江苏省镇江市2016届高三(上)期中数学试卷(解析版)(解析版)

2015-2016 学年江苏省镇江市高三(上)期中数学试卷

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡

相应位置上。

1.设集合 U={0,1,2,3},A={x|x2﹣x=0},则?UA=



2.从甲、乙、丙 3 名候选学生中选 2 名作为青年志愿者,则甲被选中的概率为



3.若复数

为纯虚数,则 m=



4.根据如图所示的伪代码,最后输出的实数 a 的值为



5.在△ ABC 中,如果 sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 tanC=



6.方程 lgx=sinx 的解的个数为



7.函数 f(x)=

的定义域是



8.若函数 f(x)=sin(x+φ)cosx(0<φ<π)是偶函数,则 φ 的值等于



9.实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,则“ac<0”是“该方程有实数根”的 “必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写).

条件(在“充分不必要”、

10.若实数 x、y 满足 x>0,y>0,且 log2x+log2y=log2(x+2y),则 2x+y 的最小值为



11.若 4x﹣5×2x+6≤0,则函数 f(x)=2x﹣2﹣x 的值域是



12.已知函数 f(x)=

范围为



,若 0<a<b<c,满足 f(a)=f(b)=f(c),则



13.设 α、β

,且 sinαcos(α+β)=sinβ,则 tanβ 的最小值是



14.函数 f(x)=ax﹣xlna(0<a<1),若对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)≤e﹣1 恒成立,则实数 a

的取值范围是



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别是 a、b、c.

(1)若 sin(A+ )=

,求 A 的值;

(2)若 cosA= ,sinB+sinC=2sinA,试判断△ ABC 的形状,并说明理由.

16.已知函数



(1)解不等式 f(x)>0; (2)当 x∈[1,4]时,求 f(x)的值域.

17.已知 a∈R,函数 f(x)=



(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a>1,函数 y=f(x)在[0,a+1]上最大值是 f(a+1),求实数 a 的取值范围.

18.已知函数 f(x)=sin2x﹣2 asin(x+ )+2,设 t=sinx+cosx,且 x∈(﹣ , )

(1)试将函数 f(x)表示成关于 t 的函数 g(t),并写出 t 的范围; (2)若 g(t)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=0 有四个不同的实数根,求 a 的取值范围.
19.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为 2m 的扇 形 AOB 和三角区域 BCO 构成,其中 C,O,A 在一条直线上,∠ACB= ,记该设施平面图的面积为 S (x)m2,∠AOB=xrad,其中 <x<π. (1)写出 S(x)关于 x 的函数关系式; (2)如何设计∠AOB,使得 S(x)有最大值?
20.记函数 f(x)=ex 的图象为 C,函数 g(x)=kx﹣k 的图象记为 l. (1)若直线 l 是曲线 C 的一条切线,求实数 k 的值. (2)当 x∈(1,3)时,图象 C 恒在 l 上方,求实数 k 的取值范围. (3)若图象 C 与 l 有两个不同的交点 A、B,其横坐标分别是 x1、x2,设 x1<x2,求证:x1x2<x1+x2.

2015-2016 学年江苏省镇江市高三(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡 相应位置上。 1.设集合 U={0,1,2,3},A={x|x2﹣x=0},则?UA= {2,3} . 【考点】补集及其运算. 【专题】集合思想;定义法;集合. 【分析】先化简集合 A,再求 A 在 U 中的补集. 【解答】解:∵集合 U={0,1,2,3}, A={x|x2﹣x=0}={x|x=0 或 x=1}={0,1}, ∴?UA={2,3}. 故答案为:{2,3}. 【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题,是基础题目.

2.从甲、乙、丙 3 名候选学生中选 2 名作为青年志愿者,则甲被选中的概率为



【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】对应思想;试验法;概率与统计. 【分析】用列举法求出从甲、乙、丙 3 人中选 2 人的基本本事件数以及甲被选中的基本事件数,求出对应 的概率即可. 【解答】解:从甲、乙、丙 3 名候选学生中选 2 名,基本事件是甲乙,甲丙,乙丙共 3 种, 其中甲被选中的基本事件是甲乙和甲丙,共 2 种;

所求的概率为 P= .

故答案为: . 【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题,是基础题目.

3.若复数

为纯虚数,则 m= 2 .

【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.

【专题】计算题. 【分析】先将 a﹣i1+i 化简为代数形式,再根据纯虚数的概念,令其实部为 0,虚部不为 0,求出 m 值.

【解答】解:

= + i,根据纯虚数的概念得出

,解得 m=2.

故答案为:2 【点评】本题考查复数的除法运算,复数的分类,纯虚数的概念.属于基础题.

4.根据如图所示的伪代码,最后输出的实数 a 的值为 105 .

【考点】伪代码. 【专题】计算题;分类讨论;试验法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 a,i 的值,当 i=9 时不满足条件 i≤7,退出循环,输出 a 的值为 105. 【解答】解:模拟执行程序可得: a=1,i=3 满足条件 i≤7,a=3,i=5 满足条件 i≤7,a=15,i=7 满足条件 i≤7,a=105,i=9 不满足条件 i≤7,退出循环,输出 a 的值为 105. 故答案为:105. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键,属于基础题.

5.在△ ABC 中,如果 sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 tanC= ﹣



【考点】余弦定理的应用;正弦定理.

【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.

【分析】由正弦定理可得 a:b:c=2:3:4,不妨设 a=2t,b=3t,c=4t,则由余弦定理可求 cosC,结合范 围 C∈(0,π),利用同角三角函数关系式即可求值. 【解答】解:∵sinA:sinB:sinC=2:3:4, ∴由正弦定理可得:a:b:c=2:3:4,

∴不妨设 a=2t,b=3t,c=4t,则 cosC=

=

=﹣ ,

∵C∈(0,π)

∴tanC=﹣

=﹣ .

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查正余弦定理的应用,考查了比例的性质,同角的三角函数基本关系式的应用,属中档题.

6.方程 lgx=sinx 的解的个数为 3 . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数 y=lgx 的单调性可知:当 0<x≤10 时,lgx≤1;又由正弦函数的有界性可知:sinx≤1.画出 当 x>0 时的图象即可得出答案. 【解答】解:要使 lgx 有意义,必须 x>0. 分别作出函数 y=lgx,y=sinx,当 x>0 时的图象: 由函数 y=lgx 的单调性可知:当 0<x≤10 时,lgx≤1;又 sinx≤1. 由图象可以看出:函数 y=lgx 与 y=sinx 的图象有且仅有 3 个交点,故方程 lgx=sinx 的解的个数为 3. 故答案为 3.

【点评】熟练掌握对数函数和正弦函数的图象和性质是解题的关键.

7.函数 f(x)=

的定义域是 (0, ] .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】关键二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于 x 的不等式,解出即可. 【解答】解:由题意得:

﹣lgx≥0,解得:0<x≤ ,

故答案为:(0, ]. 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,是一道基础题.

8.若函数 f(x)=sin(x+φ)cosx(0<φ<π)是偶函数,则 φ 的值等于



【考点】正弦函数的奇偶性;两角和与差的正弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.

【分析】由条件利用三角函数的奇偶性可得 φ=kπ+ ,k∈Z,再结合 0<φ<π,可得 φ 的值.

【解答】解:函数 f(x)=sin(x+φ)cosx 是偶函数,则 φ=kπ+ ,k∈Z.

再根据 0<φ<π,可得 φ= ,

故答案为: . 【点评】本题主要三角函数的奇偶性,属于基础题.

9.实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,则“ac<0”是“该方程有实数根”的 充分不必要 条件(在“充分不必 要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写). 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】方程思想;综合法;简易逻辑. 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可. 【解答】解:对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0, △ =b2﹣4ac, 若“ac<0”,则△ >0,“该方程有实数根”,是充分条件, 若该方程有实数根,△ ≥0,则推不出 ac<0,不是必要条件, 故答案为:充分不必要. 【点评】本题考查了充分必要条件,根的判别式问题,是一道基础题.

10.若实数 x、y 满足 x>0,y>0,且 log2x+log2y=log2(x+2y),则 2x+y 的最小值为 9 . 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;对数的运算性质. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】求出 x,y 的关系式,然后利用基本不等式求解函数的最值即可. 【解答】解:实数 x、y 满足 x>0,y>0,且 log2x+log2y=log2(x+2y), 可得 xy=x+2y,

可得



2x+y=(2x+y)

=1+4+



=9,当且仅当 x=y=3 时,取得最小值.

故答案为:9. 【点评】本题考查对数运算法则以及基本不等式的应用,考查计算能力.

11.若 4x﹣5×2x+6≤0,则函数 f(x)=2x﹣2﹣x 的值域是 [ , ] . 【考点】一元二次不等式的解法;函数的值域. 【专题】转化思想;换元法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】用换元法,设 t=2x,求出 t 的取值范围,再把函数 f(x)化为 f(t),求 f(t)的值域即可. 【解答】解:∵4x﹣5×2x+6≤0, ∴(2x)2﹣5×2x+6≤0, 设 t=2x,则原不等式化为 t2﹣5t+6≤0, 解得 2≤t≤3; 又函数 f(x)=2x﹣2﹣x=2x﹣ ,
∴f(t)=t﹣ (t∈[2,3]),
∴f′(t)=1+ >0, ∴f(t)在 t∈[2,3]上是增函数, ∴f(2)≤f(t)≤f(3), 即 ≤f(t)≤ ;
∴f(x)的值域是[ , ].
故答案为:[ , ].

【点评】本题考查了不等式的解法和应用问题,也考查了求函数值域的应用问题,是综合性题目.

12.已知函数 f(x)=

,若 0<a<b<c,满足 f(a)=f(b)=f(c),则



范围为 (1,2) . 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.

【分析】作函数 f(x)=

的图象,从而可得 ab=1, <f(c)<1;从而求得.

【解答】解:作函数 f(x)=

的图象如下,



∵0<a<b<c,满足 f(a)=f(b)=f(c), ∴﹣log2a=log2b,即 ab=1; ∵f(c)= = + ,

∴ <f(c)<1;

故 1<

=

<2;

故答案为:(1,2). 【点评】本题考查了数形结合思想应用及对数的运算,同时考查了整体代换的思想应用.

13.设 α、β

,且 sinαcos(α+β)=sinβ,则 tanβ 的最小值是



【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【专题】方程思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得 2tan2α?tanβ+tanβ﹣tanα=0,再 根据△ =1﹣8tan2β≥0,求得 tanβ 的最小值. 【解答】解:∵sinαcos(α+β)=sinβ=sin[(α+β)﹣α], ∴sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα,

化简可得 tan(α+β)=2tanα,即

=2tanα,

∴2tan2α?tanβ﹣tanα+tanβ=0, ∴△=1﹣8tan2β≥0,

解得﹣ ≤tanβ≤ ,

∵β∈( ,π),∴﹣ ≤tanβ<0,

故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.

14.函数 f(x)=ax﹣xlna(0<a<1),若对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)≤e﹣1 恒成立,则实数 a
的取值范围是 [ ,1) .
【考点】函数恒成立问题. 【专题】转化思想;配方法;构造法;函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】求函数的导数,判断函数的单调性,求出函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值即可,利用构造法进 行求解. 【解答】解:函数的导数 f′(x)=axlna﹣lna=lna?(ax﹣1), ∵0<a<1,∴lna<0, 由 f′(x)>0 得 lna?(ax﹣1)>0,即 ax﹣1<0,则 x>0,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得 lna?(ax﹣1)<0,即 ax﹣1>0,则 x<0,此时函数单调递减, 即当 x=0 时,函数取得最小值,f(0)=1, 当 x=1,则 f(1)=a﹣lna 当 x=﹣1,则 f(﹣1)=a﹣1+lna,

则 f(1)﹣f(﹣1)=a﹣ ﹣2lna,

设 g(a)=a﹣ ﹣2lna,

则 g′(a)=1+ ﹣ =( ﹣1)2>0, 则 g(a)在(0,1)上为增函数, 则 g(a)<g(1)=1﹣1﹣2ln1=0, 即 g(a)<0, 则 f(1)﹣f(﹣1)<0, 即 f(1)<f(﹣1), 即函数 f(x)在 x∈[﹣1,1]上的最大值为 f(﹣1)=a﹣1+lna, 若对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)≤e﹣1 恒成立, 则 f(﹣1)=a﹣1+lna≤e﹣1, 即 +lna≤e﹣1,

设 h(a)= +lna,

则 h′(a)=﹣ + =﹣(

)2+ ,

∵0<a<1,∴ >1, ∴当 h′(a)<h′(1)=0, 即 h(a)= +lna 在 0<a<1 上为减函数,

由 +lna=e﹣1 得 a= .

则 +lna≤e﹣1 等价为 h(a)≤h( ),

即 ≤a<1,

故答案为:[ ,1). 【点评】本题主要考查函数恒成立问题,求函数的导数,判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的 关键.本题的难点在于多次构造函数,多次进行进行求导,考查学生的转化和构造能力和意识.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别是 a、b、c.

(1)若 sin(A+ )=

,求 A 的值;

(2)若 cosA= ,sinB+sinC=2sinA,试判断△ ABC 的形状,并说明理由. 【考点】三角形的形状判断;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式化简已知可得 cos(A+ )=0,解得范围 0<A<π,即可解得 A 的值. (2)由正弦定理可得:b+c=2a,①由 cosA= ,A∈(0,π),解得:A= ,由正弦定理可得:sinB+sinC= ,

③由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣bc,②,由①②可解得:sin2A=sinBsinC= ,④

由③④解得:sinB=sinC=sinA= ,即 A=B=C= ,从而得解.

【解答】(本题满分为 14 分)

解:(1)∵sin(A+ )= sinA+ cosA=



∴解得:cos(A+ )=0,

∵0<A<π, <A+ < ,

∴解得:A+ = ,即 A= …7 分 (2)∵sinB+sinC=2sinA, ∴由正弦定理可得:b+c=2a,① ∵cosA= ,A∈(0,π),解得:A= ,由①可得 sinB+sinC= ,③ 由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc,② ∴由①②可解得:a2=bc,由正弦定理可得:sin2A=sinBsinC= ,④

∴由③④解得:sinB=sinC=sinA= ,即 A=B=C= , 故△ ABC 为等边三角形…14 分 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式的应用,考查了正弦函数的图象和 性质,属于基础题.

16.已知函数



(1)解不等式 f(x)>0;

(2)当 x∈[1,4]时,求 f(x)的值域. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)先根据对数的运算性质对解析式化简,再令 log2x=t 代入 f(x)>0,进而转化为关于 t 的二 次不等式,求出 t 的范围再求对应的 x 的范围; (2)由 x∈[1,4]求出 t∈[0,2],代入后进行配方,利用二次函数的性质求出 f(x)的最值即可.

【解答】解:(1)f(x)=

=(log2x﹣2)?(log2x+1)… 令 log2x=t,∴f(x)=g(t)=(t﹣2)?(t+1), 由 f(x)>0,可得(t﹣2)(t+1)>0,∴t>2 或 t<﹣1,…

∴log2x>2 或 log2x<﹣1,∴x>4 或

.…

∴不等式的解集是

.…

(2)∵x∈[1,4],∴t∈[0,2],…



,…



,…

fmax(x)=g(2)=0,…

∴f(x)的值域是

.…

【点评】本题考查了对数的运算性质,对数函数和二次函数性质的应用,以及换元法求函数的值域问题.

17.已知 a∈R,函数 f(x)=



(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a>1,函数 y=f(x)在[0,a+1]上最大值是 f(a+1),求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;导数的综合应用. 【分析】(1)由求导公式和法则求出 f′(x),求出导函数的零点,然后分 a=1,a>1 和 a<1 三种情况, 分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号,由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区 间; (2)由(1)和条件判断出 f(x)在[0,a+1]上的单调性,确定 f(x)在[0,a+1]上的最大值,由条件列 出不等式,求出实数 a 的取值范围.

【解答】解:(1)由题意得,f′(x)=x2﹣(a+1)x+a=(x﹣1)(x﹣a), 令 f′(x)=0,得 x1=1,x2=a, ①当 a=1 时,f′(x)=(x﹣1)2≥0, 所以 f(x)在(﹣∞,+∞)单调递增; ②当 a<1 时, 当 x<a 或 x>1 时,f′(x)>0,当 a<x<1 时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(﹣∞,a),(1,+∞)内单调递增,在(a,1)内单调递减; ③当 a>1 时, 当 x<1 或 x>a 时,f′(x)>0,当 1<x<a 时 f′(x)<0, 所以 f(x)在(﹣∞,1),(a,+∞)内单调递增,在(1,a)内单调递减. 综上,当 a<1 时,f(x)在(﹣∞,a),(1,+∞)内单调递增,在(a,1)内单调递减; 当 a=1 时,f(x)在(﹣∞,+∞)单调递增; 当 a>1 时,f(x)在(﹣∞,1),(a,+∞)内单调递增,在(1,a)内单调递减. (2)由(1)知,当 a>1 时, f(x)在(﹣∞,1),(a,+∞)内单调递增,在(1,a)内单调递减, 所以 f(x)在[0,1),(a,a+1]内单调递增,在(1,a)内单调递减, 则 f(x)在[0,a+1]上的最大值是 f(0)或 f(a+1), 因为 f(x)在[0,a+1]上最大值是 f(a+1),

所以

,则



化简得

,解得



所以 a 的取值范围是(1,2 ). 【点评】本题考查求导公式、法则,利用导数研究函数的单调性、最值,考查分类讨论思想,是中档题.

18.已知函数 f(x)=sin2x﹣2 asin(x+ )+2,设 t=sinx+cosx,且 x∈(﹣ , ) (1)试将函数 f(x)表示成关于 t 的函数 g(t),并写出 t 的范围; (2)若 g(t)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=0 有四个不同的实数根,求 a 的取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用;三角函数的图像与性质.

【分析】(1)利用三角函数恒等变换可得 t= sin(x+ ),且 x∈(﹣ , ),t∈(0, ],

可求 g(t)=t2﹣2at+1,t∈(0, ].

(2)由题意可得 a≤

,在 t∈(0, ]上恒成立,令 H(t)=

,可求 H′(t)=







,即可利用函数的单调性解得 a 的取值范围.

(3)方程 f(x)=0 有四个不同的解等价于 g(t)在(0, )上有两个不相等的实根,问题转化为 g(t)

=t2﹣2at+1 在(0, ]上有两个不相等的实根的条件为:

,从而解得 a 的范围.

【解答】解:(1)∵t=sinx+cosx= sin(x+ ),且 x∈(﹣ , ),

∴x+ ∈(0,π),

∴t= sin(x+ )∈(0, ],

∴sin2x=2sinxcosx=(sinx+cosx)2﹣(sin2x+cos2x)=t2﹣1,

∴g(t)=sin2x﹣2 asin(x+ )+2

=t2﹣1﹣2at+2 =t2﹣2at+1,t∈(0, ]. (2)∵g(t)=t2﹣2at+1≥0 恒成立,t∈(0, ],

∴a≤

,在 t∈(0, ]上恒成立.

令 H(t)=

,则 H′(t)=

,由





可得 H(t)在(0,1]单调递减,在[1, ]上单调递增, 所以 H(t)min=H(1)=1, 所以:a≤H(t)min=H(1)=1 时,在 t∈(0, ]上 g(t)≥0 恒成立. (3)方程 f(x)=0 有四个不同的解等价于 g(t)在(0, )上有两个不相等的实根,

问题转化为 g(t)=t2﹣2at+1 在(0, ]上有两个不相等的实根的条件为:



解得:

,可得:1<a< .

故若方程 f(x)=0 有四个不同的实数根,a∈(1, ). 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了导数的概念及应用,根的存在性及根的个数判 断,综合性强,属于中档题.
19.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为 2m 的扇 形 AOB 和三角区域 BCO 构成,其中 C,O,A 在一条直线上,∠ACB= ,记该设施平面图的面积为 S (x)m2,∠AOB=xrad,其中 <x<π. (1)写出 S(x)关于 x 的函数关系式; (2)如何设计∠AOB,使得 S(x)有最大值?

【考点】弧度制的应用. 【专题】函数思想;三角函数的图像与性质. 【分析】(1)首先,求解三角形和扇形的面积,然后,求和即可得到相应的解析式; (2)根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可. 【解答】解:(1)∵扇形 AOB 的半径为 2m,∠AOB=xrad, ∴S 扇形= x?22=2x, 过点 B 作边 AC 的垂线,垂足为 D,如图所示:

则∠BOD=π﹣x, ∴BD=2sin(π﹣x)=2sinx,OD=2cos(π﹣x)=﹣2cosx,

∵∠ACB= , ∴CD=BD=2sinx, ∴S△ BOC= CO?BD= (2sinx﹣2cosx)×2sinx=2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x, ∴S(x)=1﹣cos2x﹣sin2x+2x, (2)根据(1),得到 S(x)=1﹣cos2x﹣sin2x+2x, ∴S′(x)=2sin2x﹣2cos2x+2, 令 S′(x)=0, ∴2 sin(2x﹣ )=﹣2,
∴sin(2x﹣ )=﹣ ,
∴2x﹣ = ,
∴x= ,
根据实际意义知,当 x= 时,该函数取得最大值,
故设计∠AOB= 时,此时 S(x)有最大值. 【点评】本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.
20.记函数 f(x)=ex 的图象为 C,函数 g(x)=kx﹣k 的图象记为 l. (1)若直线 l 是曲线 C 的一条切线,求实数 k 的值. (2)当 x∈(1,3)时,图象 C 恒在 l 上方,求实数 k 的取值范围. (3)若图象 C 与 l 有两个不同的交点 A、B,其横坐标分别是 x1、x2,设 x1<x2,求证:x1x2<x1+x2. 【考点】函数的图象. 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)先设出切点坐标 P(x0,ex0),再利用导数的几何意义写出过 P 的切线方程,最后将(1, 0)代入即可得 P 点坐标,从而得到直线的斜率 k; (2)令 h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣k(x﹣1),确定 x=lnk 时,函数 h(x)取得最小值 k﹣k(lnk﹣1), 利用当 x∈(1,3)时,图象 C 恒在 l 上方,可得 k﹣k(lnk﹣1)>0,即可求实数 k 的取值范围. (3)证明(x1﹣1)(x2﹣1)<1,即可得出结论 【解答】(1)解:曲线 y=ex 的导数为 y′=ex,设切点为 P(x0,ex0),则过 P 的切线方程为 y﹣ex0=ex0(x ﹣x0)

代入(1,0)点得 x0=2,∴P(2,e2), 代入 g(x)=kx﹣k,可得 k=e2; (2)解:令 h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣k(x﹣1), ∴h′(x)=ex﹣k, ∴x∈(1,lnk)时,h′(x)<0,x∈(lnk,3)时,h′(x)>0, ∴x=lnk 时,函数 h(x)取得最小值 k﹣k(lnk﹣1), ∵当 x∈(1,3)时,图象 C 恒在 l 上方, ∴k﹣k(lnk﹣1)>0, ∴e<k<e2;

(3)证明:由题意, =kx1﹣k, =kx2﹣k



=k2(x1﹣1)(x2﹣1)<k2,

∴(x1﹣1)(x2﹣1)<1, ∴x1x2<x1+x2. 【点评】本题考察了导数的几何意义,解题时要注意发现隐含条件,辨别切线的类型,分别采用不同策略

解决问题.


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