《高数》定积分_图文

第五章 定积分 教学目的要求: 1、了解变上限定积分的性质,定积分 的几何意义;了解广义积分及其解法。 2、理解定积分的概念及其性质。 3、熟练掌握牛顿 — 莱布尼茨公式;掌 握定积分的换元法和分部积分法。 学习重点和难点
重点 难点 牛顿 — 莱布尼茨公式、定积分的计算 变上限定积分,定积分的换元法

求曲边梯形的面积
由连续曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a、x ? b及

x 轴围的图形,

y

称为曲边梯形。
y ? f (x )

具体做法 如下:

a ? x0

xi ?1

? i xi

xn ? b

x

y

y ? f (x )

a ? x0

xi ?1

? i xi

xn ? b

x

(1)、 分割

在 [a,b] 中任意取 n ? 1 个分点

a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ?1 ? xn ? b,把区间 [a,b] 分成 n 个小区间[ xi ?1,xi ],每个小区间的长度 记为?x ? xi ? xi ?1 (i ? 1, ?,n). 2,

y

y ? f (x )

a ? x0

(2)、近似

x 在每个小区间[ xi ?1,i ]上任取 x
xi ?1
xn ? b

? i xi

一点 ? i,则小曲边梯形的面积 ?Ai 可用以 f (? i ) 为高,以 ?xi 为底的小矩形的面积 f (? i ) ?xi 来近似代替,即 ?Ai ? f (? i )?xi (i ? 1, ?,n) 2,

(3)、 求和
n

把 n 个小矩形的面积加起来 ,
n

便得曲边梯形面积A 的近似值,即 A ? ? ?Ai ? ? f (?i )?xi
i ?1 i ?1

(4)、 取极限 为了保证分割是无限细 密
1?i ? n

的,记小区间长度的最 大值为? ? max??xi ? , 当? ? 0时,和式 A ? lim
? ?0

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

定义 设函数 y ? f ( x)在[a,b]上有定义,在 a,b] [ 得到 n 个小区间 [ xi ?1,xi ],其长度记为 ?xi ? xi ? xi ?1
1?i ? n

中任意取n ? 1个分点,a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xn ?1 ? xn ? b, (i ? 1,, ,n),记 ? ? max??xi ? 2? ,任取 ? i ? [ xi ?1,xi ],
n

作和式? f (? i )?xi,如果lim
i ?1

? ?0

? f (? )?x 存在,则称
i ?1 i i

n

此极限值为函数 f ( x) 在[a,b] 上的定积分,记为

?

b

a

f ( x)dx ? lim
? ?0

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

其中:f ( x)称为被积函数, ( x)dx称为被积表达式, 称为积 f x

分变量,,b]称为积分区间, ,b称为积分下限和积分上 [a a 限。

几点说明: 1、若lim
? ?0

? f (? )?x 存在,则称 f ( x) 在
i ?1 i i

n

[a,b]上可积,否则,称 f ( x)在[a,b]不可积。
f ( x) 在[a,b]上可积的两个充分条件 : 1)、设 f ( x)在区间 a,b]上连续,则 f ( x) 在 [ [a,b] 上可积。 限个间断点,则 f ( x) 在 [a,b] 上可积。

2)、设 f ( x) 在区间[a,b] 上有界,且只有有

2、 定积分是一种特定的和 式极限,它的 而与积分变量用什么字 母表示无关,即

值仅与被积函数 f ( x) 及积分区间[a,b] 有关,

?

b

a

f ( x)dx ? ? f (t )dt ? ? f (u )du
a a

b

b

3、定义中假定了a ? b,当a ? b时,规定

?

b

a

f ( x)dx ? ?? f ( x)dx
b

a

4、当 a ? b 时,规定

?

b

a

f ( x)dx ? 0

定积分的几何意义
的几何意义如下:
b a

对于区间[a,b] 上的连续函数 f ( x),其定积分

1)、 f ( x) ? 0时,定积分? f ( x)dx 表示由曲线 当 的面积。

y ? f ( x)与直线x ? a,x ? b及x轴所围成的曲边梯形

2)、 f ( x) ? 0时,定积分 当

y

a

b

?

b

a

f ( x)dx 表示由曲线 y ? f ( x)
y ? f ( x)

x

与直线x ? a,x ? b及 x 轴所围 成的曲边梯形的面积的 负值。

y
? A1
? A3

a

? A2

b

x

3)、 f ( x) 既取正值又取负值时, 当 定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示由曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a,

x ? b及 x 轴所围成平面图形面积 的代数和,即

?

b

a

f ( x)dx ? A1 ? A2 ? A3

由定积分的几何意义知:
y
y ? 1? x2

?
?1

1

?1

π 1 ? x dx ? 2
2

1

x

y

y?x

1 xdx ? ?0 2
1

0

1

x

定积分的性质

假定函数 f ( x)、g ( x)在 [a,b] 上都是可积的 . 性质1 被积函数中的常数因子 (k为常数), k
可提到积分号外,

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx

性质 2 两个函数代数和的定积 分等于它们 定积分的代数和,

?

b

a

[ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

b

b

这一结论可以推广到有 限个代数和的情形。

性质3 (积分区间的可加性) 设c ? [a,b],则

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c

c

b

性质4 在区间 a,b]上,若f ( x) ? g ( x),则 [

?

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a

b

性质5 若f ( x) ? 1,则? f ( x)dx ? b ? a
a

b

性质6 设 M和m分别是函数 f ( x)在[a,b] 上的最大值和最小值, 则 m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a)
a b

又称为定积分的估值定 理

性质(积分中值定理) 7

设函数 f ( x)在[a,b]上连续,则在

(a,b)内至少存在一点 ,使得 ?

?

b

a

f ( x)dx ? f (? )(b ? a )

例题1 利用定积分的性质,比较下列积分大小

1)
2

? x dx 与 ? x dx
2 3 0 0
2 3 2 3

1

1

解:在区间[0, 内,x ? x ? x (1 ? x) ? 0, 1] 即x ? x ?

? x dx ? ? x dx
2 3 0 0

1

1

2)

?

4

3

ln xdx 与 ?(lnx) dx
2 3
2

4

解:在区间[3, 内, ? ln x ? 0,则 4] 1 ln x ? (ln x) ? ln x(1 ? ln x) ? 0 ? ? ln x dx ? ? (ln x) dx
2 3 3 4 4

例题2

1)

?

π 5 π 2 解:在区间 , ]上,函数 f ( x) ? 1 ? sin x [ 4 4 之最大值和最小值分别 为 π 2 M ? f ( ) 1 ? 1 ? 2, m ? f ( ) ? 1 ? π 2 5 π π 积分区间 b ? a ? ? ?π 4 4 ? π ? ? (1 ? sin x)dx ? 2 π
2 5 π 4 π 4

5 π 4 π 4

估计下列各积分的值
2

(1? sin x)dx

2)
最小值为

?

2

0

e

x2 ? x

dx
,在区间[0, 上最大值与 2]
2

解 : 设 f ( x) ? e 又 f ?( x) ? e

x2 ? x

f (0) ? 1, f (2) ? e
x2 ? x

1 (2 x ? 1),令 f ?( x) ? 0,得x ? 时, 2
1 1 ( )2 ? 2 2

f ( x)取得最小值 m ? e ? 2e
? 1 4

?e , 最大值 M ? e
2

?

1 4

2

?? e
0

2

x2 ? x

dx ? 2e

变上限积分函数
定义 设函数 f ( x)在 [a,b] 上连续,则对 任一 x ? [a,b], ( x) 在 [a,x] 上必可积,即定 f
x a

积分 ? f ( x)dx 存在,且随上限x 的变化而变化, 因此 ? f ( x)dx是一个关于上限x 的函数,称为
a x

变上限积分函数,记为 ( x) ? ?

?

x

a

f ( x)dx ,

x ? [a,b],为避免混淆,把积分 变量改为t , 则有 ?( x) ?

?

x

a

f (t )dt,x ? [a,b]

定理 如果函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 则变上限积分函数?( x) ? ? f (t )dt 在[a,b]
a x

可导,且??( x) ? f ( x)
证明:见pag.102

由定理可知,如果函数f ( x) 在 [a,b] 上
x a

连续,则?( x) ? ? f (t )dt 就是 f ( x) 的一个原 函数,因此? f ( x)dx ? ? f (t )dt ? C
a x

例题
1)

求下列函数的导数
F ( x) ?

?

b

x

1 ? t dt
2

d b 2 解: 1 ? t dt ?x dx d x 2 ? ? ? 1 ? t dt dx b ? ? 1? x
2

2) F ( x) ? ?

x2

0

1 dt 3 1? t
2

解 : 设 x ? u,则 dF du d u 1 ? ? dt ? 2 x ?0 1 ? t 3 du dx du 1 ? ? 2x 3 1? u 2x ? 6 1? x

3) F ( x) ? ? cost dt
2 x

x2

解: F ( x) ? ? cost dt ?
2 x

x2

? ? cost dt ? ? cost dt
2 2 x a

a

x2

? ? ? cost dt ? ? cost dt
2 2 a a

x

x2

dF d x 2 d x 2 2 ? ? ? cost dt ? ? cost dt dx dx a dx a 4 2 ? cosx ? 2 x ? cos x ? 2 x cos x ? cos x
4 2

例题 求极限 lim
x ?0

?

x

0

ln(1 ? t )dt x
2

解:x ? 0时, ln(1 ? t )dt ? 0,此时极限 ?
0

x

0 为“ ”型不定式,利用洛必 达法则,有 0 x x

lim
x ?0

?

0

ln(1 ? t )dt x
2

?

lim
x ?0

( ? ln(1 ? t ) dt)?
0

( x )?
2

?

lim
x ?0

ln(1 ? x) 0 ( ) ? lim 2x 0 x ?0

1 1? x ? 1 2 2

牛顿 — 莱布尼茨(Newton — Leibniz)公式

定理 设函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续, ( x) F 是 f ( x)的一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证明:见 pag.103 为了方便起见,公式常 写为
b

?

a

b f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a) a

例题
a 2 0

求下列定积分
2 ?1 1?1 a

1) ?(3x ? x ? 1)dx
a 2

? x ? x 解:?(3x ? x ? 1)dx ? ?3 ? ? ? x? 0 ? 2 ?1 1?1 ?0 1 2 3 ?a ? a ?a 1 2 dx 2) ? 2 0 4? x
x? 1 π ? 解: ?0 4 ? x 2 ? ?arcsin 2 ? 0 ? arcsin 2 ? arcsin0 ? 6 ? ?
1

dx

1

3)

?

1

?1

x dx

?? x, ? 1 ? x ? 0 解: x ? ? ? ? x, 0 ? x ? 1

? ? x dx ? ? (? x)dx ? ? xdx
?1 ?1
0 ?1

1

0

1

0

x ?? 2

2

x ? 2

2

1

1 1 ? ? ?1 0 2 2

4)

?

2 π

y

0

sinx dx

π
0
2 π

x

0 ? x ?π ? sin x 解: sinx ? ? ? π ?? sin x π ? x ? 2

?

?

2 π

0

sin x dx ? ? sin xdx ? ?
0
π

π

2 π

π

(? sin x) dx


? ? cos x 0 ? cos x π

? ?[cos ? cos0] ? cos 2 ? cos π π π ? ??? 1 ? 1? ? 1 ? (?1) ? 4

1 5) ? dx ?2 x
1 解: 在基本积分公式中,当x ? 0时, 的 x 原函数是ln x (见pag.79),现在积分区间是

?1

[?2, 1],所以按牛顿— 莱布尼茨公式,有 ?

?

?1

?2

dx ?1 ? ?ln x ?? 2 ? ln 1 ? ln 2 x ? ? ln 2

?x ?1 ?1 6) 设 f ( x) ? ? 2 x ?2 ?
2 1 0 0

当 x ? 1时, 2 求? f ( x)dx 当x ? 1时, 0
2

解: f ( x)dx ? ? ( x ? 1)dx ? ? ?
1 x 1 1 3 ? ( ? x) 0 ? ? x 2 2 3

1

1 2 x dx 2

2

2 1

1 1 8 ? ? 1 ? [8 ? 1] ? 2 6 3

注 意

在使用牛顿 — 莱布尼茨公式求定 积分时,被积函数必须连续的,否则会 引出错误的结论,见教材pag.104.

定积分的换元积分法(换元必换限) 4 dx 例题 1 ? 1 1? x
解: x ? t ,dx ? 2tdt,x ? 1,t ? 1;x ? 4,t ? 2 设
2

?

4

1

2 2t 2 t ?1?1 dx ?? dt ? 2? dt 1 1? t 1 1? t 1? x 2 dt ? ? 2 2 ? 2? ? dt ? ? ? 2?t ? ln(1 ? t )?1 1 1 1? t ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ln 3

例题 2

?

a

0

a ? x dx (a ? 0)
2 2

解 : 设 x ? a sin ,dx ? a costdt; π x ? 0,t ? 0;x ? a,t ? 2

?

a

0

a ? x dx ? a
2 2

π 2 2 0

?

a cos tdt ? 2
2 π 2

2

?

π 2 0

(1 ? cos 2t )dt
2

a ? 2

2

a ?π 1 ? ? 1 ? ?t ? 2 sin 2t ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 0? ? ?0 ? ?
2

πa ? 4

例题 3

?

3

dx x
2

1

1? x

2

?

1

解:设 x ? tant,dx ? sec tdt; π π x ? 3,t ? ;x ? 1,t ? 3 4 π π 2 3 dx sec tdt cost ? ?3 2 ? ? 3 2 dt π π 2 2 x 1? x 4 tan t sec t 4 sin t
2

??

π 3 π 4

d (sin t ) 1 ?? 2 sin t sin t

π 3 π 4

2 ? 2? 3 3

设 f ( x)在[?a,a]上连续(a ? 0),求证: 1 若 f ( x)为偶函数,则 f ( x)dx ? 2? f ( x)dx ) ?
?a a 0 a a

2) 若 f ( x)为奇函数,则 f ( x)dx ? 0 ?
?a

证明:见pag.106. 例题5.8

例如:

?

1

?1

x cos xdx ? 0
3

定积分的分部积分法

定理 设函数u ( x)、v( x)在[a,b]上有 连续导数,则有

?
方 法

b

a

udv ? uv a ? ? vdu
b

b

a

幂三(指)选幂

幂反(对)选反(对)

三角指数可任选

dv容易凑 du可化简
出现循环移项解

x ln xdx ?1 2 dx x 解: ? ln x,du ? ;dv ? xdx,v ? u x 2 例题1

e

?

e

1

e x 1 e x ln xdx ? ln x 1 ? ? xdx 2 2 1 2 2 e x 1 x e ? ln x 1 ? ? 1 2 2 2 1 2 ? (e ? 1) 4

2

例题 2
π 2 0

?
x

π 2 0

e sin xdx
x
π 2 0

x

解 : u ? e ,du ? e dx;dv ? sin xdx,v ? ? cos x

?

e sin xdx ? ?e cos x
x x

?
π 2

?

π 2 0

e cos xdx e sin xdx
x

x

? ?e cos x
x

π 2 0

? e sinx 0 ?
x π 2

?

π 2 0

?

?

π 2 0

1 e sin xdx ? (e ? 1 ) 2
x

例题3

?

1

0

e dx
2

x

解: 设 x ? u 则 x ? u ,dx ? 2udu, 当 x ? 0,u ? 0;x ? 1,u ? 1,于是

?

1

0

e dx ? 2? e ? udu ? 2? ude
x u 0 0 u
1 0

1

1

u

? 2ue

? 2? e du ? 2ue
u 0

1

u

1

?2e 0

u

1 0

? 2e ? (2e ? 2) ? 2

例题4
1

?

x e dx

5 x3

1 1 3 x3 解:? x e dx ? ? x d (e ) u ? x 3 0 3 0 2
5 x3

du ? 3x dx

1 1 ? 3 x3 1 x3 2 x3 ? dv ? d (e ) ? x e 0 ? 3? x e dx ? 0 ? ? 3? x3 v?e 1 3 1 3 1? 3 x x 3 ? ? x e 0 ? ? e d (x ) ? 0 ? ? 3? 3 1 1 3 x3 1 x ? x e ?e 0 ? 3 3

?

?

广义积分
在一些实际问题中,常会遇 到积分区间为无穷区间或者被积 函数是无界函数的积分。这两种 情况下对应的积分称为广义积分。 本节重点介绍广义积分的概念和 计算方法。

无穷区间上的广义积分

1 引例 求曲线y ? 2 ,x轴以及x ? 1轴右侧所围成的 x y 1 “开口曲边梯形”的面 积。 y?
x2

解:积分区间[1,?] 为无穷

具。 x 区间,借助极限这一工 b 1 任取 b ? 1,在区间[1 b],有 , b 1 1 b 1 1 ?1 x 2 dx ? ? x 1 ? ?( b ? 1) ? 1 ? b ? b ? ?,故所求“开口曲边梯 形”的面积为 ? 1 1 S ? ? 2 dx ? lim (1 ? ) ? 1 1 x b b ??
0

定义 设 f ( x)在[a, ?)上连续,取b ? a,如 ? 果 lim
b ? ??

?

b

a

f ( x)dx存在,则称该极限值为f ( x)在
??

[a, ?)的广义积分,记为 ? ?

a

f ( x)dx ,即

lim ?
b ? ??

b

a

f ( x)dx ? lim
?? a

b ? ??

?

b

a

f ( x)dx

此时也称广义积分?

f ( x)dx 收敛。如果极限
?? a

lim ?
b ? ??

b

a

f ( x)dx不存在,则称广义积分?

f ( x)dx

发散。

类似地,可定义 f ( x) 在(??,b]上的广义积分为

? ?

c ?? ?? ??

b

??

f ( x)dx ? lim
??

a ? ??

?

b

a

f ( x)dx.

f ( x) 在(??, ?) ? 上的广义积分为 f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ?
?? c c

f ( x)dx (C为任意常数) f ( x)dx ? lim
b ? ?? ??

?

??

??

f ( x)dx ? lim
?? c

a ? ??

?

c

a

?

b

c

f ( x)dx.

当? f ( x)dx与?
?? ??

f ( x)dx 都收敛时, f ( x)dx 收 ?
??

敛,否则? f ( x)dx是发散的。

上述三类统称为无穷区间上的广义积分,也称为无穷积分。

例题1

?

??

e

dx 2 x(ln x)

解:?

??

e

dx ? lim 2 x(ln x) b ? ?? ? lim ? lim
b ? ??

?

b

e

d (ln x) 2 (ln x)
b

b ? ??

? 1 ? ? ? ln x ? ? ?e ? 1 ? ? 1? ? 1 ?? ? ln b ?

例题2
解:?
?? 0

?

??

0
? x2

xe dx
b 1 ? x2 2 dx ? ? lim ? e d (? x ) 2 b??? 0 b 1 ? x2 ? ? lim e 0 2 b??? 1 ?b 2 ? ? lim e ? 1 2 b??? 1 ? 2

? x2

xe

? ? ? ?

dx 例题3 ? ?? 1 ? x 2
??

??

y
y?

1 1? x2

0 ?? dx dx dx 解:? ?? ?? 2 2 ?? 1 ? x ?? 1 ? x 0 1? x2 0 b dx dx ? lim ? ? lim ? 2 a 1? x 0 1? x2 a ? ?? b ? ?? 0 a

a

0

b

x

? lim ?arct anx ? ? lim ?arct anx ?
a ? ?? b ? ?? a ? ?? b ? ??

b 0

? 0 ? lim arct ana ? lim arct anb ? 0 π π ? ?(? ) ?π ? 2 2

无界函数的广义积分
定义 设函数 f ( x) 在(a,b]上连续,且

lim
x?a ?

f ( x) ? ?,即x ? a为无穷间断点 又称瑕点) ( .

取? ? 0,若极限 lim
? ?0 ?

?

b

a ??

f ( x)dx存在,则称极限

值为函数 f ( x)在 (a,b] 上的广义积分,记为

?

b

a

f ( x)dx ,即

?

b

a

f ( x)dx ? lim
? ?0 ?
b a

?

b

a ??

f ( x)dx

此时亦称广义积分 f ( x)dx 收敛。如果极限 ? 不存在,则称广义积分 f ( x)dx发散。 ?
a b

类似地,若x ? b为瑕点,即lim f ( x) ? ?时,
x ?b ?

f ( x)在[a,b)上的广义积分为

? ?
b c a a

b

a

f ( x)dx ? lim
? ?0 ?
b

?

b ??

a

f ( x)dx

若无穷间断点x ? c在[a,b]内部,则广义积分 f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ,即
c

?

b

a

f ( x)dx ? lim
c a

?1 ?0 ?

?

c ?? 1

a

f ( x)dx ? lim
b c

? 2 ?0 ?

?

b

c ?? 2

f ( x)dx.

若广义积分? f ( x)dx 与 ? f ( x)dx 中有一个发散, 则积分? f ( x)dx发散 。
a b

例题1

?

2a

dx ( x ? a) 1
3 2

a

解:? lim
x?a

( x ? a)

3 2

? ?? ? x ? a为被积函数

的无穷间断点,于是 2a 2a d ( x ? a) dx ? lim ? 3 3 ?a a ?? ? ? ?0 2 ( x ? a) ( x ? a) 2 ? lim
? ?0 ?

? ?2 ? ? ?2 2 ? ? ? ? ?? 发散 ? ? ? lim ? ?? ? x ? a ? a ?? ? ?0 ? ? a

2a

例题2

?

a

dx a ?x
2 2

0

(a ? 0)
2

a ?x 函数的无穷间断点,于 是 a a ?? dx dx ?0 a 2 ? x 2 ? lim? ?0 a 2 ? x 2 ? ?0
x?a 2

解:? lim

1

? ?? ? x ? a为被积

? lim
? ?0 ?

x? ? ?arcsin a ? ? ?0

a ??

a ?? ? ? ? lim ?arcsin ? 0? a ? ? ?0 ? ? π ? arcsin1 ? 2


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