2013自主招生数学讲义-3

自主招生讲练一 一.2011 年北大夏令营:
1.f (x ) = ax 2 + 8x + b,g(x ) = bx 2 + 8x + a,其中a 且两函数的最小值之和为0,分别求f (x )和g(x )的最小值。 0,b 0,

2.已知sinx,siny,sinz依次成严格递增的等差数列,求证: cosx,cosy,cosz不构成等差数列。

3.实数集上有定义的实值函数f (x ),问是否存在f (n ), 对任意n ∈ Z,有f - n 2 + 3n + 1 = f 2 (n ) + 2.

(

)

二.2011 年清华保送生:
1.求min max x, - 6 。 x

{ {

}}

有f (x + y ) ≥ f (x ) + f (y ),f (1) = 1,证明:f (x ) ≤ 2 x。

2.设函数f (x )是定义在[0,1]上的非负函数,对于任意x,y,x + y ∈ [0,1]

练习:2012 年北大保送考试题
?π π ? 1.已知函数f (x ) = 2x 2 - ax + 1,若存在? ∈ ? , ?, ?4 2? 使f (sin? ) = f (cos? ),求实数a的取值范围。 2.在正项等比数列{a n } 中,a 4 + a 3 - a 2 - a 1 = 5,求a 5 + a 6的最小值。

3.已知f (x )是二次函数,且a,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))构成 等比数列,求证:f (a ) = a。

4.在锐角ΔABC中,a

b

c,求证:

ΔABC的最大内接正方形(正方形的四个顶点 acsinB 在三角形的三边上)的边长为 。 c + asinB

5.已知a i a 1a 2

0(i = 1,2, , ),a 1 + a 2 + 10

+ a 10 = 30,

这10个数中必有一个数在(0,1)之间。

a 10 ? 21,求证:

三.构造、猜想、证明:
1.已知0 ? x,y ? 1,求 xy(1 - x - y ) 的最大值。 (x + y )(1 - x )(1 - y )

2.设集合M ? { , , }满足:在M的任意三个元素中都可以 1 2, 2011 找到两个元素a,b,使得a b或b a,求 M 的最大值。

3.给定整数n A1 , A2 ,

2,

(1)证明:可以将集合{1,2, ,n}的所有子集恰当地排列为:
, A2n ,使得Ai 与Ai +1 i = 1,2, ,n 且A2 n + t = At 2
2n

(

)
i

的元素个数恰相差1.

(2)对于满足(1)中条件的子集A1 , A2 ,
的所有可能值。其中S ( Ai ) =
x∈ Ai

, A2n ,求∑ (- 1) S ( Ai )
i =1

∑ x,S (Φ ) = 0.

四.从整体思考:
1.设正实数集合A = {a 1,a 2, ,a 100 } , 则集合S中的元素最多有 - - - - - -个。 集合S = {(a,b ) a ∈ A,b ∈ A,a - b ∈ A} .

2.已知a 1,a 2, ,a 2011是一列互不相等的正整数,如任意改变 这2011个数的顺序,并记为b1,b 2, ,b 2011。则数
M = (a 1 - b1 )(a 2 - b 2 )

(a 2011 - b 2011 )的值必为 - - - - - -。

3.从1,2, , 中最少应选出多少个不同的数,才能保证 2011 选出的数中必存在三个不同的数构成一个三角形的三边长。

五.不等式练习:
1.设a,b,c 0且a 2 + b 2 + c 2 + (a + b + c ) ≤ 4 ab + 1 bc + 1 ca + 1 求证: + + ≥3 2 2 (a + b ) (b + c ) (c + a )2
2

2.设实数a,b,c ≥ 1,且满足abc + 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 + ca - bc - 4a + 4b - c = 28 求a + b + c的最大值。

3.已知a,b,c为正数且abc = 1,则 a 2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 ≤ 2 (a + b + c )

思考:对 3 中的条件,求证:
a2 b2 c2 + + ≥1 2+a 2+b 2+c


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