重庆市重庆一中2015届高三上学期第二次月考数学(文)试题含解析

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重庆市重庆一中 2015 届高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)2014.10

【试卷综析】试题紧扣教材,内容全面,题型设计合理、规范,体现了新课程数学教学的目 标和要求,能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。本试题知识 点覆盖面广,重视基本概念、基础知识、基本技能的考察,同时也考查了逻辑思维能力,运 算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。 一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. )

3 ? sin ? ? , ? ? ( , ? ) 5 2 【题文】1.已知 ,则 cos ? 的值为 3 A. 4 ? 3 4 4 C. 5 ? 4 5

B.

D.

【知识点】两角和与差的余弦函数.C5 【答案解析】D 解析:已知 α∈(
2

,π) ,则 α 的中终边在第二象限内.
2

已知 sinα= 根据三角恒等式 sin α+cos α=1,进一步求出 cosα=﹣ ,故选:D. 【思路点拨】首先根据 α 所在的象限,利用已知条件求得 cosα 值的符号,然后根据 sin α+cos α=1 进一步求出 cosα 的值. 【题文】2.“ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的( A.充分不必要 B.必要不充分 【知识点】充要条件.A2 )条件 C.充分必要 D.既不充分也不必要
2 2

【答案解析】B 解析:∵ x<0,∴ x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ ln(x+1)<0,∴ 0<x+1<1,∴ ﹣1<x<0,∴ x<0, ∴ “x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 【思路点拨】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

【题文】3.函数 A. (?1, ??)

f ( x) ?

lg( x ? 1) x ? 1 的定义域是
C. (?1,1)

B. [?1, ??)

(1, ??)

D. [?1,1)

(1, ??)

【知识点】函数的定义域及其求法.B1 【答案解析】C 解析:要使函数有意义需 ,解得 x>﹣1 且 x≠1.

-1-

∴ 函数

的定义域是(﹣1,1)∪ (1,+∞) .故选 C.

【思路点拨】依题意可知要使函数有意义需要 x+1>0 且 x﹣1≠0,进而可求得 x 的范围.

2? e , e 【题文】4.已知 1 2 是夹角为 3 的两个单位向量,若向量 a ? 3e1 ? 2e2 ,则 a ? e1 ?
A.2 B.4 【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】B 解析:∵ , ∴? =(3 ﹣2 )? =3 =(3 是夹角为 ﹣2 ﹣2 C.5 D.7

的两个单位向量,且 =3 =3﹣2×1×1×cos )? =3 ﹣2

﹣2



=4,故选:B ,代入已知数据化简可得.

【思路点拨】 由题意可得 ? 【题文】5.已知等差数列 A. ? 2014

?an ?中, a2 , a2013 是方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的两根,则 S 2014 ?
C.1007 D.2014

B. ? 1007

【知识点】等差数列的性质.D2 【答案解析】D 解析:∵ 等差数列{an}中,a2,a2013 是方程 x ﹣2x﹣2=0 的两根, ∴ a2+a2013=2,∴ a1+a2014=a2+a2013=2,∴ S2014= 故选:D. 【思路点拨】由韦达定理和等差数列的求和公式和性质可得 S2014= =
x

2

=2014

,计算可得.

【题文】6. 函数 f ( x) ? 2 ? x ? 2 的零点所在的一个区间是 A. (?2, ?1) B. (?1, 0) C. (0,1) D. (1, 2)

【知识点】函数零点的判定定理.B9 【答案解析】C 解析:∵ f(x)=2 +x﹣2 在 R 上单调递增 又∵ f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0 由函数的零点判定定理可知,函数的零点所在的一个区间是(0,1) 故选 C. 【思路点拨】利用函数的零点判定定理,先判断函数的单调性,然后判断 端点值的符合关系. 【题文】 7. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知命题 p : 若
x

-2 -

sin A ?

2 2 ,则 A ? 45? ;命题 q : 若 a cos A ? b cos B ,则 ?ABC 为等腰三角形或直角三角
B. p ? q 为假 C. ?q 为真 D. p ? q 为假

形,则下列的判断正确的是

p 为真

【知识点】复合命题的真假.A2 【答案解析】B 解析:在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 由若 可得 A=45°或 A=135°.故 p:若 ,则 A=45°为假命题;

在△ ABC 中,∵ cosA=

,cosB=




2 2

?a=
4 2 2 4

?b,
2 2 2 2 2 2 2

化简得:a c ﹣a =b c ﹣b ,即(a ﹣b )c =(a ﹣b ) (a +b ) , 2 2 ① 若 a ﹣b =0 时,a=b,此时△ ABC 是等腰三角形; 2 2 2 2 2 ② 若 a ﹣b ≠0,a +b =c ,此时△ ABC 是直角三角形, 所以△ ABC 是等腰三角形或直角三角形.即 q 为真. ∴ ¬p 为真命题,¬q 为假命题 ∴ p∧q 为假命题,p∨ q 为真命题. 故选 B. 【思路点拨】由题意可得 p:若 ,则 A=45°为假命题,命题 q:若 acosA=bcosB,则△ ABC

为等腰三角形或直角三角形为真命题,从而可求¬p 为真命题,¬q 为假命题,从而可判断. 【题文】8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

16 A. 3

32 B. 3

C.16

D.32

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【答案解析】A 解析:由三视图知:几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,高 为 2,四棱锥的底面是对角线长为 4 的正方形,∴ 底面正方形的边长为 2 , ∴ 几何体的体积 V= × ×2= .故选:A.

【思路点拨】几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,由三视图判断四棱锥的高 为 4,底面是对角线长为 4 的正方形,求出正方形的边长,把数据代入棱锥的体积公式计算. 【题文】9.设对任意实数

x ? ? ?1,1? ,不等式 x 2 ? ax ? 3a ? 0 总成立.则实数 a 的取值范围是
1 2 a? 1 4
D. a ? 0或a ? ?12

A. a ? 0

B.

a?

C.

-3-

【知识点】函数恒成立问题;二次函数的性质.B5 【答案解析】B 解析:设 f(x)=x +ax﹣3a, 2 ∵ 对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,
2



,即

,∴

,故

.故选 B.

【思路点拨】设 f(x)=x +ax﹣3a,由对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,知 ,由此能求出实数 a 的范围.

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 2 2 2 2 b 【题文】 10.过双曲线 a 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x ? y ? a 的切
2 线,切点为 E ,延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P .若

OE ?

1 (OF ? OP) 2 ,则双曲线的离

心率为

3? 3 1? 5 2 2 A. B. C.


5 2

D.

1? 3 2

【知识点】双曲线的简单性质. H6 【答案解析】B 解析:设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ∵ 抛物线为 y =4cx,∴ F'为抛物线的焦点,O 为 FF'的中点, ∵ ,∴ E 为 FP 的中点,∴ OE 为△ PFF'的中位线,
2

∵ O 为 FF'的中点,∴ OE∥ PF',∵ |OE|=a ,∴ |PF'|=2a ∵ PF 切圆 O 于 E,∴ OE⊥ PF,∴ PF'⊥ PF, ∵ |FF'|=2c ,∴ |PF|=2b 设 P(x,y) ,则 x+c=2a,∴ x=2a﹣c 过点 F 作 x 轴的垂线,则点 P 到该垂线的距离为 2a 由勾股定理 y +4a =4b ∴ 4c(2a﹣c)+4a =4(c ﹣a ) ∴ e ﹣e﹣1=0,∵ e>1,∴ e=
2 2 2 2 2 2 2

.故选 B.
2

【思路点拨】先设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ,因为抛物线为 y =4cx,所以 F' 为抛物线的焦点,O 为 FF'的中点,又可得 E 为 FP 的中点,所以 OE 为△ PFF'的中位线,得到|PF|=2b, 再设 P(x,y) 过点 F 作 x 轴的垂线,由勾股定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可求得离心 率. 二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. )

-4-

【题文】11.复数

z?

?1 ? 3i 2 2 ( i 是虚数单位) ,则 z ? z


.

【知识点】复数代数形式的混合运算. L4 【答案解析】-1
2

解析:∵ 复数 z=

,z =

2

i,

∴ z+z =﹣1.故答案为:﹣1. 【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出. 【题文】12.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 3 x ? 2m ( m 为
x

实常数) ,则 f (1) ?

.

【知识点】函数奇偶性的性质.B4

开 始 输 入

x
n ?1
1

5 【答案解析】 2 解析:∵ f(x)为定义在 R 上的奇函数, ?
∴ f(0)=0,即 1+2m=0,解得 m=﹣ ,

n ? n ?1
x ? 2x ?1

∴ f(﹣1)=﹣f(1)= ∴ f(1)= 故答案为: ,

= ,

n ? 2?
否 输出 x



结 束 【思路点拨】根据函数是奇函数,由 f(0)=0,可得 m,然后利用 f(﹣1)=﹣f(1) ,即可得到 结论.

?x ? y ? 1 ≥ 0 ? ? ? x ? y ? 2 ≤0 ? ?y ≥ 0 【题文】13.不等式组 ? 所表示的平面区域面积为
【知识点】二元一次不等式(组)与平面区域.E5

.

9 【答案解析】 4 解析:作出不等式组对应的平面区域如图:

-5-

则 A(﹣1,0) ,C(2,0) ,



,解得

,即 B( , ) ,

则三角形的面积 S=

= ,故答案为:

【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,根据对应图形的面积公式即可得到结论.

1 [ ,19] 【题文】14.如图是某算法的程序框图,若任意输入 2 中的实数 x ,
则输出的 x 大于 25 的概率为 【知识点】循环结构. L1


.

24 【答案解析】 37 解析:根据算法的程序框图,若任意输入[ ,19]中的实数 x,则输出的是
2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3,由 4x﹣3>25,得 x>7. 此数大于 0.5 而小于等于 19,则构成的区域长度为:19﹣7=12, 在区间[ ,19]上任取一个数 x 构成的区域长度为 19﹣ , 输出的 x 大于 25 的概率为 = ;故答案为: .

【思路点拨】利用程序框图可得所有的结果 2(2x﹣1)﹣1>25,解此不等式求出 x 的取值范围, 是几何概型中的长度类型,由“输入[ ,19]中的实数 x“求出构成的区域长度,再求出不等式求 出 x 的取值范围构成的区域长度,再求两长度的比值.由此求得输出的 x 大于 25 的概率. 【题文】15.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在

x ? [a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上
是“关联函数” ,区间 [a, b] 称为“关联区间” .若 f ( x) ? x ? 3 x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在[0,3]
2

-6-

上是“关联函数” ,则 m 的取值范围是 【知识点】函数的零点;函数的值.B1 B9

.

? 9 ? x ? ? , ?2 ? 2 4 ? ? 【答案解析】 解析: ∵ f (x) =x ﹣3x+4 与 g (x) =2x+m Y

2 18

3 27

4 32

5 35

在[0,3]上是“关联函数”, 2 故函数 y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,

故有

,即

,解得﹣ <m≤﹣2,

故答案为


2

【思路点拨】由题意可得 h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,故



,由此求得 m 的取值范围.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )16. 某公司近年来科研费用支出 x 万元与公司所获得利润 y 万元之间有如下的统计数据: (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;

?

?

?

(2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利 润. 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程 y ? bx ? a 的系数公式:

?

?

?

?? b

? x y ? n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? ? y ? ax ,a

2 i

? nx

2

参考数据:2×18+3×27+4×32+5×35=420 【知识点】线性回归方程.I2

y ? 5.6 x ? 8.4 (2)64.4 万元 【答案解析】(1)
解析:(1)

?

x?

2?3? 4 ? 5 18 ? 27 ? 32 ? 35 ? 3.5, y ? ? 28 4 4 ,

-7-

?x y
i ?1
4

4

i

i

? 2 ? 18 ? 3 ? 27 ? 4 ? 32 ? 5 ? 32 ? 420


?x
i ?1
?

2

? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 54
, ???????????????5 分

b?

?x y
i ?1 4 i

4

i

?4x y ?4x
?2

? ?

?x
i ?1

?

2

420 ? 4 ? 3.5 ? 28 420 ? 392 ? ? 5.6, 54 ? 49 54 ? 4 ? 3.52

i

a ? y ? b x ? 28 ? 5.6 ? 3.5 ? 8.4,
?

?

?

? ?

………………………9 分

y ? 5.6 x ? 8.4 . ………………………………10 分 所求线性回归方程为:
y ? 5.6 ? 10 ? 8.4 ? 64.4 (万元), (2)当 x ? 10 时,
故预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润为 64.4 万元………………13 分 【思路点拨】(1) 根据表中所给的数据,做出利用最小二乘法所用的四个量,利用最小二乘法 做出线性回归方程的系数,写出线性回归方程. (2)把所给的 x 的值,代入上一问求出的线性 回归方程中,做出对应的 y 的值,这是一个估计值,是一个预报值. 【题文】17.已知
?

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? a 2 x ? 2 .

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0, 求函数 f ( x) 的单调区间. 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.B12

a ( ? a, ) 3 ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 【答案解析】(1) 4 x ? y ? 1 ? 0 (2 )单调递减区间为 a ( , ??) 3 .

? 解析: (1) a ? 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? x ? 2 ∴ f ( x) ? 3 x ? 2 x ? 1
3 2 2

? ∴ k ? f (1) ? 4 ,

又 f (1) ? 3 , ∴ 所 求 切 线 方 程 为 y ? 3 ? 4( x ? 1) , 即

所 以 切 点 坐 标 为 (1,3)

4x ? y ?1 ? 0 .

????? 6 分

-8-

? (2) f ( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? ( x ? a )(3 x ? a )
2 2

? 由 f ( x) ? 0 得 x ? ?a 或

x?

a 3 a 3.

????? 8 分

a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 , 得
? 由 f ( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或

?a ? x ? a 3

x?

????? 11 分

此时 f ( x) 的单调递减区间为

a a ( ? a, ) ( , ??) ( ?? , ? a ) 3 ,单调递增区间为 和 3 . ??13 分

【思路点拨】 (1)先求出函数的表达式,通过求导得出斜率 k 的值,再求出切点坐标,从而 求出切线方程; (2)先求出函数的导数,分别令 f′ (x)>0,f′ (x)<0,从而求出函数的单 调区间.

【题文】 18.先将函数

f ( x) ? cos(2 x ?

3? ? ) 2 的图象上所有的点都向右平移 12 个单位, 再把所有

的点的横坐标都伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象. (1)求函数 g ( x) 的解析式和单调递减区间;

(2)若 A 为锐角三角形的内角,且

g ( A) ?

1 A f( ) 3 ,求 2 的值.

【知识点】由 y=Asin(ω x+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性;余弦函数的单调 性.C4

? 2? 5? g ( x) ? sin( x ? ) [ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ). 6 , 单调递减区间为 3 3 【答案解析】 (1) (2 )
2 2? 3 6
? f ( x) ? cos(2 x ? 3? ) ? sin 2 x 2 ,

解析: (1)

g ( x) ? sin( x ? ) 6 , ????? 4 分 ? 依题意,有

?

?
由2

? 2k? ? x ?

?
6

?

3? 2? 5? ? 2k? ? 2k? ? x ? ? 2k? 2 3 得: 3 , k ? Z.
-9-

2? 5? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ). ? g(x )它的单调递减区间为 3 3 ????? 8 分 [

? 1 g ( A) ? sin( A ? ) ? 6 3 , A 是锐角 (2)由(1)知,
?0 ? A ?

?
6

?

?

? 2 2 ? cos( A ? ) ? . 6 3 2,

A ? ? 1 3 2 2 1 2 2? 3 f ( ) ? sin A ? sin[( A ? ) ? ] ? ? ? ? ? . 6 6 3 2 3 2 6 ? 2
【思路点拨】 (1)依题意,易求 g(x)=sin(x﹣

???? 13 分

) ,利用正弦函数的单调性可求得函数 g )= ,易知 0<A﹣ < ,

(x)的单调递减区间; (2)由(1)知,g(A)=sin(A﹣ 于是得 cos(A﹣ 得答案. )= ,f( )=sinA=sin[(A﹣ )+

],利用两角和的正弦即可求

【题文】19.已知三棱锥 A ? BPC 中, AP ⊥ PC , AC ? BC , M 为 AB 的中点, D 为 PB 的 A 中点,且△ PMB 为正三角形. (1)求证: BC ⊥平面 APC ;

V (2)若 BC ? 3 , AB ? 10 ,求三棱锥 B ? MDC 的体积 B ? MDC .
【知识点】直线与平面垂直的判定.G5 【答案解析】(1) 见解析; (2)

M P D C

5 3 2

B

解析: (1)证明:∵△PMB 为正三角形, 且 D 为 PB 的中点,∴MD⊥PB. 又∵M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, ∴MD//AP,∴AP⊥PB. 又已知 AP⊥PC,∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC, AC ∴BC⊥平面 APC, (2)解:有 VM ? BCD ? VB ? MDC . ∵AB=10,∴MB=PB=5,又 BC=3, BC ? PC ,? PC ? 4 ,

AP ? A ,
????? 6 分

4

- 10 -



S△ BDC ?

1 1 S△ PBC ? PC ? BC ? 3 2 4 .



MD ?

5 3 1 5 3 ?VM ? BCD ? MD ? S△ BDC ? 2 , 3 2 .

????? 12 分

【思路点拨】 (1)运用等边三角形的性质和中位线定理,证得 AP⊥平面 PBC,再由线面垂直 的性质得,AP⊥BC,结合条件 AC⊥BC,即可得证; (2)运用 VM﹣BCD=VB﹣MDC.由棱锥的 体积公式,计算三角形 BCD 的面积和 MD,即可得到.

a1 ? , (2a ? a , 2) ?a ? n ?1 n 2 点 【题文】20.已知数列 n 中, 在直线 y ? x ? 1 上,其中 n =1, 2,3
(1)求证:

1

.

?an ? 1? 为等比数列并求出 ?an ? 的通项公式;
n ?1 bn c ? an ? bn , 求数列?cn ? 的前 n 2 , 令 n

?b ? n项和为Sn , 且 b1 ? 1, S n ? (2) 设数列 n 的前
项和

Tn 。
1 2 n(n ? 1) ?2 2

【知识点】数列的求和.D4 【答案解析】(1) 见解析; (2) (2 ? n)( ) ?
n

解析:(1)

2an ?1 ? an , 2) 代入直线 y ? x ? 1 中,有 2an ?1 ? an +1=2,
an ?1 ? 1 1 ? an ? 1 2 ,

2(an ?1 ? 1) ? an ? 1;?

1 1 ??an ? 1? 是以 为公比的等比数列,首项为a1 ? 1 ? ? ; 2 2 1 ? an ? ?( ) n ? 1 2 Sn ?
????? 4 分

(2)

n ?1 n bn , S n ?1 ? bn ?1 ; 2 2

S n ? S n ?1 ? bn ?
两式作差,

b n ?1 n n bn ? bn ?1 ; 整理有 n = 2 2 bn ?1 n ? 1

bn bn ?1 b n n ?1 2 b ? ...... 2 ? ? ...... ; n ? n, b1 ? 1,? bn ? n; bn ?1 bn ? 2 b1 n ? 1 n ? 2 1 b1

????? 8 分

1 令d n ? ?n ? ( ) n,其和为R n ; 1 n ? 1 n ? 2 cn ? ? ?( ) ? 1? ? n, cn ? ?( ) ? n ? n; 2 ? 2 ?

- 11 -

1 1 1 1 R n ? ?1? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ...... ? n( ) n ; 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 R n ? ?1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ...... ? n( ) n ?1; 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 错项相减后 R n ? ?( ) ? ( ) 2 ? ?( )3 ......-( ) n +n( ) n ?1; 2 2 2 2 2 2

1? 1 ? 1 ? ( )n ? ? 1 1 1 1 1 2 2 ? Rn ? ? ? ? n( ) n ?1 ; R n ? ( ) n ? 1 ? n( ) n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2
1 n(n ? 1) 1 n(n ? 1) R n ? (2 ? n)( ) n ? 2 ?Tn ? Rn ? ? (2 ? n)( ) n ? ?2 2 2 2 2 ;
n

???12 分

【思路点拨】 (1)由已知条件 2an+1﹣an+1=2,从而 2(an+1﹣1)=an﹣1,由此能证明{an﹣1} 是以 为公比的等比数列,首项为 ,从而得到 an=﹣( ) +1. (2)Sn=
n



, 两式作差, 得
n

, 利用累加法能求出 bn=n, cn=an?bn=[﹣ ( )+1]?n=

﹣( ) ?n+n,由此利用分组求和法能求出数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【题文】21.已知椭圆 (1)求椭圆

C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) A(1, ) 2 a b 2 ,其焦距为 2 . 过点

C1 的方程;

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b (2 )已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 a ,则椭圆在其上一点

x0 x y 0 y ? 2 ?1 A( x0 , y0 ) 处的切线方程为 a 2 b ,试运用该性质解决以下问题:
(i)如图(1) ,点 B 为

C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l ,l 分别与 x 轴和 y 轴

的正半轴交于 C , D 两点,求 ?OCD 面积的最小值;

(ii)如图(2) ,过椭圆

C2 :

x2 y 2 ? ?1 C 8 2 上任意一点 P 作 1 的两条切线 PM 和 PN ,切点分

别为 M , N .当点 P 在椭圆

C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的

方程;若不存在,请说明理由.
- 12 -

y
D B

y P M N
O

O

C

x

x

图(1) 图(2) 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8

1 x2 ? y 2 ? 1(2) 2 ,直线 MN 始终与圆 x 2 ? y 2 ? 相切. 【答案解析】(1) 2 2
解析: (1) 解: 依题意得: 椭圆的焦点为

F1 (?1, 0), F2 (1, 0) , 2a ?| AF1 | ? | AF2 | 由椭圆定义知:

? a ? 2, c ? 1? b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 C 所以椭圆 1 的方程为 2 .

????? 4 分

x2 B( x2 , y2 ) ,则椭圆 C1 在点 B 处的切线方程为 2 x ? y2 y ? 1 (2) (ⅰ)设

令x ?0,

yD ?

1 1 2 y ? 0, xC ? S ?OCD ? y2 ,令 x2 ,所以 x2 y2
2

x 2 x2 ? 0, y2 ? 0, 2 ? y2 ? 1 2 又点 B 在椭圆的第一象限上,所以

?1 ?

x2 x 2 2 ? y 2 ? 2 2 y 2 ? 2 x2 y 2 2 2
2 1 x2 2 ? 2 ? y 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 1 x2 y2 ,当且仅当 2

2

2

? S ?OCD ?

B(1,
所以当

2 ) 2 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2

????? 8 分

x3 x ? y3 y ? 1 C M ( x3 , y3 ) (ii)设 P (m, n) ,则椭圆 1 在点 处的切线为: 2 x4 x3 m ? y3 n ? 1 m ? y4 n ? 1 又 PM 过点 P (m, n) ,所以 2 ,同理点 N ( x4 , y4 ) 也满足 2 ,
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x m ? yn ? 1 所以 M , N 都在直线 2 上, m x ? ny ? 1 即:直线 MN 的方程为 2

d?
所以原点 O 到直线 MN 的距离 切.????? 12 分

1 m ? n2 4
2

?

2 1 x2 ? y 2 ? 2 ,所以直线 MN 始终与圆 2相

【思路点拨】(1) 依题意得:椭圆的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,由椭圆定义知:2a=|AF1|+|AF2 |, 即可求出 a,b,从而可求椭圆 C1 的方程; (2)依题意得:椭圆的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , 由椭圆定义知:2a=|AF1|+|AF2 |,即可求出 a,b,从而可求椭圆 C1 的方程.

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