广东省高考数学第二轮复习 专题升级训练7 三角函数的图象与性质 文

专题升级训练 7

三角函数的图象与性质

(时间:60 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) ? π? 1.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误 的是( .. 2? ?

).

A.函数 f(x)的最小正周期为 2π ? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π? ? 2.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则该函数的图象( 4? ? π ?π ? A.关于点? ,0?对称 B.关于直线 x= 对称 8 ?4 ? π ?π ? C.关于点? ,0?对称 D.关于直线 x= 对称 8 4 ? ?

).

3.已知角 α 的终边过点 P(x,-3),且 cos α = ,则 sin α 的值为( ). 4 3 3 A.- B. 4 4 3 3 3 C.- 或-1 D.- 或 4 4 4 π? ? 4.要得到函数 y=sin 2x 的图象,只需将函数 y=sin?2x- ?的图象( ). 3? ? π π A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 6 6 π π C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 3 3 5.下列关系式中正确的是( ). A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 6.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的部分图象如图所示,则 f(1)+f(2)+f(3) +…+f(11)的值等于( ).

x

A.2 B.2+ 2 C.2+2 2 D.-2-2 2 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) π 7.函数 y=sin ω x(ω >0)的图象向左平移 个单位后如图所示,则 ω 的值是______. 6

8.函数 y=sin(1-x)的递增区间为__________. π? ?π 9.设函数 f(x)=2sin? x+ ?,若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1 5? ?2 -x2|的最小值为__________. 三、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 2 2 10.(本小题满分 15 分)已知函数 y=cos x+asin x-a +2a+5 有最大值 2,试求实数 a 的值. π? ? 11.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)= 2sin?2x+ ?. 4? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; ?π 4π ? (2)在所给坐标系中画出函数 f(x)在区间? , ?上的图象(只作图不写过程). 3 ? ?3

2 ? ? 12.(本小题满分 16 分)已知定义在区间?-π , π ?上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x 3 ? ? π π? π ? π 2 ? ? =- 对称,当 x∈?- , π ?时,函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,- <φ < ?的 2 2? 6 ? 6 3 ? ? 图象如图所示.

2 ? ? (1)求函数 y=f(x)在?-π , π ?上的表达式; 3 ? ? (2)求方程 f(x)= 2 的解. 2

参考答案 一、选择题

? π? 1.D 解析:∵f(x)=sin?x- ?=-cos x, 2? ? ∴A,B,C 均正确,故错误的是 D. π? 2π ? 2.B 解析:由 T= =π ,得 ω =2,故 f(x)=sin?2x+ ?. 4? ω ? π π kπ π 令 2x+ =kπ + (k∈Z),x= + (k∈Z),故当 k=0 时,该函数的图象关于直线 4 2 2 8 π x= 对称. 8 3.C 解析:∵角 α 的终边过点 P(x,-3),
∴cos α =

x x 2 = ,解得 x=0 或 x =7, 2 x +9 4

3 ∴sin α =- 或-1. 4 π? ? ? π? 4.B 解析:y=sin?2x- ?=sin 2?x- ?,故要得到函数 y=sin 2x 的图象,只需将 3? 6? ? ? π π ? ? 函数 y=sin?2x- ?的图象向左平移 个单位长度. 3? 6 ? 5.C 解析:sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=cos(90°-80°) =sin 80°,由于正弦函数 y=sin x 在区间[0°,90°]上为递增函数,因此 sin 11°<sin 12°<sin 80°,即 sin 11°<sin 168°<cos 10°. π 6.C 解析:由图象可知 f(x)=2sin x,且周期为 8, 4 π π 3π ∴f(1) + f(2) + f(3) +…+ f(11) = f(1) + f(2) + f(3) = 2sin + 2sin + 2sin =2 4 2 4 +2 2. 二、填空题 3 7π ? π ? 7.2 解析:由题中图象可知 T= -?- ?, 4 12 ? 6 ? 2π ∴T=π ,∴ω = =2.

T

3π π ? π +2kπ ? 8. ?1+ +2kπ ,1+ (k∈Z) 解析: y =- sin(x - 1) ,令 + 2kπ ≤x - ? 2 2 2 ? ? π 3 π 3π ? ? 1≤ +2kπ (k∈Z),解得 x∈?1+ +2kπ ,1+ +2kπ ?(k∈Z). 2 2 2 ? ? 9.2 解析:若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立, 则 f(x1)≤f(x)min 且 f(x2)≥f(x)max, π? ?π 当且仅当 f(x1)=f(x)min,f(x2)=f(x)max,|x1-x2|的最小值为 f(x)=2sin? x+ ?的半 5? ?2 1 2π 个周期,即|x1-x2|min= × =2. 2 π 2 三、解答题 2 2 10.解:y=-sin x+asin x-a +2a+6, 令 sin x=t,t∈[-1,1].

a y=-t2+at-a2+2a+6,对称轴为 t= ,
2 当 <-1,即 a<-2 时,[-1,1]是函数 y 的递减区间,ymax=-a +a+5=2, 2 1± 13 2 得 a -a-3=0,a= ,与 a<-2 矛盾; 2 当 >1,即 a>2 时,[-1,1]是函数 y 的递增区间,ymax=-a +3a+5=2, 2 3± 21 3+ 21 2 得 a -3a-3=0,a= ,而 a>2,即 a= ; 2 2 a 3 2 2 当-1≤ ≤1,即-2≤a≤2 时,ymax=- a +2a+6=2,得 3a -8a-16=0,解得 a=4 2 4 4 4 或 a=- ,而-2≤a≤2,即 a=- ; 3 3 4 3+ 21 ∴a=- 或 a= . 3 2 2π 11.解:(1)T= =π . 2 π π 3 令 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + π ,k∈Z, 2 4 2 π 5 则 2kπ + ≤2x≤2kπ + π ,k∈Z, 4 4 π 5 得 kπ + ≤x≤kπ + π ,k∈Z, 8 8 π 5 ? ? ∴函数 f(x)的单调递减区间为?kπ + ,kπ + π ?,k∈Z. 8 8 ? ? (2)列表: π 3 π 2π 2x+ π 4 2 3π 5π 7π x 8 8 8

a

2

a

2

5 π 2 9π 8 2

f(x)= 2
π? ? sin?2x+ ? 4? ? 描点连线得图象如图: 0 - 2 0

T 2π π ? π 2 ? 12.解:(1)当 x∈?- , π ?时,A=1, = - ,T=2π ,ω =1. 4 3 6 ? 6 3 ? ?2π ? 且 f(x)=sin(x+φ )的图象过点? ,0?, ? 3 ?

2π π ? π? +φ =π ,φ = .故 f(x)=sin?x+ ?. 3? 3 3 ? π π π 2π 当-π ≤x<- 时,- ≤-x- ≤ , 6 6 3 3 π π π ? ? ? ? f?-x- ?=sin?-x- + ?, 3? 3 3? ? ? π 而函数 y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称, 6 π ? ? 则 f(x)=f?-x- ?, 3? ? π π? π ? 即 f(x)=sin?-x- + ?=-sin x,-π ≤x<- . 3 3? 6 ? 则

?x+π ?,x∈?-π ,2π ?, ? ? ? 6 ? ?sin? 3? 3 ? ? ? ∴f(x)=? π? ?-π ,- 6 ?. ?-sin x,x∈? ? ? ?
π 2π π π (2)当- ≤x≤ 时, ≤x+ ≤π , 6 3 6 3 2 ? π? 由 f(x)=sin?x+ ?= , 3? 2 ? π π 3π π 5π 得 x+ = 或 ,即 x=- 或 . 3 4 4 12 12 π 2 2 当-π ≤x<- 时,由 f(x)=-sin x= ,sin x=- , 6 2 2 π 3π 得 x=- 或- . 4 4 π 3π π 5π 综上可知,x=- 或- 或- 或 . 4 4 12 12


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