2008年吉林省高中数学竞赛试题与答案

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2008 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛 暨 2008 年吉林省高中数学竞赛试题
(2008 年 5 月 25 日星期日上午 8:30—11:00 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.为了得到函数 y = sin(2 x ? (A)向右平移 (C)向左平移 满分 190 分)

π
6

) 的图象,可以将函数 y = cos 2 x 的图象(
(B)向右平移 (D)向左平移



π
6

个单位长度 个单位长度

π
3

个单位长度 个单位长度

π
6

π
3

2.2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、 妮妮,现有两套不同大小的福娃(共 10 个福娃) 从两套福娃中任意选出 5 个福娃,恰好缺一个 . 组成完整“奥运会吉祥物”的选法有( ) (A)160 种 (B)320 种 (C)32 种 (D)120 种 3 . 已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 , 动 点 P 满 足

1? 1 1 ? OP = ? OA + OB + 2OC ? ,则点 P 一定为三角形 ABC 的( 3? 2 2 ?
(A) AB 边中线的中点 (C) 重心



(B)AB 边中线的三等分点(非重心) (D)AB 边的中点 )

4.若存在钝角 α ,使得 sin α ? 3 cos α = log 2 ( x 2 ? x + 2) 成立,则实数 x 的取值范围是( (A) {x ?1 ≤ x < 0或1 < x ≤ 2} (C) {x 0 ≤ x < 1} (B) {x ?1 < x < 0或1 < x < 2} (D) {x ?1 < x < 2}

5 . 对 于 集 合 M 、 N , 定 义 M ? N = { x | x ∈ M , 且x ? N } , M ⊕ N = ( M ? N ) ∪ ( N ? M ) , 设

A = { y | y = x 2 ? 3x, x ∈ R}, B = { y | y = ?2 x , x ∈ R} ,则 A ⊕ B = (
(A) (? ,0]

) (D) (?∞, ? ) ∪ (0, +∞)

9 4

(B) [ ? ,0)

9 4

(C) (?∞, ? ) ∪ [0, +∞)
n ?1

9 4

9 4

6.已知数列 {an } 的通项 an = ? ? (A)最大项为 a1 , 最小项为 a4

? 2? ? 3?

?? 2 ? n ?1 ? ?? ? ? 1? , 则下列表述正确的是( ?? 3 ? ? ? ?



(B)最大项为 a1 , 最小项不存在 (D)最大项为 a1 , 最小项为 a3

(C)最大项不存在,最小项为 a3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

7 . 已 知 多 项 式 (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) +
2 3

+ (1 + x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 +
n

+ bn x n , 且 满 足

b1 + b2 +

+ bn = 26 ,则正整数 n 的一个可能值为



8. 已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行,橙子奥数工 作室欢迎您,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁的爬行路线是 AA1 → A1 D1 → ?? ?? ?? ,黑蚂蚁 的爬行路线是 AB → BB1 → ? ?? ?? ? ,它们都依照如下规则:所爬行的第 n + 2 段与第 n 段所在直线必 须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完 2008 段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂 ; 蚁的距离是 (1) f ( x) 是偶函数; (2)对于任意的 x ∈ R 都有 9.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,满足: f ( x + 4) = f ( x) ,且 x ∈ [0, 2] 时, f ( x) = x + 2 . 则直线 y = 4 与函数 f ( x) 的图象交点中最近的 两点之间的距离为 ;

10.有六根细木棒,其中较长的两根分别为 3a 、 2a ,其余四根均为 a,用它们搭成三棱锥, 则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 ;

11.设 f ( x ) = x 2 + ax , { x f ( x) = 0, x ∈ R} = { x f ( f ( x)) = 0, x ∈ R} ≠ ? ,则满足条件的所有实数 a 的取值范围为 ;

则记 [ A1 , A2 ] 是 A 的一组双子集拆分. 规定:[ A1 , A2 ] 和 [ A2 , A1 ] 12. 若集合 A1 , A2 满足 A1 ∪ A2 = A , 是 A 的同一组双子集拆分.已知集合 A = {1, 2,3} ,那么 A 的不同双子集拆分共有 三、解答题(本题共 5 道大题,每题 20 分,满分 100 分) 13.如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作: 先在地平面 α 内作菱形 ABCD,边长为 1,∠BAD = 60°, 再在 α 的上方,分别以△ ABD 与△ CBD 为底面安装上相 同的正棱锥 P-ABD 与 Q-CBD,∠APB = 90°. A (Ⅰ)求二面角 P-BD-Q 的余弦值; (Ⅱ)求点 P 到平面 QBD 的距离. 组.

P

Q

D C B

14.已知长度为 6 的线段 CD 的中点为 M ,现以 CD 为一边在同一侧作两个周长均为 16 的 ?ACD, ?BCD ,且满足 ∠AMB = 90° ,求 ?AMB 的面积的最小值. ,已知不等式 | f ( x) | ≤ | 2 x 2 + 4 x ? 30 | 对任意实 15.设函数 f ( x) = x 2 + ax + b (其中 a,b 为实常数) 数 x 均成立,定义数列 {an } 和 {bn } 为: a1 = ( n = 1,2,3,

1 , 2an = f (an ?1 ) + 15 ( n = 2,3, 4 2

) bn = ,

1 2 + an

) ,数列 {bn } 的前 n 项的和记为 S n ,其前 n 项的乘积记为 Tn .

(1)求证: a = 2 ,且 b = ?15 ; (2)证明:对任意正整数 n , 2n +1Tn + Sn 为定值. 16.在四维空间中,定义点 A( a1 , a2 , a3 , a4 ) 与点 B (b1 , b2 , b3 , b4 ) 之间的距离为 AB =

∑ (a
i =1

4

i

? bi )2 ,

考 察 点 集 I = {P (c1 , c2 , c3 , c4 ) | ci = 0或1, i = 1, 2,3, 4} , 如 果 对 I 的 任 意 一 个 n 元 子 集

Q = {P , P2 , 1
最小值.

都能找到 Pi , Pj , Pk ∈ Q , 使得 ?PPj Pk 为正三角形, PPj = Pj Pk = Pk Pi , n 的 即 i 求 , Pn } , i

17.已知正数 a, b, c 满足: 2a + 4b + 7c ≤ 2abc ,求 a + b + c 的最小值.

参考答案: 一、BABACD 二、7.4 8. 2 三、13.(2) cosα = 14. 9.4 10.

6 3

11. {a | 0 ≤ a < 4}

12.14

1 3

(3)

2 3

400 41

15.为定值 2 16. n 的最小值为 9 17.当 a = 3, b = , c = 2 时, a + b + c 取最小值为

5 2

15 2


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