2013自主招生数学讲义-3

自主招生讲练一 一．2011 年北大夏令营：
1.f (x ) = ax 2 + 8x + b，g(x ) = bx 2 + 8x + a，其中a 且两函数的最小值之和为0，分别求f (x )和g(x )的最小值。 0，b 0，

2.已知sinx，siny，sinz依次成严格递增的等差数列，求证： cosx，cosy，cosz不构成等差数列。

3.实数集上有定义的实值函数f (x )，问是否存在f (n )， 对任意n ∈ Z，有f - n 2 + 3n + 1 = f 2 (n ) + 2.

(

)

二．2011 年清华保送生：
1.求min max x， - 6 。 x

{ {

}}

有f (x + y ) ≥ f (x ) + f (y )，f (1) = 1，证明：f (x ) ≤ 2 x。

2.设函数f (x )是定义在[0,1]上的非负函数，对于任意x，y，x + y ∈ [0,1]

练习：2012 年北大保送考试题
?π π ? 1.已知函数f (x ) = 2x 2 - ax + 1，若存在? ∈ ? ， ?， ?4 2? 使f (sin? ) = f (cos? )，求实数a的取值范围。 2.在正项等比数列{a n } 中，a 4 + a 3 - a 2 - a 1 = 5，求a 5 + a 6的最小值。

3.已知f (x )是二次函数，且a，f (a )，f (f (a ))，f (f (f (a )))构成 等比数列，求证：f (a ) = a。

4.在锐角ΔABC中，a

b

c，求证：

ΔABC的最大内接正方形（正方形的四个顶点 acsinB 在三角形的三边上）的边长为 。 c + asinB

5.已知a i a 1a 2

0(i = 1,2， ， )，a 1 + a 2 + 10

+ a 10 = 30，

这10个数中必有一个数在(0,1)之间。

a 10 ? 21，求证：

三．构造、猜想、证明：
1.已知0 ? x，y ? 1，求 xy(1 - x - y ) 的最大值。 (x + y )(1 - x )(1 - y )

2.设集合M ? { ， ， }满足：在M的任意三个元素中都可以 1 2， 2011 找到两个元素a，b，使得a b或b a，求 M 的最大值。

3.给定整数n A1 , A2 ,

2，

(1)证明：可以将集合{1,2， ，n}的所有子集恰当地排列为：
, A2n ，使得Ai 与Ai +1 i = 1,2， ，n 且A2 n + t = At 2
2n

(

)
i

的元素个数恰相差1.

(2)对于满足(1)中条件的子集A1 , A2 ,
的所有可能值。其中S ( Ai ) =
x∈ Ai

, A2n ，求∑ (- 1) S ( Ai )
i =1

∑ x，S (Φ ) = 0.

四．从整体思考：
1.设正实数集合A = {a 1，a 2， ，a 100 } ， 则集合S中的元素最多有 - - - - - -个。 集合S = {(a，b ) a ∈ A，b ∈ A，a - b ∈ A} .

2.已知a 1，a 2， ，a 2011是一列互不相等的正整数，如任意改变 这2011个数的顺序，并记为b1，b 2， ，b 2011。则数
M = (a 1 - b1 )(a 2 - b 2 )

(a 2011 - b 2011 )的值必为 - - - - - -。

3.从1,2， ， 中最少应选出多少个不同的数，才能保证 2011 选出的数中必存在三个不同的数构成一个三角形的三边长。

五．不等式练习：
1.设a，b，c 0且a 2 + b 2 + c 2 + (a + b + c ) ≤ 4 ab + 1 bc + 1 ca + 1 求证： + + ≥3 2 2 (a + b ) (b + c ) (c + a )2
2

2.设实数a，b，c ≥ 1，且满足abc + 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 + ca - bc - 4a + 4b - c = 28 求a + b + c的最大值。

3.已知a，b，c为正数且abc = 1，则 a 2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 ≤ 2 (a + b + c )

思考：对 3 中的条件，求证：
a2 b2 c2 + + ≥1 2+a 2+b 2+c