高二数学直线和圆的方程综合测试题

《直线和圆的方程》综合测试题(2010)

高二数学《直线和圆的方程》综合测试题
一、 选择题:
? y
2

1.如果直线 l 将圆: x 2 ( A. [ 0 , 2 ] 2.直线 x ? A.
?
6

? 2x ? 4 y ? 0

平分,且不通过第四象限,那么 l 的斜率取值范围是

) B. ( 0 , 2 )
3y ? 8 ? 0

C. ( ?? , 0 ) ? ) C. ,与 l 2

( 2 , ?? )

D. ( ?? , 0 ] ? [ 2 , ?? )

的倾斜角是(
?
3

B.

2? 3

D.

5? 6

3. 若直线 l 1

: ax ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0

: ( a ? 1) x ? ( 2 a ? 3 ) y ? 2 ? 0

互相垂直,

则 a 的值为( A. ? 3

) B.1
? y
2

C.0 或 ?

3 2

D.1 或 ? 3

4. 过点 ( 2 ,1) 的直线中被圆 x 2 是( A. 3 x ? )
y?5 ? 0

? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长最大的直线方程

B.

3x ? y ? 7 ? 0

C.

x ? 3y ? 5 ? 0

D. ) D. )

x ? 3y ? 5 ? 0

5.过点 P ( ? 2 ,1) 且方向向量为 n A. 3 x ?
2y ?8 ? 0

? ( ? 2 ,3 )

的直线方程为( C.
3 3
2x ? 3y ? 1 ? 0

B.

3x ? 2 y ? 4 ? 0

2x ? 3y ? 7 ? 0

6.圆 ( x ? 1) 2

? y

2

? 1 的圆心到直线 y ?

x 的距离是(

A.

1 2

B.
: ( x ? 3 ) ? ( y ? 1)
2 2

3 2

C.1 关于直线 x ? B. D.
y ? 0

D.

3

7.圆 C 1 A. C.

? 4

对称的圆 C 2 的方程为:(
2 2

)

( x ? 3 ) ? ( y ? 1)
2

2

? 4 ? 4

( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ( x ? 3 ) ? ( y ? 1)
2

? 4 ? 4

( x ? 1) ? ( y ? 3 )
2

2

2

8.过点 ( 2 ,1) 且与两坐标轴都相切的圆的方程为( A. ( x ? 1) 2 C. ( x ? 1) 2
? ( y ? 1) ? ( y ? 1)
2


? ( y ? 5)
2

?1
2

B. ( x ? 5 ) 2
2

? 25

2

? 1 或 ( x ? 5) ? ( y ? 5)

? 25

世 上 无 难 事

-1-

只 要 肯 登 攀

《直线和圆的方程》综合测试题(2010) D. ( x ? 1) 2 9. 直线 y
? ( y ? 1)
2

? 1 或 ( x ? 5) ? ( y ? 5)
2
2 2

2

? 25
,N

? kx ? 3 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 4

相交于 M

两点,若 | MN

|? 2

3



则 k 的取值范围是( A. [ ?
3 4 , 0]

)
3 3 , 3 3 ]

B. [ ?

C. [ ? )

3,

3]

D. [ ?

2 3

, 0]

10. 下列命题中,正确的是( A.方程
x y ?1 ? 1 表示的是斜率为

1,在 y 轴上的截距为 2 的直线;
? 5

B.到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y


? 0;

C.已知 ? ABC 三个顶点 A ( 0 ,1), B ( 2 , 0 ), C ( ? 3 , 0 ) ,则 高 AO 的方程是 x D.曲线 2 x 2 11.已知圆 C
:x
2

? 3y ? y

2

? 2 x ? m ? 0 经过原点的充要条件是 m ? 0 ? Dx ? Ey ? F ? 0

. 与 y 轴相切

2

,则 F

? E ? 0 且 D ? 0 是圆 C

于坐标原点的( A.充分不必要条件 C.充要条件 12.若直线 y 是( A. m C.
? ? ?
? x?m

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? 1? y
2

与曲线 x

只有一个公共点,则实数 m 的取值范围

)
2 2

B. m D.

?

2

或m

? ?

2 2

2 ? m ?

? 1 ? m ? 1或m ? ?

二.填空题: 13.已知直线 kx
? y?6 ? 0

被圆 x 2
? y
2

? y

2

? 25

截得的弦长为 8,则 k 的值为:_____

14.过点 ( ? 2 , 5 ) ,且与圆 x 2

? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线方程为:__________;

15.

? x ? 2 y ? 24 ? ? 3 x ? 2 y ? 36 若 x , y 满足约束条件: ? ?1 ? x ? 10 ?1 ? y ? 12 ?
2) ? y
2 2

,则 Z

? 2x ? 3y

的最大值为______.

16.已知实数 x , y 满足 ( x ? 三.解答题:

? 3 ,则

y x

的取值范围是:_______________.

17.求与 x 轴切于点 ( 5 , 0 ) ,并且在 y 轴上截得弦长为 10 的圆的方程. 世 上 无 难 事 -2只 要 肯 登 攀

《直线和圆的方程》综合测试题(2010)

18.已知一个圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 l 1 为2
7

: x ? 3 y ? 0 上,且在直线 l 2 : x ? y ? 0

上截得的弦长

,求圆 C 的方程.

19.已知 ? ABC 的顶点 A 是定点,边 BC 在定直线 l 上滑动, | BC 高为 3,求 ? ABC 的外心 M 的轨迹方程.

|? 4

,
A

BC

边上的

l
C

B

20.求满足下列条件的曲线方程: (1) 曲线 C 1
: ( x ? 2 ) ? ( y ? 1)
2 2

? 4 ,沿向量 n ? ( ? 2 ,1)

平移所得的曲线

为 C 2 ,求 C 2 的方程; (2) 曲线 C 1
: y ? 2x
2

沿向量 n

? ( 2 , 3 ) 平移所得的曲线为 C 2

,求 C 2

的方程;

21. 已 知 圆
OP ? OQ

x

2

? y

2

? x ? 6y ? m ? 0

和直线

x ? 2y ? 3 ? 0

相交于

P,Q

两 点 ,O 为 原 点 , 且

,求实数 m 的取值. 世 上 无 难 事 -3只 要 肯 登 攀

《直线和圆的方程》综合测试题(2010)

22.已知圆 C

: ( x ? 3) ? ( y ? 4 )
2

2

? 4

和直线 l : kx

? y ? 4k ? 3 ? 0

(1)求证:不论 k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求 k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

世 上 无 难 事

-4-

只 要 肯 登 攀

《直线和圆的方程》综合测试题(2010)

高二数学《直线和圆的方程》综合测试题 参考答案
一.选择题: ADDAB 二.填空题: 13.
? 3

ABCBD

AD 14. 16.
15 x ? 8 y ? 10 ? 0, 或 x ? ? 2
[? 3 , 3]

15. 39 三.解答题: 17.答案: ( x ? 5 ) 2
? (y ? 5 2)
2

? 50

. C 的坐标为 ( 3 t , t )

18.解:∵圆心在直线 l 1

: x ? 3 y ? 0 上,∴设圆心
? | 3t |

∵圆 C 与 y 轴相切, ∴圆的半径为 r 设圆心到 l 2 的距离为 d ,则 d
? | 3t ? t | 2

?

2t

又∵圆 C 被直线 l 2 上截得的弦长为 2 ∴由圆的几何性质得: | 3 t ∴圆心为 ( 3 ,1) 或 ( ? 3 , ? 1), t ∴圆 C 的方程为: ( x ? 3 ) 2 19.解:因为 A 为定点,
l
2 2

7

,
2

| ? ( 7 ) ? ( 2 | t |)
? 3,

,解得 t

? ?1

? ( y ? 1)

2

? 9 , 或 ( x ? 3 ) ? ( y ? 1)
2

2

? 9

为定直线,所以以 l 为 x 轴,过 A 且垂直于 l 的直线为 y 轴,建立直角
( x, y )

坐标系(如图),则 A ( 0 ,3 ) ,设 M 轴,垂足为 N ,则 N ( x , 0 ) 且 N 平分 BC , 又因为 | BC
|? 4

,过 M 作 MN

? x

y
M A

,
C N

B

o

x

? C ( x ? 2 , 0 ), B ( x ? 2 , 0 ),

?M

是 ? ABC 的外心,?| MB
2 2

|? | MA |,
2



( x ? 2 ? x ) ? (0 ? y )

?

x

? ( y ? 3)

2

,

化简得,

M

的轨迹方程为: -5只 要 肯 登 攀

世 上 无 难 事

《直线和圆的方程》综合测试题(2010)
x
2

? 6x ? 5 ? 0 ( x, y )

20.解:(1)设点 M

为曲线 C 2 上的任意一点,点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 是平移前在曲
? n ? ( ? 2 ,1) ? ( x ? x 0 , y ? y 0 ) ? ( ? 2 ,1),

线 C 1 上与之对应的点,则有 M 0 M ∴?
? x0 ? x ? 2 ? y0 ? y ? 1

,
? 2 ) ? ( y 0 ? 1)
2
2

又∵点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 在曲线 C 1 上,∴ ( x 0
2 2

2

? 4

,从而

[( x ? 2 ? 2 )] ? [( y ? 1) ? 1] ? 4 ,化简得, x

? y

2

? 4 为所求.

(2) 设点 M

( x, y )

为曲线 C 2 上的任意一点,点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 是平移前在曲线 C 1 上与之对应
? n ? ( 2 , 3 ) ? ( x ? x 0 , y ? y 0 ) ? ( 2 , 3 ),

的点,则有 M 0 M ∴?
? x0 ? x ? 2 ? y0 ? y ? 3

,
? 2 x0
2

又∵点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 在曲线 C 1 上,∴ y 0
( y ? 3) ? 2 ( x ? 2 )
2

,从而 为所求.

,化简得,

y ? 2x

2

? 8 x ? 11

21. 解: 设点 P , Q 的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) . 一方面,由 OP
? OQ

,得 k OP

? k OQ ? ? 1 ,即

y1 x1

?

y2 x2

? ? 1,

从而, x 1 x 2 另一方面,

? y1 y 2 ? 0 ? ? ? ? ①

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 是方程组 ? 2 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
? 10 x ? 4 m ? 27 ? 0
4 m ? 27 5

,的实数解,

即 x 1 , x 2 是方程 5 x 2 ∴ x1

…… ②的两个实数根, ………… ③

? x 2 ? ? 2 , x1 ? x 2 ?

又 P , Q 在直线 x ? ∴ y1 ? y 2
? 1 2

2y ? 3 ? 0


1 4 [9 ? 3( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ]

(3 ? x1 ) ?

1 2

(3 ? x 2 ) ? m ? 12 5
? 3

将③式代入,得

y1 ? y 2 ?

………… ④ ,代入方程②,检验 ? 只 要 肯 登 攀
? 0

又将③,④式代入①,解得 m 世 上 无 难 事

成立。

-6-

《直线和圆的方程》综合测试题(2010) ∴m
? 3

22.解:(1)证明:由直线 l 的方程可得, y
( 4 , 3 ) ,把 ( 4 , 3 ) 代入圆

? 3 ? k ( x ? 4 ) ,则直线 l

恒通过点 ,所以点 ( 4 , 3 ) 在圆的内部,

C 的方程,得 ( 4 ? 3 ) 2

? (3 ? 4 )

2

? 2 ? 4

又因为直线 l 恒过点 ( 4 , 3 ) , 所以直线 l 与圆 C 总相交. (2)设圆心到直线 l 的距离为 d ,则
d ? | 3k ? 4 ? 4 k ? 3 | 3 ? 4
2 2

?

|k ?1| 5
( k ? 1) 25
2

又设弦长为 L ,则 ( ∴当 k
? ? 1 时, (

L 2

) ? d
2

2

? r

2

,即 (

L 2

)

2

? 4?

.

L 2

)

2 min

? 4 ? L min ? 4

所以圆被直线截得最短的弦长为 4.

世 上 无 难 事

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