3.1.2 不等关系与不等式 课件(北师大版必修五)_图文

1.2 不等关系与不等式 1.掌握不等式的性质及其推论,并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 不等式:用不等号连接的式子,叫作不等式. 说明: (1)不等号的种类:>、<、≥、≤、≠. (2) 不等式研究的范围是实数集R. 对于任意两个实数 a、b,在“a>b,a = b,a<b” 三种关系中有且仅有一种成立. 你知道哪些比较两个数大小的方法? 范围 单调性 中间数 两个数的差与两个数的大小之间有何联系? 判断两个实数大小的依据是:作差比较法 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础. 思考:如何进行作差比较呢? 作差比较法其一 般步骤是 : 作差→变形→判断符号→确定大小. ( x ? 1)( x ? 5) 与 ( x ? 3) 的大小 . 例 1 试比较 2 解 :由于 ( x ? 1)( x ? 5) - ( x ? 3) 2 2 2 = ( x ? 6 x ? 5) ? ( x ? 6 x ? 9) = ?4 ? 0 所以 ( x ? 1)( x ? 5) < ( x ? 3) 2 . 初中时我们曾经学过哪些不等式的性质? 1:如果a>b,b>c,那么a>c. 2:如果a>b,则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数,不等号方向不变. 3:如果a>b,c>0,则ac>bc; 如果a>b,c<0,则ac<bc. 用“<”或“>”填空 > b?d ; (1) 如果 a ? b, c ? d ,则 a ? c ____ > bd ; (2) 如果 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ____ > b2 ; (3) 如果 a ? b ? 0 ,则 a 2 ____ > (4) 如果 a ? b ? 0 ,则 a ____ b. 现在,我们把不等式的主要性质总结如下: 1.如果 a >b,c>d,则 a +c>b+d. 证明:因为 a >b,所以 a +c>b+c, 又因为c>d,所以b+c>b+d, 根据不等式的传递性得 a +c>b+d. 几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等式与原不 等式同向. 2.如果 a >b>0,c>d>0,则 a c>bd. 证明:因为 a >b,c>0,所以 ac>bc, 又因为c>d,b>0,所以bc>bd, 根据不等式的传递性得 ac>bd. 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘, 所得的不等式与原不等式同向. 3. 如果 a>b>0,则 a n>bn,(n∈N+). 证明:因为 a ? b ? 0? ? a ? b ? 0? ?n ? a ? b ? 0? ? 得an>bn. 个, 4.如果 a>b>0,则 n a ? n b ,(n∈N+). 证明:用反证法,假定 n n a ≤ n b ,即 , a? b n 或n a?nb n 根据根式性质,得 a <b或 a =b, 这都与 a >b矛盾,因此 a?nb 例 2 利用不等式的主要性质证明下列问题 2 (1) 当 x ? 0 时 ,函数 y ? x 是增加的 ; (2) 若 a1 ? 0, 0 ? q ? 1 , 则等比数列{ an }是递减数列 . 证明: (1) 对于任意的 x2 ? x1 ? 0, 由不等式的主要性质 3, 有 x2 2 ? x12 , 根据函数单调性的概念, y ? x 2 在 ? 0, ?? ? 内是增加的. j ?1 i ? j ? 0, a ? a q (2)对于任意 的 , j 1 ai ? a1qi ?1 ? a1q( j ?1)?(i ? j ) ? a1q( j ?1) q(i ? j ) ? a j q(i ? j ) , , 因为 0 ? q ? 1 ,由不等式的主要性质 3,有 q ? 1 ? 1 , 2 2 再由不等式的主要性质 2,有 q ? q 3 ? 2 2 (i ? j ) q ? 1 ? 1 , L , q ? 1, ? 所以 a j q i? j ? a j ?1 ? a j 即 ai ? a j ,所以 ?an ? 是递减数列. 例3 建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积, 但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%, 且这个比值越大,住宅的采光条件越好,试问:同时增加相 等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是 变坏了?请说明理由. 解 设住宅窗户面 积和地板面积分别为 a , b ,同时增加的面 积为 m , a 根据问题的要求 a ? b , 且 ? 10% . b 由于 a ? m a m (b ? a ) ? ? ? 0, b ? m b b (b ? m ) 于是 a?m a ? ? 10%. b?m b 所以 , 同时增加相 等的窗户面积和地板面积后 , 住宅的 采光条件变好了 ! 因此 , a?m a a ? , 又 ? 10%, b?m b b 一般地,设 a ,b 为正实数,且 a ? b, m ? 0 ,则 a?m a ? . b?m b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 糖水越加糖越甜 1.不等式(1)a2+2>2a;(2)a2+b2≤2(a-b-1);(3)a2+b2>ab 恒成立的个数是( B ) A.0 C.2 B.1 D.3 解析:a??+?-? a=? a-???+???,? a??+??? a;故(?)正确; a??+b -2(a-b-1)=(a-1) +(b+1) ≥0, 2 2 2 ∴a??+b ≥2(a-b-1),故(2)错误 2 3b a +b -a b=a -b a+b =(a- ) + ≥0, 2 4 ?? 2 ?? 2 b 2

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