【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习练习:强化训练(三)分类讨论思想.doc

技法强化训练(三)
题组 1 由概念、法则、公式引起的分类讨论

分类讨论思想

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=Pn-1(P 是常数),则数列{an}是( A.等差数列 C.等差数列或等比数列 D [∵Sn=Pn-1,


)

B.等比数列 D.以上都不对

∴a1=P-1,an=Sn-Sn-1=(P-1)Pn 1(n≥2). 当 P≠1 且 P≠0 时,{an}是等比数列; 当 P=1 时,{an}是等差数列; 当 P=0 时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.]
?-x2+ax,x≤1, ? 2.(2016· 长春模拟)已知函数 f(x)=? 若存在 x1,x2∈R,且 x1≠x2,使 ?2ax-5,x>1. ?

得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,2) C.[2,4] B B.(-∞,4) D.(2,+∞)

)

a [当- <1,即 a<2 时,显然满足条件; -2

当 a≥2 时,由-1+a>2a-5 得 2≤a<4, 综上可知 a<4.] 3.已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如图 1 所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为( )

图1 A.(-3,-2)∪(2,3) B.(- 2, 2) C.(2,3) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) A [由导函数图象知,当 x<0 时,f′(x)>0,

即 f(x)在(-∞,0)上为增函数,

当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 又不等式 f(x2-6)>1 等价于 f(x2-6)>f(-2)或 f(x2-6)>f(3),故-2<x2-6≤0 或 0≤x2 -6<3,解得 x∈(-3,-2)∪(2,3).] y2 4.已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则曲线 x2- =1 的离心率为( m A. 2 C. 5 D B. 3 2 3 2 )

D. 5或

[由题意可知,m2=2× 8=16,∴m=± 4.

y2 (1)当 m=4 时,曲线为双曲线 x2- =1. 4 此时离心率 e= 5. y2 (2)当 m=-4 时,曲线为椭圆 x2+ =1. 4 此时离心率 e= 3 .] 2

5. 设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3, …), 则 q 的取值范围是________. (-1,0)∪(0,+∞) [因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0. 当 q=1 时,Sn=na1>0; a1? 1 -qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q 即
? ?1-q>0, 1-qn >0(n∈N*),则有? n 1-q ?1-q >0 ?



?1-q<0, ? 或? n ? ?1-q <0,



由①得-1<q<1,由②得 q>1. 故 q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).] 6.若 x>0 且 x≠1,则函数 y=lg x+logx10 的值域为________. 1 (-∞,-2]∪[2,+∞) [当 x>1 时,y=lg x+ ≥2 lg x 即 x = 10 时等号成 立;当 0 < x < 1 时, y = lg x + 2 1 lg x· =2,当且仅当 lg x=1, lg x

1 1 - ?? ≤ - =- ? ?-lg x?+? lg x?? ? ? lg x

1 1 1 ?-lg x? · =-2,当且仅当 lg x= ,即 x= 时等号成立. lg x 10 ?-lg x? ∴y∈(-∞,-2]∪[2,+∞).] 题组 2 由参数变化引起的分类讨论 7. 已知集合 A={x|1≤x<5}, C={x|-a<x≤a+3}. 若 C∩A=C, 则 a 的取值范围为( )

3 ? A.? ?-2,-1? C.(-∞,-1] C

3? B.? ?-∞,-2? 3 ? D.? ?-2,+∞?

[因为 C∩A=C,所以 C? A.

3 ①当 C=?时,满足 C? A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 -a<a+3, ? ? ②当 C≠?时,要使 C? A,则?-a≥1, ? ?a+3<5, 3 解得- <a≤-1.由①②得 a≤-1.] 2 x+y≤1, ? ? 8.(2016· 保定模拟)已知不等式组?x-y≥-1 ,所表示的平面区域为 D,若直线 y=kx ? ?y≥0 -3 与平面区域 D 有公共点,则 k 的取值范围为( ) 【导学号:85952006】 A.[-3,3] 1 1 -∞,- ?∪? ,+∞? B.? 3 ? ? ?3 ? C.(-∞,-3]∪[3,+∞) 1 1 - , ? D.? ? 3 3?

C

[满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示.∵y=kx-3 过定点(0,-3),∴当

y=kx-3 过点 C(1,0)时,k=3;当 y=kx-3 过点 B(-1,0)时,k=-3. ∴k≤-3 或 k≥3 时,直线 y=kx-3 与平面区域 D 有公共点,故选 C.] 9.已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1,试讨论函数 f(x)的单调性. [解] 由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),1 分 a+1 2ax2+a+1 f′(x)= +2ax= .2 分 x x

①当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增.4 分 ②当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减.6 分 ③当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= 则当 x∈?0, 当 x∈? a +1 - ,7 分 2a

? ?

a+1? ?时,f′(x)>0; - 2a ?

? ? ? ?



a+1 ? ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ? a+1? ?上单调递增, - 2a ?

故 f(x)在?0, 在?

? ?



a+1 ? ,+∞?上单调递减.10 分 2a ?

综上,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≤-1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-1<a<0 时,f(x)在?0, 分 题组 3 根据图形位置或形状分类讨论 3 10.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲 4 线的离心率为( 5 A. 4 5 5 C. 或 4 3 C ) 5 B. 3 3 4 D. 或 5 5 b?2 5 1+? ?a? =4;若双曲线的焦点在 y

? ?

a+1? ? ?上单调递增,在? - 2a ? ?



a+1 ? ,+∞?上单调递减.12 2a ?

b 3 c [若双曲线的焦点在 x 轴上,则 = ,e= = a 4 a b?2 5 1+? ?a? =3,故选

b 4 c 轴上,则 = ,e= = a 3 a C.]

11.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为________. 【导学号:85952007】 8 3 4 3或 3 [若侧面矩形的长为 6,宽为 4,则

1 V=S 底× h= × 2× 2× sin 60° × 4=4 3. 2 若侧面矩形的长为 4,宽为 6,则 1 4 4 8 3 V=S 底× h= × × × sin 60° × 6= .] 2 3 3 3

图2 12.已知中心在原点 O,左焦点为 F1(-1,0)的椭圆 C 的左顶点为 A,上顶点为 B,F1 到直线 AB 的距离为 7 |OB|. 7

(1)求椭圆 C 的方程; x2 y2 x2 y2 (2)若椭圆 C1 的方程为: 2+ 2=1(m>n>0),椭圆 C2 的方程为: 2+ 2=λ(λ>0,且 m n m n λ≠1),则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的 λ 倍相似椭圆.如图 2,已知 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆, 若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2 于两点 M,N,试求弦长|MN|的取值范围. x2 y2 [解] (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b x y ∴直线 AB 的方程为 + =1, -a b ∴F1(-1,0)到直线 AB 的距离 d= a2+b2=7(a-1)2,又 b2=a2-1, 解得 a=2,b= 3,3 分 x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1.4 分 4 3 x2 y2 (2)椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2 的方程为 + =1,5 分 12 9 ①若切线 l 垂直于 x 轴,则其方程为 x=± 2, 易求得|MN|=2 6.6 分 ②若切线 l 不垂直于 x 轴,可设其方程 y=kx+b, 将 y=kx+b 代入椭圆 C 的方程, 得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,7 分 ∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2-3-b2)=0,即 b2=4k2+3,(*)8 分 记 M,N 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 将 y=kx+b 代入椭圆 C2 的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,9 分 4b2-36 4 3? 12 k2+9-b2? 8kb 此时 x1+x2=- ,10 分 2,x1x2= 2 ,|x1-x2|= 3+4k 3+4k 3+4k2 4 3? 12 k2+9-b2? ∴|MN|= 1+k2× 3+4k2 |b-ab| 7 = b,2 分 a2+b2 7

=4 6

1+k2 =2 6 3+4k2

1 1+ . 3+4k2

1 4 ∵3+4k2≥3,∴1<1+ ≤ , 3+4k2 3 即 2 6<2 6 1 1+ ≤4 2. 3+4k2

综合①②得:弦长|MN|的取值范围为[2 6,4 2].12 分


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