张子静2015.11.4——相对论习题课_图文

相对论习题课
哈尔滨工业大学
张子静 2015.11.4
zhangzijing@hit.edu.cn

狭义相对论
1. 狭义相对论的两个基本假设
(1) 相对性原理: 在一切惯性系中,物理定律具有相同的 形式

(2) 光速不变原理: 在所有惯性系中,真空中的光速都具有 相同的量值c

(填空) 狭义相对论确认,时间和空间的测量值都
是相对的,它们与观察者的 运动 密切相关。 狭义相对论:时间+空间+运动

广义相对论:时间+空间+引力

2

2. 洛伦兹变换
y S O z z` y` S` O` u

P

( x?, y?, z ?, t ?)
x (x`)

( x, y , z , t )

速度变换:

x? ?
y ? y
'

x ? ut 1 ? u 2 / c2
z' ? z u t? 2 x c 1 ? u 2 / c2

vy v ? 1 ? u 2 / c2 u 1 ? 2 vx c
' y

vx ? u v ? u 1 ? 2 vx c
' x

t? ?

vz v ? 1 ? u 2 / c2 u 1 ? 2 vx c
' z
3

逆变换

x?

x? ? ut ? 1 ? u 2 / c2

y ? y ' z ? z? u t '? 2 x? c t? 1 ? u 2 / c2
u的符号变了

v 'y vy ? u ' 1 ? 2 vx c

' vx ?u vx ? u ' 1 ? 2 vx c

1 ? u 2 / c2

vz' vz ? 1 ? u 2 / c2 u ' 1 ? 2 vx c
4

3. 相对论运动学效应
(1) 同时性的相对性

u ?t ? ? 2 ?x? c ?t ? t2 ? t1 ? ? 0, (?t ? ? 0) 2 2 1? u / c
运动的时钟变慢

(2) 时间延缓

? ? t2 ? t1 ?
(3) 长度收缩

?0
1 ? u 2 / c2
2 2
5

运动的尺收缩

L ? L0 1 ? u / c

4. 相对论动力学关系式
(1) 相对论质量 (2) 相对论动量 (3) 静能 (4) 相对论动能 (5) 相对论总能量

m?

m0

1 ? v2 / c2 ? m0 v ? ? p ? mv ? 2 2 1? v / c
2

E0 ? m0 c

Ek ? E ? E0 ? mc 2 ? m0 c 2
E ? E0 ? Ek ? mc 2

(6) 能量—动量的关系

E 2 ? p 2c 2 ? m02c 4
6

解题建议
1. 突破旧时空观的束缚,用洛仑兹变换讨论相对论时空概念。 (1)明确 “事件(x,t),(x’,t’)” ;

(2)明确“固有时间”的概念;
(3)明确“固有长度”的概念; (4)区分“两事件的空间间隔”与“物体运动长度”;

2. 熟练运用洛仑兹坐标和速度变换式解决相对运动问题。 3. 区分相对论质量,动量,能量(动能,静能,总能量)与经 典理论的差异。 4. 注意运用守恒定律(动量守恒,能量守恒)。
7

例1. 设想地球上有一观察者测得一艘宇宙飞船以0.6c的
速率向东飞行, 5.0s 后该飞船将和一颗以 0.8c 的速率向 西飞行的彗星相碰撞。试问: 求:(1)飞船上看,彗星的速度多大? (2)飞船上看,再经过多少时间相撞? 0.6c 0.8c

飞船

慧星

8

【解】 (1)飞船上看,彗星的速度多大? 设地面为 S系,飞船为 S?系

? ? u 、 v 分别为飞船、彗星相对地面的速度
? u

根据洛仑兹变换,在飞船系中,彗星的速度 S’ 0’ S 0
飞船

? v
x?
彗星

vx ? u v? ? u 1 ? 2 vx c
x

? 0 .8 c ? 0 .6 c ? ? ?0.946 c 0 .6 c 1 ? 2 ? 0.8 c c
(沿 - x?方向) 小于光速c.
9

(2) 飞船上看,再经过多少时间相撞? 方法一.
利用“原时”和”“两地时”的关系

事件1:飞船被地面上的人看到 事件2:飞船与彗星相撞 这两事件,在地面上看是两地时 ? t 在飞船上看是原时 ? t ?

?t ? ? ?t 1 ? u 2 / c 2 ? 5 1 ? (0.6c / c ) 2 ? 5 ? 0.8 ? 4 s
10

方法二.

利用洛仑兹变换 设:事件1(飞船被地上人看到) ( x1,t1 )( x ?1,t ?1 )

S’ 0? S 0

? u

事件2(飞船与彗星相撞) ( x2,t2 )( x?2,t ?2 )

? v
飞船

x?

彗星

x

x1 t1

x2 t2

u Δt ? 2 Δ x c Δ t? ? 1 ? u2 / c 2 Δ x ? u Δ t 0 .6 c 5 ? 2 ? 0.6c ? 5 c ? ? 4s ? 0.6c ? 1? ? ? ? c ?
2
11

例2. 一发射台向东西两侧距离均为L0 的两 个接收站E与W发射讯号, 如图, 今有一飞 机以匀速度 v 沿发射台与两接收站的连线 由西向东飞行,求 : 在飞机上测得两接收 站收到发射台同一讯号的时间间隔是多少 ? 解: 设东西接收站接收到讯号为两个事件, 时空坐标为地面为S系(xE , tE),(xW , tW); 飞机为S‘系(xE’, tE‘),(xW', tW')

W

E

L0

L0

L0 L0 ?t ? t E ? tW ? ? ?0 c c
由洛仑兹时空变换得

v ?t - 2 ( xE - xW ) -2 L0 v c ? - tW ? ? ?t ? ? t E ? 2 2 1- v / c c 2 1- v 2 / c 2
12

负号表示东先接收到讯号。

例3. 飞船以0.6c沿地面接收站与飞船连线方向向外飞 行,飞船上的光源以T0 = 4s 的周期向地球发光脉冲。 求:地面接收站接收到的脉冲周期。

u

讨论:

? ?

1 u 1? 2 c
2

?

接收站

1
2

甲说:

? 0.6c ? 1? ? ? ? c ?

? 1.25

飞船上的发生器先后两次发出脉冲是在同一地点, 应是原时, 所以,地面测量周期为 4?1.25=5s. 对不对?
13

乙说:

地面上的接收站相继两次接收脉冲是在同一地点, 这才是原时,
所以。接收周期应为 4 /1.25=3.2s. 他们两人谁对?

【答】

他们两人都不对。

因为飞船上的发生器先后两次发出脉冲的事件 与地面上的接收站相继两次接收脉冲的事件 不是简单的原时与两地时的关系。
正确做法如下:
14

直接由洛仑兹变换 【解】 地面参考系: 接收站接收到的 脉冲周期 应是相继两次脉冲到达接收站的时间差

u
接收站

u?t x1 , t1 x2 , t 2

飞船相继两次发出脉冲(两事件)的时间差

u Δ t ? ? (Δ t ? ? 2 Δ x ?) ? ? T0 c

T0

0

飞船相继两次发出脉冲的空间距离

Δ x ? uΔ t 15

u
接收站

u?t x1 , t1 x2 , t 2

相继两次脉冲先后到达接收站的时间差 (即地面接收站所测量的周期)

u? Δx u ? T ? Δt ? ? Δ t (1 ? )? ? T0 ? 1 ? ? c c c? ? c?u c ? 0.6c 1.6c ? T0 ? T0 ? ?4 ? 8s c?u c ? 0.6c 0.4c
16

如果飞船接近接收站结果又怎样?

u
地面参考系:
相继两次发出脉冲仍有
接收站

u?t
x2 , t 2 x1 , t1

u Δ t ? ? (Δ t ? ? 2 Δ x ?) ? ? T0 c
相继两次脉冲先后到达接收站的时间差

Δx u c?u T ? Δt ? ? Δ t (1 ? ) ? ? ? T0 ? ? ? 2 s c c c?u
17

例4. 两只宇宙飞船, 彼此以0.98c的相对速率相对飞过对方。 宇宙飞船1中的观察者测得另一只宇宙飞船2的长度为自己宇 宙飞船长度的2/5。求: (1)宇宙飞船2与1的静止长度之比? (2) 飞船2中的观察者测得飞船1的长度与自己飞船长度之比? 解: (1)设飞船1为S,飞船2为S’,静长分别为L10,L20‘,飞船1 测飞船2的长度为L2 ,飞船2测飞船1的长度为L1‘

由题意:

L2 / L10 ? 2 / 5

由长度收缩:

? L20 2 ? ? L10 5

? 1 ? (u / c) ?
2

2 ? L2 ? L20 1 ? ( u / c )
?1

?2

2 ? L 1 ? ( u / c ) L 1 (2) 1 ? 10 ? 1 ? (0.98c / c ) 2 ? 0.1 ? L20 2 L10 2
18

例 5 :一光源在 S′ 系的原点 O′ 发出一光线,其传播方向在 x′y′平面内与x′轴夹角为θ’,试求在S系中测得的此光线的传 播方向,并证明在S系中此光线的速率仍为c。

解:在S′系中光的传播速度u’ = c. 由洛伦兹速度变换可得在S 系中光的两个分速度分别为:

u'x ? v u? cos ? ? ? v c cos ? ? ? v ux ? ? ? ' u? cos ? ?v cos ? ?v ux v 1? 1? 1? 2 2 c c c
u'y 1 ? v 2 c 2 u'x v 1? 2 c u' sin ? ? 1 ? v 2 c 2 c sin ? ? 1 ? v 2 c 2 ? ? ' cos ? ?v u cos ? ?v 1? 1? 2 c c
19

uy ?

由此得在中光线与轴的夹角为:

sin ? ? 1 ? v 2 c 2 ? ? arctan ? arctan ux cos ? ? ? v / c uy
而光的速率为
2 v ? ux ? u2 y 2 ? ? c v 2 2 2 ? ? v ? c cos ? ? c sin ? ??1? 2 ? ? ? c ? v cos ? ? ? c ?

?? ?? ??

1

2

c ?? v 2 cos 2 ? ? ? ? 2vc cos ? ? ? c 2 ? ? ? ? ? c ? v cos ? ? ? ?c
2

1

2

20

例6:思考:两把米尺,各相对于地面以u远离, 求在一把尺 上测得的另一把尺的长度。

解: 取向右为正, 则a尺相对于地面(S系)的速度为:

? b u?
a

vx ? ?u
vx ? u ? 2u u? ? v x ? ? uvx u 2 1? 2 1? ( ) c c ?

?

?S u

以b尺为S’系,则可求得a尺相对于S’系的速度为:

? ? 2u

u 2 1? ( ) 1 u? 2 c L 从而,L ? L0 ? 1 ? ( ) L0 ? 0 u ? c 1 ? ( )2 c

21

例7: 一匀质矩形薄板,在它静止时测得其长为a,宽为b, 质量 为m0,由此可算得其面积密度为m0/ab,假定该薄板沿 长度方向以接近光速的速度v作匀速直线运动,此时再测算 该矩形薄板的面积 密度为多少? 解: 根据相对论长度收缩效应,将测得沿运动方 向长度收缩为
2 2 ? a ? a 1? v / c

2 2 m ? 1 ? v / c ?? ? ? ? ? a?b ab 1 ? v 2 / c 2 1 ? v 2 c 2

m0

22

例 8. 一个电子从静止加速到 0.1c 的速度需要做多少功? 速度 从 0.9c 加速到 0.99c又要做多少功? me = 9.1093897×10-31 Kg, 1 J = 6.241506×1012 MeV. 解 : 根据功能原理, 要作的功

根据相对论质能关系式
根据相对论质量公式 (1) 当

A ? ?E 2 2 ? E ? m 2 c ? m1 c
m? m0 1 ? v2 c2

v1 ? 0,v2 ? 0.1c 时
m0 1 ? v2 2 c 2

m1 ? m0 , m2 ?
A? m0c 2 1 ? v2 2 c 2

? m0c 2 ? 4.12 ? 10?16 J
23

? 2.58 ? 10?3 MeV

(2)

当 u1 ? 0.9c, u 2 ? 0.99c



m1 ?

m0 1 ? u1 c
2 2

, m2 ?

m0 1? u2
2
2

c2

A?

m0 c 2 1? u2 c
2 2

?

m0 c 2 1 ? u1 c 2

? 3.93 ? 10 ?13 J ? 2.46 MeV

24

例9. 静能为0.511Mev的电子具有5倍于它的静能的总能量, 试求它的动量和速率 。 解:

E = 5m0c2

E ? P c ?m c
2 2 2

2 4 0

? p ? E ? m0 c / c ? 1.335 ?10 kg ? m / s
2 2 4

?21

质能关系式

动量公式
2

E ? mc

p ? mv

E c2 ?p? 2 v?v? p ? 0.98c c E
25

例10. 已知二质点A, B静止质量均为m0,若质点A静止,质点B 以6m0c2的动能向A运动, 碰撞后合成一粒子, 无能量释放。求: 合成粒子的静止质量M0?

解: 二粒子的能量分别为

EA ? m0c ,EB ? m0c ? 6m0c ? 7m0c
2 2 2

2

由能量守恒, 合成后粒子的总能量为

E ? EA ? EB ? 8m0c
由质能关系: E=Mc2 由质速关系:

2

? M ? 8m0

M 0 ? M 1 ? v 2 / c 2 ? 8m 0 1 ? v 2 / c 2

关键求复合粒子的速度v = ? 由动量守恒:

? ? ? ? p ? pA ? pB ? pB

26

pB ? pB ? Mv, ?v ? M
对B应用能量与动量关系, 即

E ? p c ?m c
2 B 2 2 B

2 4 0

? p ? 48m c
2 B
2 2 B 2

2 2 0
2 2 0 2 0
2

48m c p 3 2 ?v ? ? ? c M 64m 4
? M 0 ? 8m 0 1 ? v / c ? 4m 0
2

27

例11: 请证明:一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。 证明:

假设一个自由电子可以一次完全吸收一个光子。 ? ? 设相互作用前后电子的动量分别为 p1 和 p2 , ? 光子的频率为 ? ,电子的静止质量为 m0 。 ?
根据动量守恒定律和能量守恒定律可知:

h? ? e c

p1

? p2
(1) (2)

? h? ? ? ? p2 p1 ? e c

p12 c 2 ? m0 2 c 4 ? h? ? p2 2c 2 ? m0 2c 4
根据余弦定理(1)式

? ? ? p2 2 c 2 p1 c ? h ? ? 2ch? p1 ? e
2 2 2 2

即:

p12 c 2 ? h 2? 2 ? 2 p1ch? cos ? ? p2 2 c 2

(3)
28

p12 c 2 ? h 2? 2 ? 2 p1ch? cos ? ? p2 2 c 2
(2)式两边平方有:

(3)

p12c 2 ? h 2? 2 ? 2h? p12c 2 ? m0 2c 4 ? p2 2c 2
(3)式和(4)式联立可推出:

(4)

p1c cos? ? p c ? m0 c
2 2 1

2 4

进而可推出:

cos 2 ? ? 1
而这是不可能的,由此可见,原假设不成立。这就证明了一个 自由电子不能一次完全吸收一个光子。
29

作业题中需注意的: 4.3 4.7

30


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