三角函数典型题目2013.10

平邑实验中学高三复习阅读材料

三角函数典型题目

几类三角函数典型例题分析
高考风向标 主要考查三角函数的定义,三角函数的符号,同角三角函数关系式及诱导公式,两角和与 差的三角函数,二倍角的正弦、余弦、正切公式,三角函数的图象与性质,包括周期性、 奇偶性、单调性、和最值性. 例 1 已知电流 I 与时间 t 的关系式为

(1)函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos2 x ? b. 由f (0) ? 8, f ( ) ? 12, 可得

?

6

? 3 3 f (0) ? 2b ? 8, f ( ) ? a ? b ? 12, 所以b ? 4, a ? 4 3. 6 2 2
(2) f ( x) ? 4 3 sin 2 x ? 4 cos 2 x ? 4 ? 8sin(2 x ? ) ? 4, 6
故当2 x ?
点评

?

?
6

I ? A sin(?t ? ? ) .
| ? |? (1) 右图是 I ? A sin(?t ? ? ) (ω >0,

? 2k ??

?
2

即 , x ? ? k?

?
6

,? k 时,函数 Z f(x)的最大值为 12.

I
300

?
2

结论 a sin ? ? b cos ? ?

a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? 是历年高考命题的热点之一.

) 例 3 在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?
1 — 900

在一个周期内的图象,根据图中数据求

I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式;
(2)如果 t 在任意一段

O

1 180

t

2 , AC ? 2 , AB ? 3 , 2

1 秒的时间内,电流 150

求 tan A 的值和 ?ABC 面积. 讲解 下面给出两种解法.法一 先解三角方程,求出角 A 的值.

—300

I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω
的最小正整数值是多少? 讲解 本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力. (1)由图可知 A=300.

? sin A ? cos A ? 2 cos( A ? 45? ) ?

2 1 ,? cos( A ? 45? ) ? . 2 2

0? ? A ? 180? ,? A ? 45? ? 60? , A ? 105?.? tan A ? tan(45? ? 60? ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3. 1? 3
2? 6 . 4

1 1 1 1 1 ,t2= , 则周期 T=2(t2-t1)=2( + )= . 900 180 180 900 75 2? 1 1 ∴ ω= =150π . 又当 t= 时,I=0,即 sin(150π · + ? )=0, T 180 180
设 t1=-

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos60? ? cos45? sin 60? ? 1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) . 2 2 4 4

? ? 而 | ? |? , ∴ ? = .故所求的解析式为 I ? 300sin(150? t ? ) . 2 6 6 1 2? 1 (2)依题意,周期 T≤ ,即 ≤ , (ω >0) 150 ? 150

?

S ?ABC ?
法二

A? c o As计算它的对偶关系式 s i n A? c o As的值. 由s i n


∴ ω ≥300π >942,又ω ∈N*, 故最小正整数ω =943. 点评 本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中,读图、识图、用图是形数 结合的有效途径. 例 2 已知函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2b cos x, 且f (0) ? 8, f ( ) ? 12 .
2

2 ? s i nA ? cos A ? 2

1 1 ? (sin A ? cos A) 2 ? ? 2sin A cos A ? ? 2 2 ? ? ? 0 ? A ? 180 ,? sin A ? 0, cos A ? 0.
3 , 2

?

6

?( s i n A ? c o sA) 2 ? 1 ? 2 s i nA c o sA ?

? sin A ? cos A ?

(1)求实数 a,b 的值; 讲解

(2)求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的值.

6 . 2



学会翻译,逐步展开解题思维.

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三角函数典型题目



+ ②



sin A ?

2? 6 . ① - ② 得 4

cos A ?

2? 6 . 4

设正方形边长为 x. 则 BQ= xctg? , RC ? xtg?

? x c t? g? x ? x t g ? ? a.

x?

从而

tan A?

sin A ? cos A

2 ? 4

6 ?

4 ?? 2 ? 2? 6

a a sin ? cos? a sin 2? ? ? ctg? ? tg? ? 1 1 ? sin ? cos? 2 ? sin 2?
a sin 2? 2 a 2 sin 2 2? ) ? . 2 ? sin 2? 4 ? sin 2 2? ? 4 sin 2?
1 2 1 a sin 2? (1 ? sin 2? ) 2 1 4 4 2 ? ? ( ? sin 2? ? 4). 1 2 sin 2? 4 sin 2? a sin 2? 4 1 (1 ? sin 2? ) 2 2

.以下解法略去. 3

? S2 ? (

点评 本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能 力,是一道三角的基础试题.两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢? 例 4 设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

(2)当 a 固定, ? 变化时, S1 ? S2

3 sin2x),x∈R.

? ? , ],求 x; 3 3

(2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|< 实数 m、n 的值. 讲解

? )平移后得到函数 y=f(x)的图象,求 2 ? ). 6

令 sin 2? ? t , 则 S1 ? 1 (t ? 4 ? 4).
S2 4 t

?0 ?? ?

?
2

,? 0 ? t ? 1.

令 f (t ) ? t ?

4 t

任取 t1 , t 2 ? (0,1] ,且 t1 ? t 2 ,

(1)依题设可知,函数的解析式为 f(x)=a·b=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+

f (t1 ) ? f (t 2 ) ? t1 ? t 2 ?

4(t ? t ) (t t ? 4) 4 4 ? ? (t1 ? t 2 ) ? 1 2 ? (t1 ? t 2 )( 1 2 ). t1 t 2 t1 ? t 2 t1t 2

由 1+2sin(2x+ ∵-

? ? 3 )=1- 3 ,可得三角方程 sin(2 x + )=- . 6 6 2

? t1 ? t 2 ? 0,0t1t 2 ? 1, t1t 2 ? 4 ? 0,
? f (t ) ? t ? 4 在(0,1] 是减函数.? t t

? f (t1 ) ? f (t 2 ) ? 0 ,

? ? ? ? 5? ? ? ? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- ,即 x=- . 3 3 2 6 6 3 4 6 ? ? ? )+1.∵|m|< ,∴ m ? ? , n ? 1. 2 12 12

? 1时,

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象,即 函数 y=f(x)的图象. 由(1)得 f(x)=2sin2(x+

S1 ? 取最小值,此时 ? ? . 4 S2

点评

三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例.通过引入角度,将图形的语
t

言转化为三角的符号语言,再通过局部的换元,又将问题转化为我们熟知的函数 f (t ) ? t ? 4 .这 些解题思维的拐点,你能否很快的想到。

点评 本小题是福建高考试题,主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及 其图象变换的基本技能,着重考查数学运算能力.平面向量与三角函数结合是高考命题的一个 新的亮点之一. 例 5 如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草, △ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=a,∠ABC= ? ,设△ABC 的面 积为 S1,正方形的面积为 S2. (1)用 a, ? 表示 S1 和 S2; (2)当 a 固定, ? 变化时,求 讲解 (1)∵ AC ? a sin ? , AB ? a cos? .

附:必须掌握的公式及变形
⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? (降幂公式 cos 2 ? ?

S1 取最小值时的角 ? . S2

sin 2? cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? , sin ? cos ? ? ) . 2 2 2

∴ S1 ? 1 a 2 sin ? cos ? ? 1 a 2 sin 2? . 2 4

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . (4) ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? 1 ? tan 2 ?


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