正弦函数的图像与性质——y=Asin(ωx+φ)的图象》_图文

函 数 y=Asin(?x+?)的图象

物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都 是常数).

正弦型函数:y=Asin(?x+?)
函数y=Asin(ωx+φ),其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时, 振幅:A就表示这个量振动时离开平衡位置的最

大距离,通常称为这个振动的振幅;
2? 周期: 往复一次所需的时间 T ? ,称为这个 ? 振动的周期;

频率: 单位时间内往复振动的次数 f ? 1 ? ? , 称为振动的频率;
T 2?

? x ? ? 称为相位;x=0时的相位φ称为初相。

1 ? 利用 五点法" 画函数y ? 2 s in( x ? " )在 3 6 2? 一个周期(T ? 1 ? 6? )内的图象.
3

1 ? ? 令X ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y 2 2 . . , 五点 的值, 得到"五点", 再描点作图. 然 后 将 简 图再"描 点 "作
X x y
0
? 2
? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

2?

5?

0

2

0

?2

0

y
3

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6

2
1
13? 2 7? 2

o
-1

? 6

? 2

?

2?

x

-2
-3

1 例1画出函数y=2sinx x?R;y= sinx x?R 2

的图象(简图) 解:画简图,我们用“五点法” ∵这两个函数都是周期函数,且周期为2π ∴我们先画它们在[0,2π]上的简图列表:
-

x sinx 2sinx
1 sinx 2

0 0 0 0

? 2
1 2
1 2

? 0 0 0

-1 -2
1 ? 2

3? 2

2? 0 0 0

一、函数y=Asinx(A>0)的图象

y

2
1

y=2sinx

2? O ?1 ?2 ? x

y=

1 sinx 2

(1) y=2sinx,x∈R的值域是[-2,2],

图象可看作把y=sinx,x∈R上所有点的纵
坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) .
1 1 1 (2) y= sinx,x∈R的值域是[- , ], 2 2 2

图象可看作把y=sinx,x∈R上所有点的纵坐
1 标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变). 2

y=sinx 所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A 倍(横坐标不变) y=Asinx (A >0且A≠1)

y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最大值 为A, 最小值为-A.

一般地,函数y=Asinx的值域是最大值是 |A|,最小值是-|A|,由此可知,|A|的大小, 反映曲线波动幅度的大小。因此|A|也称为 振幅。

y 1 O ?1 ?

1 y=sin 2
2?

x
3? 4? x

y=sinx

振幅相同
y=sin2x

二、函数y=sin?x(?>0)的图象
y 1

y=sin1 x
2
2?

O

?

3?

4? x

?1

y=sin2x

y=sinx

y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。

2

(? >0且?≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1 1 时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 倍(纵坐标 ? 不变) 而得到的。

?函数y=sin?x

三、函数y=sin(x+φ)图象
?
4

1 O

y ? sin(x ?

?
3

)

?

?
3

2? ?
?

x

?1

y ? sin(x ? ) 4

?函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的

图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
平移|φ|个单位而得到的。

四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 ? ? 例4 作函数y ? sin(2 x ? ) 及y ? sin(2 x ? ) 的图象。 3 4 11? 2? 7? ? 5? x 12 3 6 6 12
2x ?

?

sin(2 x ? ) 3 y 1
O

3 ?

0
0

? 2

?
0

3? 2
-1
y ? sin(2 x ? ) 3

2?
0

1

y ? sin( 2 x ? ) 4 ?1

?

?

? 2
6

?

? x

y=sin2x

四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
y 1 O

y ? sin( 2 x ? ) 4 ?1

?

?

? 2
6

y ? sin(2 x ? ) 3

?

?
x

y=sin2x

1 ? 思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2 sin( x ? ) 3 6 的图象 ?
函数y ? sin x
(1)向右平移

?
6

y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

?

(2)横坐标伸长到原来的3倍

纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来的2倍

横坐标不变

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
y ? sin(
2?
7? 2

1 ? x ? )② 3 6
13? 2

o
-1

? 6

? 2

?
y=sinx

x

-2
-3

y
3

2
1

1 ? y ? sin( x ? ) 3 6

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
② 1 y ? s in( x) 3
2?
7? 2

o
-1

? 6

? 2

?
y=sinx

13? 2

x

-2
-3

y=Asin(ωx+φ)

注意 平移 y=sin(x+?) 伸缩 变换 变换 y=sinx 伸缩 变换 y=sinωx 平移 变换 振幅 变换 y=Asin(ωx+?) y=sin(ωx+?)

在先经过伸缩变换,再进 行平移变换的时候,实际 平移的是|?/?|个单位。

无论伸缩变换还是平移变换 都是直接作用在x上的!!!


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