高三数学一轮复习课时作业37 基本不等式B 文 北师大版

课时作业(三十七)B [第 37 讲

基本不等式]

[时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1.已知 a,b∈R,下列不等式中不正确的是( ) a+b 4 2 2 2 2 A.a +b ≥2ab B. ≥ ab C.a +4≥4a D. 2+b ≥4 2 b 1 2.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有( )

x

A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 x y 3.设 x,y∈R,且 x+y=4,则 5 +5 的最小值是( ) A.9 B.25 C.50 D.162 1 4.已知 0<x< ,则 x(1-3x)取最大值时 x 的值是________. 3 能力提升 5.[2011·太原重点中学联考] 若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( ) 1 1 1 A. + 有最大值 4 B.ab 有最小值 a b 4 2 2 6.[2010·重庆卷] 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( 9 11 A.3 B.4 C. D. 2 2 C. a+ b有最大值 2 D.a +b 有最小值
2 2

)

7.若 log 2x+log 2y=8,则 3x+2y 的最小值为( ) A.4 B.8 C.4 6 D.8 6 2 8.设 f(x)=|2-x |,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是( A.(0,2) B.(0,2 2) C.(0,4) D.(0, 2) 9.已知函数 f(x)=x+

)

p

x-1

(p 为常数,且 p>0),若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,

则实数 p 的值为________. 10.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 1 1 k 11. 设 a>0, b>0, 且不等式 + + ≥0 恒成立, 则实数 k 的最小值等于________. a b a+b a2 b 2 a+b 2 12.(13 分)(1)已知 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证: + ≥ , x y x+y 指出等号成立的条件; 2 9 ? ? 1?? (2)利用(1)的结论求函数 f(x)= + ?x∈?0, ??的最小值,指出取最小值时 x 的 x 1-2x? ? 2?? 值. 难点突破 13.(12 分)如图 K37-1,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪, 图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参 观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明.

图 K37-1 课时作业(三十七)B 【基础热身】 1.B [解析] 对于基本不等式成立的前提条件是 a、b 必须都非负. 1 ? 2 . C [ 解 析 ] ∵ x<0 , ∴ - x>0 , ∴ x + - 2 = - ? -x +

x

?

1 ? ? - 2≤ - -x ?



-x

1 1 -2=-4,等号成立的条件是-x= ,即 x=-1. -x -x
x y x+y
4

3.C [解析] 5 +5 ≥2 5 =2 5 =50,当且仅当 x=y=2 时,5 +5 得最小值是 50. 1 1 4. [解析] 因为 0<x< ,所以 0<1-3x<1, 6 3 1 1 ?3x+ -3x ?2 1 所以 x(1-3x)= [3x(1-3x)]≤ ·? ? =12,当且仅当 3x=1-3x,即 x 2 3 3 ? ? 1 = 时,x(1-3x)取得最大值. 6 【能力提升】 5.C [解析] 由基本不等式,得 ab≤

x

y

a2+b2
2



a+b
2

2

-2ab 1 ,所以 ab≤ ,故 B 错; 4

1 1 a+b 1 a+ b a+b 1 + = = ≥4, 故 A 错;由基本不等式得 ≤ = ,即 a+ b≤ 2, a b ab ab 2 2 2 1 1 2 2 2 故 C 正确;a +b =(a+b) -2ab=1-2ab≥1-2× = ,故 D 错. 4 2 6.B [解析] 依题意得(x+1)(2y+1)=9, ∴(x+1)+(2y+1)≥2 x+ y+ =6, ∴x+2y≥4, 即 x+2y 的最小值是 4. 7.D [解析] 由 log 2x+log 2y=8,得 log 2xy=8,所以 xy=16,且 x>0,y>0, 所以 3x+2y≥2 6xy=8 6,当且仅当 3x=2y,xy=16 时,取得最小值 8 6.故选 D. 8.B [解析] 若 0<a<b< 2,则有 f(a)>f(b),与 f(a)=f(b)矛盾;若 2<a<b, 2 2 则有 f(a)<f(b),与 f(a)=f(b)矛盾,故必有 0<a< 2<b,因此由|2-a |=|2-b |得 2 2 2 -a =b -2, a+b a2+b2 2 2 ∴a +b =4,故 ≤ = 2(a=b 时取等号), 2 2 ∴0<a+b<2 2. 9 p 9. [解析] 由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 4 x-1 9 时取等号,则 2 p+1=4,解得 p= . 4 10.18 [解析] 由基本不等式得 xy≥2 2 xy+6,令 xy=t 得不等式 t -2 2t- 6≥0,解得 t≤- 2(舍去),或者 t≥3 2,故 xy 的最小值为 18. 1 1 k a+b 2 a+b 2 b a 11.-4 [解析] 由 + + ≥0,得 k≥- ,而 = + +2≥4(a a b a+b ab ab a b
2

=b 时取等号),所以- 的最小值等于-4.

a+b2 a+b2 ≤-4,因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k ab ab
2 2

?a b ? 2 2 2y 2x 2 2 12.[解答] (1)证明:? + ?(x+y)=a +b +a +b ≥a +b +2 ?x
y? x y b)2, a+b 2 , x+y a b 2y 2x 当且仅当 a =b ,即 = 时上式取等号. x y x y
故 + ≥

y x a2 ·b2 =(a+ x y

a2 b2 x y

2 3 + (2)由(1)得 f(x)= + ≥ =25, 2x 1-2x 2x+ -2x 2 3 1 当且仅当 = ,即 x= 时上式取最小值, 2x 1-2x 5 即 f(x)min=25. 【难点突破】 2 2 2 2 2 2 13.[解答] (1)在△ADE 中,y =x +AE -2x·AE·cos60°? y =x +AE -x·AE.① 1 3 1 又 S△ADE= S△ABC? = x·AE·sin60°? x·AE=2.② 2 2 2 ?2?2 2 2 将②代入①得 y =x +? ? -2(y>0),

2

2

2

?x?

∴y=

x2+ 2-2(1≤x≤2). x x2+ 2-2≥ 2·2-2= 2, x
4

4

(2)如果 DE 是水管 y=

4 2 当且仅当 x = 2,即 x= 2时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= 2.

x

4 2 如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x + 2,可知

x

函数 f(x)在[1, 2]上单调递减,在[ 2,2]上单调递增, 故 f(x)max=f(1)=f(2)=5,∴ymax= 5-2= 3. 即 DE 为 AB 边中线或 AC 边中线时,DE 最长.


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