2016-2017学年高中数学模块综合检测B新人教A版选修2-1资料

模块综合检测 B
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题中,真命题有( )

①面积相等的三角形是全等三角形; ②“若 xy=0,则|x|+|y|=0.”的逆命题; ③“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

解析: ①是假命题,②是真命题,③是真命题,④是假命题. 答案: B 2.对抛物线 y=4x ,下列描述正确的是( A.开口向上,焦点为(0,1) 1? ? B.开口向上,焦点为?0, ? ? 16? C.开口向右,焦点为(1,0) 1? ? D.开口向右,焦点为?0, ? ? 16? 1? 1 1 1 ? 2 解析: 抛物线方程可化为 x = y,则 2p= ,p= ,焦点为?0, ?,开口向上. 16 4 4 8 ? ? 答案: B 3.已知命题 p:存在 x∈R,使 tan x= 2 2 ,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, 2
2

)

下列结论:①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且?q”是假命题;③命题“?p 或 q”是 真命题;④命题“?p 或?q”是假命题.其中正确的是( A.②③ C.①③④ B.①②④ D.①②③④ )

解析: ∵p,q 都是真命题,∴①②③④均正确. 答案: D

m 1 4.一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( n n
A.m>1,且 n<1 C.m>0,且 n<0 B.mn<0 D.m<0,且 n<0

)

1

解析:

m 1 一次函数 y =- x + 的图象同时经过第一、三、四象限的充要条件是 n n

m ? ?-n>0 ?1 ?n<0 ?

??

? ?m>0, ?n<0. ?

而 mn<0 时,有?

? ?m>0, ?n<0 ?

或?

? ?m<0, ?n>0. ?

所以必要不充分条件是 mn<0. 答案: B 5.下列双曲线中,既有相同的离心率,又有相同渐近线的是( A. -y =1 和- + =1 3 3 9 B. -y =1 和- +y =1 3 3 C.y - =1 和 x - =1 3 3 D. -y =1 和 - =1 3 9 3 答案: D 6. 已知 a=(λ +1,0,2λ ), b=(6,2μ -1,2), 若 a∥b, 则 λ 与 μ 的值分别为( 1 1 A. , 5 2 1 1 C.- ,- 5 2 B.5,2 D.-5,-2 )
2

)

x2 x2

2

x2 y2 x2

2

2

x2

2

y2

x2

2

x2 y2

解析: a∥b,则存在 m∈R,使得 a=mb,又 a=(λ +1,0,2λ ),b=(6,2μ -1,2), λ +1=6m, ? ? 则有?0=m?2μ -1?, ? ?2λ =2m, 答案: A → → → → → 7.如图,空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且OA=2OM,N → 为 BC 中点,则MN等于( ) 1 ? ?λ =5, 可得? 1 ?μ =2. ?

2

1 2 1 A. a+ b+ c 2 3 2 1 1 1 C. a+ b- c 2 2 2

1 1 1 B.- a+ b+ c 2 2 2 2 2 1 D.- a+ b- c 3 3 2

→ → → → 1→ → → 1→ 解析: MN=MA+AB+BN= OA+OB-OA+ BC 2 2 1→ → 1 → → 1→ 1→ 1→ =- OA+OB+ (OC-OB)=- OA+ OB+ OC 2 2 2 2 2 1 1 1 =- a+ b+ c. 2 2 2 答案: B 5 8.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的 13 两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( A. 2- 2=1 4 3 C. 2- 2=1 3 4 )

x2 y2 x2 y2

B. D.

- 2=1 13 5
2

x2 x2

y2

13

2

- 2=1 12

y2

解析: 由已知得:在椭圆中 a=13,c=5,曲线 C2 为双曲线,由此知道在双曲线中 a =4,c=5,故双曲线中 b=3,双曲线方程为 2- 2=1. 4 3 答案: A 9.已知线段 AB 在平面 α 内,线段 AC⊥α ,线段 BD⊥AB,且 AB=7,AC=BD=24,线 段 BD 与 α 所成的角为 30°,则线段 CD 的长为( A. 23 C.25 )

x2 y2

B.2 6 D. 52

解析: 如图所示,由 AC⊥α ,可知 AC⊥AB,

过点 D 作 DD1⊥α ,D1 为垂足, 连接 BD1,则∠DBD1 为 BD 与 α 所成的角, 即∠DBD1=30°,∴∠BDD1=60°. ∵AC⊥α ,DD1⊥α ,∴AC∥DD1, → → → → ∴〈CA,DB〉=60°,∴〈CA,BD〉=120°.

3

→ → → → 又CD=CA+AB+BD, → 2 → → → → → 2 → 2 → 2 → 2 → → → → ∴ | CD | = CD ? CD = ( CA + AB + BD ) = | CA | + | AB | + | BD | + 2 CA ? AB + 2 CA ? BD + → → 2AB?BD. → → → → ∵BD⊥AB,AC⊥AB,∴BD?AB=0,AC?AB=0. → 2 → 2 → 2 → 2 → → 2 2 2 故 | CD | = | CA | + | AB | + | BD | + 2 CA ? BD = 24 + 7 + 24 +2?24?24?cos 120°= → 625,∴|CD|=25,即 CD 的长为 25. 答案: C 10.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的中点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.双曲线的一支 ) B.圆 D.线段

x2 y2 a b

1 解析: ∵P 为 MF1 中点,O 为 F1F2 的中点,∴OP= MF2,又 MF1+MF2=2a,∴PF1+PO 2 1 1 = MF1+ MF2=a.∴P 的轨迹是以 F1,O 为焦点的椭圆. 2 2 答案: A 11.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,Q 是 BC 的中点,P 是 A1B1 的中点,则直线 PQ 与 AM 所成的角为( )

A. C.

π 6 π 3

B. D.

π 4 π 2

解析: 以 A 为坐标原点,AB,AC,AA1 所在直线为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直 → → 角坐标系,设 AA1=AB=AC=2,则AM=(0,2,1),Q(1,1,0),P(1,0,2),QP=(0,-1,2), → → 所以QP?AM=0,

4

π 所以 QP 与 AM 所成角为 . 2 答案: D 12.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入 仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行, 最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆 形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示 椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①a1+c1=a2+c2; ②a1-c1=a2-c2; ③c1a2>a1c2; ④ < .其中正确式子的序号是(

c1 c2 a1 a2

)

A.①③ C.①④

B.②③ D.②④

解析: |PF|的长在椭圆标准方程中即为 a-c,故②正确;椭圆离心率是描述椭圆的 圆扁程度的,离心率越大,椭圆越扁,故③正确. 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中的横线上) 13.直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的弦的中点坐标是________. 4 2

x2 y2

y=x+1, ? ? 2 2 解析: 由?x y + =1, ? ?4 2

得 3x +4x-2=0.

2

4 设两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=- , 3 ∴

x1+x2
2

2 y1+y2 x1+x2 1 =- , = +1= . 3 2 2 3

? 2 1? 答案: ?- , ? ? 3 3?
14.下列说法正确的序号是________. ①如果命题“?p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题; ②若“p:? x0∈R,x0-2x0+4<0”,则“?p:? x∈R,x -2x+4≥0”; ③命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”;
2 2

5

④特称命题“? x∈R,使-2x +x-4=0”是真命题. 解析: 如果命题“?p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 p 是假命题,q 一定 是真命题,即①正确;若“p:? x0∈R,x0-2x0+4<0”,则“?p:? x∈R,x -2x+4≥0”, 即②正确;命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若 a≠0,则 ab≠0”,即③正确;特 称命题“? x∈R,使-2x +x-4=0”是假命题,故④错误. 答案: ①②③ 15.已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(4,2),则|PA| +|PF|的最小值为________. 解析: 过点 P,A 分别作准线 x=-1 的垂线,垂足分别为 P′,A′,由抛物线的定 义|PF|=|PP′|,所以|PA|+|PF|=|PP′|+|PA|≥|AA′|=4+1=5. 答案: 5 16.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-B1 的大小为________. 解析: 如下图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,设正方体的棱长为 a,则
2 2 2 2

2

A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a).
→ → → ∴BA=(0,a,0),BD1=(-a,a,a),BB1=(0,0,a),

设平面 ABD1 的法向量为 n=(x,y,z), → 则 n?BA=(x,y,z)?(0,a,0)=ay=0,

n?BD1=(x,y,z)?(-a,a,a)=-ax+ay+az=0,
∵a≠0,∴y=0,x=z,令 x=z=1, 则 n=(1,0,1), 同理平面 B1BD1 的法向量



m=(-1,-1,0),cos〈n,m〉=

n?m 1 =- . |n|?|m| 2

而二面角 A-BD1-B1 为钝角,故为 120°. 答案: 120° 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设向量 a=(3,5, -4), b=(2,1,8), 计算 2a+3b,3a-2b, a?b, 并确定 λ ,μ 满足的条件,使 λ a+μ b 与 z 轴垂直.
6

解析: 2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8) =(6,10,-8)+(6,3,24)=(12,13,16). 3a-2b=3(3,5, -4)-2(2,1,8)=(9,15, -12)-(4,2,16)=(9-4,15-2, -12-16) =(5,13,-28).

a?b=(3,5,-4)?(2,1,8)
=3?2+5?1-4?8=-21. 由(λ a+μ b)?(0,0,1)=(3λ +2μ ,5λ +μ ,-4λ +8μ )?(0,0,1)=-4λ +8μ =0 知,只要 λ ,μ 满足-4λ +8μ =0, 即 λ =2μ 即可使 λ a+μ b 与 z 轴垂直. 18.(本小题满分 12 分)命题 p:x -4mx+1=0 有实数解,命题 q:? x0∈R,使得 mx0- 2x0-1>0 成立. (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围; (3)若命题?p∨?q 为真命题,且命题 p∨q 为真命题,求实数 m 的取值范围. 解析: (1)∵x -4mx+1=0 有实根, ∴Δ =16m -4≥0, 1 1 ∴m≤- 或 m≥ . 2 2 1? ?1 ? ? ∴m 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? (2)设 f(x)=mx -2x-1. 当 m=0 时,f(x)=-2x-1,q 为真命题; 当 m>0 时,q 为真命题; 当 m<0 时,需有 Δ =4+4m>0, ∴m>-1,综上 m>-1. (3)∵?p∨?q 为真,p∨q 为真, ∴p,q 为一真一假.p,q 为真时 m 的范围在数轴上表示为
2 2 2 2 2

p 假,q 真时,m≤-1;p 真,q 假时,- <m< .
1 1 ∴满足条件的 m 的取值范围是 m≤-1 或 - <m< . 2 2 19.(本小题满分 12 分)已知双曲线的渐近线方程是 2x±y=0,并且过点 M( 3,-4). (1)求该双曲线的方程;
7

1 2

1 2

(2)求该双曲线的顶点、焦点、离心率. 解析: (1)设双曲线方程为 4x -y =m, 代入点 M( 3,-4)得 m=-4, ∴ -x =1. 4 (2)∵a =4,b =1, ∴c =5, ∴顶点 A(0,-2),B(0,2), 焦点 F1(0,- 5),F2(0, 5),离心率 e= 5 . 2
2 2 2 2 2

y2

2

20.(本小题满分 12 分)如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是 A1D1,

D1D,D1C1 的中点.

(1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面 EFG∥平面 AB1C. → → → 证明: 把{AA1,AB,AD}作为空间的一个基底. → → → 1→ 1→ → → → → → (1)因为EG=ED1+D1G= AD+ AB,AC=AB+AD,所以AC=2EG.所以 EG∥AC. 2 2 (2)由(1)知 EG∥AC,又 AC? 平面 AB1C,EG?平面 AB1C,所以 EG∥平面 AB1C. → → → 1 → 1→ → → → → → 因为FG=FD1+D1G= AA1+ AB,AB1=AB+AA1,所以AB1=2FG.所以 FG∥AB1. 2 2 又 AB1? 平面 AB1C,FG?平面 AB1C, 所以 FG∥平面 AB1C. 又 EG∩FG=G,所以平面 EFG∥平面 AB1C. 21.(本小题满分 13 分)已知直线 l:y=-x+1 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B

x2 y2 a b

?2 1? 两点,且线段 AB 的中点为? , ?. ?3 3?
(1)求此椭圆的离心率; (2)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x +y =5 上,求此椭圆的方程.
2 2

y=-x+1, ? ? 2 2 解析: (1)由?x y 2+ 2=1 ? ?a b



8

(b +a )x -2a x+a -a b =0. Δ =4a -4(a +b )(a -a b )>0? a +b >1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 2a . 2 b +a2
2 4 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2 2

?2 1? ∵线段 AB 的中点为? , ?, ?3 3?
∴ 2a 4 2 2 = ,于是得:a =2b . b +a2 3
2 2 2 2 2

又 a =b +c , ∴a =2c ,∴e=
2 2

2 . 2

(2)设椭圆的右焦点为 F(c,0),则点 F 关于直线 l:y=-x+1 的对称点为 P(1,1-c), 由已知点 P 在圆 x +y =5 上, ∴1+(1-c) =5,c -2c-3=0. ∵c>0,∴c=3, 又∵a =2c , ∴a =18,a=3 2.∴b=3, ∴椭圆方程为 + =1. 18 9 22.(本小题满分 13 分)如图所示,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE,
2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= AD.

1 2

(1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)证明平面 AMD⊥平面 CDE; (3)求二面角 A-CD-E 的余弦值. 解析: 以点 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设 AF=1,则 F(0,0,1),

A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).
因为 M 为 EC 的中点,

9

1? ?1 所以 M? ,1, ?. 2? ?2 → → BF?DE 1 → → → → (1)BF=(-1,0,1),DE=(0,-1,1)则 cos〈BF,DE〉= = ,所以异面直线 → → 2 |BF||DE|

BF 与 DE 所成的角的大小为 60°.
1? → → ?1 → → → → → (2)证明:AM=? ,1, ?,AD=(0,2,0),CE=(-1,0,1),则CE?AM=0,CE?AD=0, 2 2 ? ? 所以 CE⊥AM,CE⊥AD,又 AM∩AD=A,所以 CE⊥平面 AMD,而 CE? 平面 CDE,故平面 AMD⊥ 平面 CDE. (3)由题设, 可得平面 ACD 的一个法向量为 n1=(0,0,1). 设平面 CDE 的法向量为 n2=(x, → ? ?n2?CE=0 → y,z),又CE=(-1,0,1),DC=(1,-1,0),则? → ? ?n2?DC=0 → =1,可得 n2=(1,1,1).
? ?-x+z=0 ,即? ?x-y=0 ?

,令 x

n1?n2 3 所以 cos〈n1,n2〉= = . |n1||n2| 3
因为二面角 A-CD-E 为锐角,所以其余弦值为 3 . 3

10


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