河南省河大附中09-10学年高二数学上学期期中考试(文)

线……………………………………………………

河南大学附属中学 2009-2010 学年上期期中考试 高二年级数学试题(文科)
一.选择题(每题 5 分,共 60 分,请务必将选择题的答案填在答题框内! ) 1.等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则 a12 ? ( A.15 B.30 C. 31 2.若 a, b, c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是 A. D.64 ( ) )

a b ? 2 D. a | c |? b | c | c ?1 c ?1 3.关于 x 的不等式 ( x ? 1)(x ? a) ? 0 的解集为 (??, ?1) ? (4, ??) ,则实数 a ? ( A. 1 B. 4 C. 5 D. ? 1 4.等比数列 {a n } 的前 m 项和 S m? 10, S 2m ? 30, 则S3m 的值是 ( A. 40 B. 70 C. 60 D. 110
B. a ? b
2 2

1 1 ? a b

C.

2

) ) )

考场

5.若三角形的三个内角成等差数列,对应三边成等比数列,则三角形的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6 .若 a , b 是两个不等正数,设 m ?

封 ………

a2 ? b2 a?b 2ab ,那么 , n? , q ? ab, r ? 2 2 a?b
( C. m ? n ? r ? q ( ) ) D. n ? q ? m ? r D. a n ? 2 ? 3 n ? 1

m, n, q, r 的大小顺序是 A. m ? n ? q ? r B. m ? q ? n ? r
A. an ? 2 ? 3n ? 1

……

7.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2, 则 an的通项公式是 B. an ? 2 ? 3n?1 ? 1 C. an ? 2 ? 3n?1 ? 1

班级

8.已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,向量 m ? ( 3,?1) , n ? (cos A, sin A) ,

………………………………………………密

若 m ? n 则角 A 的值为 A.





π 5π π C. D. 6 2 6 9.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对任意大于 1 的自然数 n 都有 an ? an?1 ? n ,则 an 等于 (
B.

π 3



n( n ? 1) n( n ? 1) n B. C. D. n(n ? 1) 2 2 2 10.等差数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n ? 25n ? 2n 2 , 当 S n 最大时, n 的值为( A. 7 B. 6 C. 6或7 D. 12 2 11.关于 x 的不等式 x ? px ? 1 ? 0 对 x ? R 都成立,则实数 p 的取值范围为( A. (2,??) B. ?? 2,2? C. ?? ?,2? D. ?? 2,2?
2

A.

姓名

) )

12.若关于 x 的方程 4 ? (a ? 3) ? 2 ? a ? 0 在 x ? (??,1) 上有两个不等实根,则实数 a 的取 值范围是 ( )
x x

A. ?? ?,1? ? (9,??) 题号 1 2 3

B. ? ,1? 4 5

?2 ? ?3 ?

C. ? ,3 ? 6 7 8

?2 ? ?3 ?

D. ?? 1,3? 9 10 11 12

答案
二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.设实数 x, y满足 ?

14.已知集合 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 是不等式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解集的子集,则实数
2 2

?

?x ? y ? 3 ? 0 , 则z ? x ? y的最小值是 ? x ? 2y ? 0

?

a 的取值范围是
15.已知长方形的周长为定值 a ,则它的面积的最大值是 16.如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:按照这种排列的规律,第 8 行从左向右的第 2 个数为 三.解答题(共 70 分) 17. 在等差数列 ?an ? 中, a 2 ? 2 , a3 ? 3 , (1)求 ?an ? 的通项公式 (2)求 ?an ? 的前 n 项和.(10 分)

18.在 ?ABC 中, a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 cos B ? (1) 求角 B 的值. (2)若 b ? 3 ,求 ac 的最大值.(12 分)

1 , 2

19.设 {an } 是公差为 2 的等差数列, {bn } 是公比为 2 的等比数列,若 a1 ? b1 ? 1 (1)求 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 ?an bn ?的前 n 项和 Sn .(12 分) (12 分)

20. 解关于 x 的不等式: ( x ? 1)(ax ? 1) ? 0 . (a是常数且 a ? 0)

21.在锐角 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,且 3a ? 2c ? sin A , (1)求角 C (2)若边 c ?

7 且 △ ABC 的面积等于

3 3 ,求 a ? b 的值.(12 分) 2

22. 某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费和汽油费为 0 .9 万元,年维修费第一年为 0 .2 万元,以后逐年递增 0 .2 万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少? (12 分)

河大附中 2009-2010 学年上期期中考试 高二年级数学试题答案
题号

答案

1 A

2 C

3 B

4 B

5 C

6 A

7 C

8 A

9 B

10 B

11 D

12 B

(13) 1 ,

(14) a ? 2 ,

(15)

a2 , 16

(16) (本部)

17.解: (1) bn?1 ? bn ? 1

(2) ?bn ? 的前 n 项和为

n( n ? 1) 2 2 2 2 2 18.解: (1) B ? 60? (2)由余弦定理 a ? c ? 2ac cos60? ? 9 即 9 ? ac ? a ? c 2 2 又 a ? c ? 2ac ,所以 9 ? ac ? 2ac 得 ac ? 9 ( a ? c 时取等号) ,故 ac 的最大值为 9 4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21 d q 19.解:(1)设 ?an ? 的公差为 , ?bn ? 的公比为 ,则依题意有 q ? 0 且 ? 解 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13 得: q ? d ? 2 ,得?an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1
注(分校文科) (1) an ? n (2) S n ? (2) an bn ? (2n ? 1) ? 2n?1 , S n ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1

n( n ? 1) 2

n2 ? n ? 4 (分校) 30 2

2S n ?

1 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

相减得: ? S n ? 1 ? 2(21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n = 2 n?1 ? 3 ? (2n ? 1) ? 2 n 所以 S n ? 3 ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2 n?1 = 3 ? (2n ? 3) ? 2 n 20. 解 : 因 为

a?0















(a ? 1) x ? 2 ax ? 1 ?1 ? 0 ? ? 0 ? ( x ? 1)(ax ? 1) ? 0 x ?1 x ?1 1 1 ? ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ,当 a ? 1 时,原不等式的解集是 ( ,1) ;当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集 a a 1 是 (1, ) ,当 a ? 1 时, 原不等式的解集是 ? a ? 3 21. 解 : (1) 3a ? 2c ? sin A 可 化 为 3 sin A ? 2 sin C sin A 得 sin C ? ,故 C ? 或 3 2 2? C? 3 ? ? 2 2 2 ( 7 ) ? a ? b ? 2 ab cos 2 2 ? ? 3 ?a ? b ? ab ? 7 ? (2)当 C ? 时 ? 即? 得a ?b ? 5 3 ?1 ab ? 6 ? 3 3 ? ab sin ? ? 3 2 ?2 2? 当 C? 3

:

2? ? 2 2 2 ( 7 ) ? a ? b ? 2 ab cos ? 3 ? 时 ? ? 1 ab sin 2? ? 3 3 ?2 3 2 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 7 即 ? 得 ?ab ? 6

a ? b ? 13

所以 a ? b ? 5 或 a ? b ? 13 注:本部文科和分校只有第一种情况 22 . 解 : 设 这 种 汽 车 使 用 x 年 时 , 它 的 年 平 均 费 用 为 y 万 元 , 则

10 ? 0.9 x ? (0.2 ? 0.2 ? 2 ? ? ? 0.2 x) , x 10 ? 0.9 x ? 0.2(1 ? 2 ? ? ? x) 10 ? 0.1x 2 ? x 10 ? 于是 y ? = ( ? 0.1x) ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 , 当 x x x 10 ? 0.1x 即 x ? 10 时,取得最小值,所以这种汽车使用 10 年时,它的年平均费用最小 x y?


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