2016届镇海中学高三校模拟考试理数参考答案

镇海中学 2016 年高考模拟试卷 数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.D 二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分,单空题每题 4 分, 共 36 分. 9. x ?

?
3

?

k? ? (k ? Z) , y ? sin(2 x ? ) 2 6
160 3

10. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 10 , 12.

38

11. 64 ? 32 2 , 13. ?1

13 ,a ? 4 4
15.

14. 6 ? 4 2

1 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,边 a , b, c 的对角分别为 A, B , C ,且 A, B, C 成等差数列. (1)求

a?c 7 a ,求角 A 的值. 的取值范围; (2)若 AC 边上的中线长为 b 2

【解析】 (1) 因为 A, B, C 成等差数列, 所以 2 B ? A ? C , 而 A? B?C ?? , 所以 B ?

?
3



……………………………………………………2 分 由余项定理, b ? a ? c ? ac 所以 b ? ? a ? c ? ? 3ac ? ? a ? c ? ? 故
2 2 2
2 2 2



3 1 2 2 ?a ? c? ? ?a ? c? 4 4

a?c ? 2 ,当且仅当 a ? c 时取等号,…………………………………………………4 分 b a?c ? 1 .…………………………………………………6 分 另一方面 a ? c ? b ,故 b a?c 综上 的取值范围是 ?1, 2? . b a ? c sin A ? sin C ? ? ? 2sin( A ? ) ,……………………4 分 法二:由正弦定理得 b sin B 3 2? 因为 0 ? A ? , 3 a?c 所以 ? ?1, 2? ………………………………………………………………6 分 b

(2)利用平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和,知,

7 a 2 ? b 2 ? 2 ? a 2 ? c 2 ? ,即 b 2 ? 2c 2 ? 5a 2
2 2 2



………………………………………………………………10 分 由①②消去 b ,得 c ? ac ? 6a ? 0 ,故 c ? 2a .………………………………12 分 所以 b ? a ? c ? ac ? 3a ,即 b ? 3a ,由勾股定理知 C ?
2 2 2 2

?
2

,所以 A ?

?
6



………………………………………………………………………………14 分 17. (本题满分 15 分) 如图 ?ABC 为正三角形,且 BC ? CD ? 2 , CD ? BC ,将 ?ABC 沿 BC 翻折 (1)若点 A 的射影在 BD 上,求 AD 的长; (2)若点 A 的射影在 ?BCD 内,且 AB 与 面 ACD 所成的角的正弦值为

2 22 ,求 11
第 17 题图

AD 的长.
【解析】(1)取 BC 的中点 O , 如图以 O 为原 点建立空间直角坐标系…………2 分 则 A(0,1, 2), D (1, 2, 0) ,则 AD ? 2 …………6 分

(2)设 A(0, 3 cos ? , 3 sin ? ) ,则 BA ? (1, 3 cos ? , 3 sin ? ) …………9 分 面 ACD 的法向量 n ? ( 3 sin ? , 0,1) …………12 分

??? ?

?

z y

则 cos ? BA, n ??

??? ? ?

2 22 2 2 ,解得 sin ? ? 11 3

AD ? 8 ? 4 3 cos ? ?

24 ? 4 3 …………15 分 3
O

x

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? ax ? 1 ( a ? R ). (Ⅰ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? x 2 ? 1 ? 0 在区间 ? 0, 2 ? 上有两个不同的解 x1 , x2 . (ⅰ)求 a 的取值范围; (ⅱ)若 x1 ? x2 ,求

1 1 ? 的取值范围; x1 x2

(Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的最大值和最小值分别为 M (a ), m( a ) , 求 g ( a ) ? M ( a ) ? m ( a ) 的表达式. 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ) ? x 2 ? 1 ? 0 , x ? ? 0, 2 ? ,

?1 , 0 ? x ?1 ? 1 ? x 得a ? x? ? x ? ? 。 1 x ?2 x ? , 1 ? x ? 2 ? x ? ?1 , 0 ? x ?1 ? 7 ? x (ⅰ)作出函数 y ? ? 图像,得 1 ? a ? , 2 ?2 x ? 1 , 1 ? x ? 2 ? x ? ? 7? 故 a 的取值范围是 ? 1, ? 。………………………………………………….3 分 ? 2? 1 1 (ⅱ)? x1 ? x2 , a ? , a ? 2 x2 ? , x1 x2 1 1 1 1 则有 ? 2 x2 ? ,即 ? ? 2 x2 , x1 x2 x1 x2 1 1 又 1 ? x2 ? 2 ,? ? ? 2 x2 ? ? 2, 4 ? , x1 x2 1 1 故 ? 的取值范围是 ? 2, 4? 。………………………………………………6 分 x1 x2

0 ? x ?1 , ? x ? ax ? 2, 1 ? x ? 2 a a 当 a ? 4 时,有 ? ? 0, ? 2 , f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上为减函数, 2 2 则 g (a) ? f (0) ? f (2) ? 2 ? 2a 。…………………………………………………7 分 a a ? a? ?a ? 当 2 ? a ? 4 时,有 ? ? 0,1 ? ? 2 , f ( x) 在 ? 0, ? 上为减函数,在 ? , 2 ? 上为增函 2 2 ? 2? ?2 ?
(Ⅱ) f ( x ) ? ?
2

? ? x 2 ? ax,

数,此时 m(a) ? f ( ) ? ?2 ?

a 2

a2 , M ( a ) ? max ? f (0), f (2)? ? 0 , 4

a2 ? 2 。…………………………………………………9 分 4 a a 当 0 ? a ? 2 时,有 ? ? 0, 0 ? ? 1 , f ( x) 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, 2 ? 上为增函数, 2 2 ? 2 ? 2a, 0 ? a ? 1 此时 m(a ) ? f (1) ? ?1 ? a , M ( a ) ? max ? f (0), f (2)? ? ? , 1? a ? 2 ?0, ?3 ? a , 0 ? a ? 1 则 g ( a ) ?? ? 。…………………………………………………11 分 ? 2 ? 2 a, 1 ? a ? 2 a a a? ? ? a ? 当 ?2 ? a ? 0 时,有 0 ? ? ? 1, ? 0 , f ( x) 在 ?0, ? ? 上为增函数,在 ? ? ,1? 上为减 2 2 2? ? ? 2 ? 函数,在 ?1, 2 ? 上为增函数,
则 g (a ) ? 此时 m( a ) ? min ? f (0), f (1)? ? ?

? 1 ? a, ? 1 ? a ? 0 , ? 2 ? a ? ?1 ?0,

a ? ? M (a ) ? max ? f (? ), f (2) ? ? 2 ? 2a , 2 ? ? ? 3 ? a, ? 1 ? a ? 0 则 g (a) ? ? 。………………………………………………….13 分 ? 2 ? 2 a , ? 2 ? a ? ?1 a a 当 a ? ?2 时,有 ? ? 1, ? 0 , f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上为增函数, 2 2 则 g (a) ? f (2) ? f (0) ? 2 ? 2a 。………………………………………………….14 分 a?4 ? 2a ? 2, ? 2 ? a ? 2, 2 ? a ? 4 ? 4 则 g (a) ? ? ………………………………………………….15 分 1? a ? 2 ? a ? 1, ?3 ? a, ?1 ? a ? 1 ? ? 2 ? 2a, a ? ?1

19. (本题满分 15 分) 已 知 抛 物 线 x 2 ? 4 y 的 焦 点 为 F , A, B 是 抛 物 线 上 的 两 个 动 点 , 且

??? ? ??? ? AF ? ? FB ( ? ? 0 ).过 A, B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M 。
(1) 证明: FM ? AB 为定值; (2) 设 ?ABM 的面积为 S ,求 S 的最小值. 【解析】 (1)设 AB : y ? kx ? 1 ,联立得: x ? 4kx ? 4 ? 0 因此 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 …………………………………………………………2 分
2

???? ? ??? ?

由 AM : y ?

x ?x xx x1 x2 x x2 x ? 1 , BM : y ? 2 x ? 2 得: M ( 1 2 , 1 2 ) ,即 M (2k , ?1) 2 4 2 4 2 4
……………………………………………………………………………5 分

所以 AB ? FM ? ( x2 ? x1 ,
2

??? ? ???? ?

2 x2 ? x12 ) ? (2k , ?2) ? 0 ………………………………7 分 4

(2) AB ? 4(k ? 1) , d ? 2 k ? 1 ……………………………………………………10 分
3 1 2 2 2 所以 S ? ? 4( k ? 1) ? 2 k ? 1 ? 4( k ? 1) 2 ? 4 ………………………………………14 分 2

2

所以 S 的最小值为 4…………………………………………………………15 分 20. (本题满分 15 分)

1 1 3 2 ,都有 an ?1 ? an ? an , n ? N * . 2 3 3 1 2 n?1 1 3 ? ( ) ? an ? ? ( )n ?1 , n ? N * ; (Ⅰ)求证: 2 3 2 4 * (Ⅱ) 求证:当 n ? N 时, 1 ? a2 1 ? a3 1 ? a4 1 ? an ?1 a2 a3 a4 a 11 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? n ?1 ? 6 ?1 ? ( ) n ? . 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an a1 a2 a3 an 12 ? ? 1 4 2 2 【解析】 (Ⅰ)? an ?1an ? an ? an ? 0 ,? an?1 与 an 同号。 3 3 ? a1 ? 0 ,? an ? 0 。 ………………………………2 分 1 3 2 1 2 ? an?1 ? 1 ? an ? an ? 1 ? (an ? 1)(an ? an ? 3) , 3 3 3
已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

又 an ? an ? 3 ? 0 ,? an ?1 ? 1 与 an ? 1 同号。

2

? a1 ? 1 ? 0 ,? an ? 1 。 ………………………………4 分 1 1 2 ? an ?1 ? an ? an (an ? 1) ? 0 ,则 0 ? an?1 ? an ? a1 ? 。 3 2 a 1 2 2 ? 2 3? ? n ?1 ? an ? ?? , ? 。 ………………………………6 分 an 3 3 ? 3 4? a a a 1 3 n ?1 当 n ? 2 时, an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ? ( ) , ………………………………7 分 a1 a2 an ?1 2 4 a a a 1 2 n ?1 且 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ? ( ) , ………………………………8 分 a1 a2 an ?1 2 3 1 2 0 1 3 0 1 2 n?1 1 3 n ?1 * 又 ? ( ) ? an ? ? ( ) , ? ? ( ) ? an ? ? ( ) , n ? N 。………………9 分 2 3 2 4 2 3 2 4 1 ? an ?1 an ?1 an ? an ?1 1 ? ? ? (1 ? an ) , (Ⅱ) ? 1 ? an an an (1 ? an ) 3 1 3 1 2 又 an ?1 ? 1 ? (an ? 2an ? 3) ? (an ? 1)(an ? an ? 3) , 3 3 a ?1 1 2 1? 1 1 ? 11 ? n ?1 ? ( an ? an ? 3) ? ? ( ) 2 ? ? 3? ? 。 an ? 1 3 3? 2 2 ? 12
……………………………….11 分

a ? 1 3 11 n ?1 a2 ? 1 a3 ? 1 ? ?? n ? ?( ) , a1 ? 1 a2 ? 1 an ?1 ? 1 2 12 3 11 1 1 11 又 a1 ? 1 ? ? ( )1?1 ,? ( an ? 1) ? ? ( ) n ?1 。 …………………….12 分 2 12 3 2 12 1 ? an ?1 a 1 ? a2 1 ? a3 1 ? a4 a a a ?( ? ? ?? ? ) ? ( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an a1 a2 a3 an 1 ? ? (a1 ? 1) ? (a2 ? 1) ? ? ? (an ? 1) ? 3 11 1 ? ( )n 1 ? 11 11 ? 1 12 ? 6 ?1 ? (11 ) n ? ? ?1 ? ? ? ? ( )n ?1 ? ? ? ? 2 ? 12 12 ? 2 1 ? 11 12 ? ? ? 12 1 ? a2 1 ? a3 1 ? a4 1 ? an ?1 a2 a3 a4 a 11 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? n ?1 ? 6 ?1 ? ( ) n ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an a1 a2 a3 an 12 ? ?
当 n ? 2 时, an ? 1 ? ( a1 ? 1) ? ………………………………………………….15 分


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