全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5对数函数课件理_图文

第五节
对数函数

【知识梳理】 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记 作_______. x=logaN 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1=__;②logaa=__. 0 1

(2)对数恒等式

=__.(其中a>0且a≠1) N a (3)对数的换底公式
loga N

logbN=_____(a,b 均大于零且不等于1,N>0). log N
a

log a b

(4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么

①loga(MN)=___________; logaM+logaN ②loga =___________; M log M-log N a a n=______(n∈R). ③logaM N
nlogaM

3.对数函数的定义、图象与性质
定义 y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数 函数___________________ a>1 图象 0<a<1

(0,+∞) 定义域:________
值域:__________ (-∞,+∞) 当x=1时,y=0,即过定点______ (1,0) 性质 当0<x<1时,y<0; 当0<x<1时,y>0; 当x>1时,____ 当x>1时,____ y>0 _______ 在(0,+∞)上为 y<0 _______ 在(0,+∞)上为 增函数 减函数

4.反函数

指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数_______(a>0且 y=logax
a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线____对称. y=x

【特别提醒】 1.换底公式的两个重要结论

1 ①log a b ? ; log b a n ②loga>0, b ? log a b. 其中 且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R. am m
n

2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐

标为相应的底数.

故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数

逐渐增大.

【小题快练】
链接教材 练一练 )

1.(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)=( A. B. C.2 D.4

1 4

1 2

【解析】选D.方法一:原式= lg 9 ?lg 4 ? 2lg 3?2lg 2 ? 4. lg 2 lg 3 lg 2?lg 3 方法二:原式= log 2 4 2log 2 3? ? 2 ? 2 ? 4. log 2 3

2.(必修1P68 T3(2)改编)

lg 2 ? lg 50

的值是_______.

【解析】 lg 2 ? lg 50 ? lg 100 ? lg 10 ? 1. 答案:1

感悟考题

试一试

3.(2015·浙江高考)若a=log43,则2a+2-a=_______. 【解析】因为a=log43,所以4a=3?2a= ,所以2a+2-a

3

1 4 3 ? ? 3. 答案: 3 3 4 3 3

4.(2016·惠州模拟)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx, c=ln3x,则a,b,c的大小关系为________.

【解析】因为x∈( 1 , 1), e 所以a=lnx∈(-1,0),b=2lnx=lnx2. 又y=lnx是增函数,x2<x,所以b<a. 因为c-a=ln3x-lnx=lnx(ln2x-1)>0, 所以c>a,所以b<a<c. 答案:b<a<c

5.(2015·上海高考)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2

的解为________________.

【解析】依题意log2(9x-1-5)=log2(4·3x-1-8), 所以9x-1-5=4·3x-1-8, 令3x-1=t(t>0),所以t2-4t+3=0,解得t=1或t=3,

当t=1时,3x-1=1,所以x=1,而91-1-5<0,所以x=1不合题意,
舍去;

当t=3时,3x-1=3,所以x=2,92-1-5=4>0,32-1-2=1>0,所以

x=2满足条件,
所以x=2是原方程的解. 答案:2

考向一

对数的运算

【典例1】(1)(2016·保定模拟)设2a=5b=m,且 1 1 =2, ? a b 则m=________.

(2)计算下列各式:
①lg14-2lg 7 +lg7-lg18; 3 ② lg 27 ? lg 8 ? 3lg 10 ; 2 ③(lg5) +lg2·lg50; lg 1.2 ④(log32+log92)·(log43+log83).

【解题导引】(1)将2a=5b=m转化为对数函数形式,代入

1 1 =2中利用换底公式求解. ? a b (2)利用logaM+logaN=loga(MN),logaM-logaN=loga
以及对数运算性质

m log a n N ? log a N n
m

M 及换底公式求解 N.

,

【规范解答】(1)因为2a=5b=m,
所以a=log2m,b=log5m,

所以

1 1 1 1 ? ? ? a b log m2=10,m= . 2 m log 5 m
答案:

=logm2+logm5=logm10=2,所以

10

2×2) (2)①原式 =lg(2 × 7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(3 10

=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.

【一题多解】解答本题,你知道几种解法?

解答本题,还有以下解法:
原式=lg14-lg(

7 3

)2+lg7-lg18

14 ? 7 ? lg ? lg 1 ? 0. 7 2 ( ) ?18 3

3 lg(3 ) ? lg 2 ? 3lg 10 ②原式= 3 ? 22 lg 10 3 3 3 lg 3 ? 3lg 2 ? lg 10 (lg 3 ? 2lg 2 ? 1) 3 2 2 2 ? ? ? . lg 3 ? 2lg 2 ? 1 lg 3 ? 2lg 2 ? 1 2

1 3 2

1 2

③原式=(lg5)2+lg2·(lg2+2lg5)
=(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.

④原式= ( lg 2 ? lg 2 )?( lg 3 ? lg 3 ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8

lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 3lg 2 5lg 3 5 ?( ? )?( ? )? ? ? . lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 2lg 3 6lg 2 4

【规律方法】对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成 分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运 算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算, 然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、

商、幂的运算.

【变式训练】1.(2016·大连模拟)计算: =________. 1 (log 2 5)2 ? 4log 2 5 ? 4 ? log 2 5 -1=log 5-2-log 5=-2. 【解析】原式=|log25-2|+log 5 2 2 2 答案:-2

2.(2016·襄阳模拟)若正数a,b满足3+log2a= 2+log3b=log6(a+b),则 1 1 的值为________. ? a ba=2+log b=log (a+b)=k, 【解析】根据题意设3+log
2 3 6

所以有a=2k-3,b=3k-2,a+b=6k,

1 1 a?b 6k ? :72 ? ? k?3 k?2 ? 72. 答案 a b ab 2 ?3

【加固训练】
1.设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立 的是 ( )

A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac

【解析】选B.利用对数的换底公式进行验证, logab·logca= log c b·logca=logcb,只有B正确.

log c a

27 log7 2 =_____. ? log [ 4 ? (3 3) ? 7 ] 3 5 3 3 3 2 【解析】原式= 34 log7 2 log 2 10 2 3 log3 ?log[ 2 ? (3 ) ? 7 ] 5 =( log33-log33)·3 log5(10-3-2) 3 =( 4 -1)·log55=- . 1 3 答案 :4 4 1 4
2.计算:log

4

1 log2 10 2

2 3

3.已知函数f(x)= ?log 2 x,x ? 0, 则f(f(1))+f( log 1 )的 ? ?x 3 2 ?3 ? 1,x ? 0, 值是________.

【解析】因为f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.
1 因为log3 1 <0,所以 ? log3 1 f(log3 ) ? 3 2 ? 1 ? 3log3 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3. 2 2 所以f(f(1))+f( )=2+3=5. 1 log 3 答案:5 2

考向二

对数函数的图象及应用

【典例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是(

)

(2)当0<x≤ 1 时,4x<logax,则a的取值范围是( 2

)

2 A., (0 ) 2 C., (1 2)

2 B. ( , 1) 2 D. ( 2, 2)

【解题导引】(1)先求出函数的定义域,再根据函数的
单调性确定选项. (2)将不等式的恒成立问题转化为函数图象的位置关系 , 然后画出函数的图象,根据图象求解.

【规范解答】(1)选C.函数y=2log4(1-x)的定义域为 (-≦,1),排除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内单 调递减,排除D.

(2)选B.构造函数f(x)=4x和g(x)=logax,

当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两
个函数在(0, ]上的图象,可知, 1 1 1 f( ) ? g( ), 2 a> ,所以a的取值范围为 即2<loga ,则 2 2 2 1 2 ( ,1). 2 2 2

【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 选B.因为0<x≤ ,所以1<4x≤2,所以logax>4x>1, 1 2 所以0<a<1,排除选项 C,D;取a= ,x= , 1 1 则有 显然4x<log 2 ax不成立 2 ,排除选项A. 1 1 2 4 ? 2,log 1 ? 1, 2 2

【易错警示】解答本题(2)会出现以下错误:
(1)不能将不等式恒成立转化为两函数图象的位置关系.

(2)

4

1 2



1 log a 2

的关系不明确.

【母题变式】 1.若本例(2)变为:若不等式x2-logax<0对x∈(0, 1 )恒 成立,求实数a的取值范围.

2

【解析】由x2-logax<0得x2<logax,

设f1(x)=x2,f2(x)=logax,
要使x∈(0, )时,不等式x2<logax恒成立, 1 2在(0, )上的图象在f (x)=log x图象的 只需f1(x)=x2 2 a 1 下方即可.当a>1时,显然不成立; 2 当0<a<1时,如图所示,

要使x2<logax在x∈(0, 1 )上恒成立, 2 需 1 1 f1 ( ) ? f 2 ( ), 2 2 2 所以有( ) ≤loga ,解得a≥ ,所以 ≤a<1. 1 1 1 1 2 2 16 16 即实数a的取值范围是 1 [ ,1). 16

2.若本例(2)条件变为“当0≤x≤ 1 时,16x<logax成 4 立”,求a的取值范围.

【解析】当a>1时,16x>0,logax<0,因此16x<logax不成

立;
当0<a<1时,令f(x)=16x-logax,则只要f(x)max<0,又f(x)

在[0,

]上是增函数,

1 因此f(x) 4 max=f( )=2-loga ,由2-loga <0,得a> . 1 1 1 1 所以a的取值范围为( ,1). 2 4 4 4 1 2

【规律方法】利用对数函数的图象可求解的两类热点 问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型 函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点 时,常利用数形结合思想求解.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数
图象问题,利用数形结合法求解.

【变式训练】(2016·攀枝花模拟)已知lga+lgb=0(a>0

且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的
图象可能是 ( )

【解析】选B.因为lga+lgb=0,所以lg(ab)=0,所以ab=1, 即b= 1 ,故g(x)=-logbx=

?log 1 x a a y=x对称,结合图象知,B正 互为反函数,其图象关于直线
确.

=logax,则f(x)与g(x)

【加固训练】

1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图
所示,则a,b满足的关系是 A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 ( )

【解析】选A.令g(x)=2x+b-1,这是一个增函数, 而由图象可知函数y=logag(x)是单调递增的,所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于-1和0之

间,
即-1<f(0)<0,所以-1<logab<0,

故a-1<b<1,因此0<a-1<b<1.

2.(2016·石家庄模拟)设方程10x=|lg(-x)|的两个根 分别为x1,x2,则 ( A.x1x2<0 ) B.x1x2=0

C.x1x2>1

D.0<x1x2<1

【解析】选D.作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图象,如

图.

显然x1<0,x2<0.不妨设x1<x2,

则x1<-1,-1<x2<0, 所以

10x1 ? lg( ? x1 ), 10x2 ? ?lg( ? x 2 ), 此时 即lg(-x1)<-lg(-x2), 10x1 ? 10x 2 , 由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1.

3.已知函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过两点
(-1,0)和(0,1),则logba=________.

【解析】f(x)的图象过两点(-1,0)和(0,1).

则f(-1)=loga(-1+b)=0
且f(0)=loga(0+b)=1, 所以

?b ? 1 ? 1, ? 答案:1 ?b ? a,



?b ? 2, ? ?a ? 2.

所以logba=1

考向三

对数函数的性质及其应用

【考情快递】
命题方向 命题视角

求函数的定义 以对数函数为载体,考查函数定义域的 域 求法,属中档题 比较对数值的 大小 利用对数函数的性质并结合对数函数 的图象进行数值的比较,属中档题

【考题例析】 命题方向1:求函数的定义域

【典例3】(2015·重庆高考)函数f(x)=log2(x2+2x-3)
的定义域是( )

A.[?3,1] C.(??, ?3] ? [1, ??)

B.(?3,1) D.(??, ?3) ? (1, ??)

【解题导引】利用对数函数的性质真数大于零求解.
【规范解答】选D.由对数函数的真数大于零可知,x2+ 2x-3>0,解得x<-3,或x>1,所以函数f(x)=log2(x2+2x-3) 的定义域是(-≦,-3)∪(1,+≦).

命题方向2:比较对数值的大小

【典例4】(2013·全国卷Ⅱ)设a=log32,b=log52,
c=log23,则( )

A.a>c>b

B.b>c>a

C.c>b>a

D.c>a>b

【解题导引】结合对数函数的性质判断a,b,c的范围, 确定大小关系.

【规范解答】选D.方法一:a=log32<log33=1, b=log52<log55=1,c=log23>log22=1, 又log32=

lg 2 lg 2 5 所以log32>log c>a>b. lg 3 52,综上lg

,log52=

,lg3<lg5,

方法二:因为 所以log3

3

<2<3,1<2<

5

,

3 log23>log22,
所以

<log32<log33,log51<log52<log5

5

,

1 所以c>a>b. 2

<a<1,0<b<

1 2

,c>1,

【技法感悟】 1.求函数的定义域的方法 列出对应的不等式(组)求解即可.要注意对数函数的底

数和真数的取值范围.

2.比较对数值的大小的方法

(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接
进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨

论.
(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同 底后,再进行比较.

(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比 较.

【题组通关】

1.(2016·咸阳模拟)设a=log4π ,b=
a,b,c的大小关系是 ( )

log 1 ?
4

,c=π 4,则

A.a>c>b

B.b>c>a

C.c>b>a

D.c>a>b
<0,c=π4>1,

【解析】选D.因为0<a=log4π<1,b= 所以c>a>b.

log 1 ?
4

2.(2016·肇庆模拟)函数y=ln(x-2)+
为______.

3? x

的定义域

【解析】要使函数有意义,需满足 x ? 2 ? 0, 解得2<x≤3, ? ? 0. 所以函数y=ln(x-2)+ 的定义域是 (2,3]. ?3 ? x ?
答案:(2,3]

3? x

3.(2016·兰州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数, 且在[0,+∞)上为增函数,f( 1 )=0,则不等式f( ) log 1 x 3 8 >0的解集为________.

【解析】因为f(x)是R上的偶函数,

所以它的图象关于y轴对称.如图,

因为f(x)在[0,+≦)上为增函数, 所以f(x)在(-≦,0]上为减函数, 由f(

1 所以 3

)=0,得f(-

1 ? log 1 x ? ? 1 x) ? 0 , ?x>2f(log 或0<x< 3 8 8 1 所以x∈(0, )∪(2,+≦). 2 1 答案:(0, )∪(2,+≦) 2 1 2

1 3

)=0. 或

1 log 1 x ? 3 8

4.(2016·中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax) (a>0,a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________.

【解析】当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函
数,

由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)>1,
解之得1<a< , 8 当0<a<1时,f(x) 3 在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)>1,

且8-2a>0,所以a>4,且a<1,故不存在.
综上可知,实数a的取值范围是(1, 8 ). 3 答案:(1, ) 8 3

【加固训练】(2016·郑州模拟)已知函数 f(x)=loga x ? b (a>0,b>0,a≠1). x? b (1)讨论f(x) 的奇偶性 . (2)讨论f(x)的单调性.

【解析】(1)要使f(x)有意义,则 x ? b >0, x?b 因为b>0,所以x>b或x<-b, 所以f(x)的定义域为{x|x>b或x<-b}.

故f(x)的定义域关于原点对称,
又因为f(-x)=

?x ? b x ? b ?1 log ? log a ( ) ? ?f(x), 故f(x)为奇函数 .a ?x ? b x?b

(2)设u(x)= x ? b ? x ? b ? 2b ? 1 ? 2b , x?b x?b x?b 设x1>x2, 则u1-u2=

2b(x 2 ? x1 ) 2b 2b 1? ? (1 ? )? , 当x1>x2>b时x , x 2 ? b<0, (x1 ? b)(x 2 ? b) 1 ?b 2b(x 2 ? x1 ) 即u1<u2, (x1 ? b)(x 2 ? b)
此时,u为减函数,同理当-b>x1>x2时,u也为减函数,

所以当a>1时,f(x)=loga x ? b 在(-≦,-b)上为减函数, x?b 在(b,+≦)上也为减函数. 当0<a<1时,f(x)=loga

x?b x?b (b,+≦)上也为增函数.

在(-≦,-b)上为增函数,在


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