渐近线方程是 y=± kx.∵双曲线的一条渐近线与直线 2x 1 1 +y+1=0 垂直 , ∴ k= , k= , ∴双曲线的离心率为 e= 2 4 =0. 答案: 5 1 x± y=0 2 2 1 +1 k 5 1 = , 渐近线方程为 x±y 2 2 1 k

9.解析:双曲线的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为 r1=2, r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1) =|PF1|-|PF2|+3=5. 答案:5 三、解答题 10.解:切点为 P(3,-1)的圆 x2+y2=10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为 3x± y=0. 设所求双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ=80,
[来源 :学科网]

x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 x y 11.解:直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. a b 由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= ∴s=d1+d2= 2ab 2ab 2 2= c . a +b b?a+1? . a2+b2 b?a-1? , a2+b2

4 2ab 4 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c2-a2≥2c2. 5 c 5 于是得 5 e2-1≥2e2,即 4e4-25e2+25≤0. 5 解不等式,得 ≤e2≤5. 4 由于 e>1,∴e 的取值范围是[ 5 , 5]. 2

x2 y2 12.解:(1)点 P(x0,y0)(x≠± a)在双曲线 2- 2=1 上, a b
2 x0 y2 0 有 2- 2=1. a b

y0 y0 1 由题意又有 · = , x0-a x0+a 5 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, c 30 则 e= = . a 5
?x2-5y2=5b2 ? (2)联立? ,得 4x2-10cx+35b2=0, ? y = x - c ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x = 2 , 则? 35b ?x x = 4 .
1 2 2 1 2

5c



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?x3=λx1+x2, 设 OC =(x3,y3), OC =λ OA + OB ,即? ?y3=λy1+y2. ?
2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x2 3-5y3=5b ,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2.
2 2 2 2 化简得:λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b ,

2 2 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x2 1-5y1=5b , 2 2 x2 2-5y2=5b .

由①式又有 x 1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)= -4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 得:λ2+4λ=0,解出 λ=0,或 λ=-4.


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