研究性学习(31)多元变量问题的一般处理方法

2013 届高三理科数学研究性学习(31) 专题:多元变量问题的一般处理方法
编者按:对一元变量问题的处理方法较多,对多元变量问题的解决关键是如何将多元变量 问题转化为一元变量问题成为处理问题的关键.(如果不能转化为一元变量问题,则利用 线性规划的方法处理) 一、变式换元法 例:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的导函数是 g ( x), a ? b ? c ? 0 ,

g (0) ? g (1) ? 0 . 设 x1 , x2 是方程 g ( x) ? 0 的两根,则| x1 ? x2 |的取值范围为

_____

二、引入新元法 例 2:求函数 ? ? 6 xy ? 8( x ? y) ? 5( x 2 ? y 2 ) 的最大值 已知实数 x, y , z 满足 xyz ? 32, x ? y ? z ? 4 ,则 | x | ? | y | ? | z | 的最小值为 12

变式 1: ( 2012 年 扬 州 市 高 三 期 末 考 试 ) 已 知 x, y, z ? R , 且 x ? y ? z ? 1 ,

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ,求 xyz 的最大值为______
变式 2:设 x , y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则 解:设 x ? 2 ? s , y ? 1 ? t ,则 s ? t ? 4 ,

x2 y2 的最小值是 ______ ? x ? 2 y ?1

1 4

所以

4 1 x2 y 2 ( s ? 2)2 (t ? 1) 2 ? ? ( s ? 4 ? ) ? (t ? 2 ? ) = ? s t s t x ? 2 y ?1

4 1 4 1 ? (s ? t ) ? ( ? ) ? 6 ? ( ? ) ? 2 。 s t s t 4 1 1 4 1 1 4t s 9 因为 ? ? ( ? )( s ? t ) ? ( ? ? 5) ? s t 4 s t 4 s t 4

所以

x2 y2 1 ? ? x ? 2 y ?1 4

三、确定主元法
2 例 3: A ? {( x, y) x ? n, y ? na ? b, n ? Z} , B ? ( x, y ) x ? m, y ? 3(m ? 5), m ? Z ,

?

?

C ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 144 ,问是否存在实数 a , b ,使得同时满足 A ? B ? ? ,且

?

?

?a, b? ? C

四、线性规划法
2

在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 2s n i

a?b ?c o s 2C ? 1 ,a ? 1, b ? 2 2

(1)求角 C, c ; (2)若 P 在 ?ABC 内任一点(含边界) ,点 P 到三边距离之和为 d ,设 P 到 AB, BC 的距离之和分别为 x , y ,请用 x , y 表示 d ,并求 d 的取值范围. (1) C ?

?
3

,c ? 3 ; (2) d ? x ? y ?

3 - 3x - y 2 - 3 1 3 , ? x? y? 2 2 2 2

?0 ? x ? 1 ? 3 ? ? , 3? 且 ?0 ? y ? 3 ,则 d 的取值范围是 ? ? 2 ? ? 3 x ? y ? 3 ?
11. 已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c≥0 (a ? b) 的 解 集 为 R , 则
M ? a ? 2b ? 4c 的最小值是 b?a

.8

b c 1 ? 2( ) ? 4( ) a a (消元思想) 解析:分子分母同时除以 a ,变形为 M ? (其中条件为 b ( ) ?1 a

? b 2 ? 4ac ? 0 b ? ) ,而后转化为 的函数,易求得最小值为 8 ?a ? 0 a ?

已知实数 x1 , x2 , x3 满足方程 x1 ? 值是

1 2 1 2 1 1 2 x2 ? x3 ? 1 及 x1 ? x 2 ? x3 ? 3 , 则 x3 的最小 2 3 2 3

x1 ?

1 1 1 2 1 2 2 x2 ? - x3 ? 1 , x1 ? x2 ? - x3 ? 3 , 2 3 2 3

利用柯西不等式:( x1 ?

1 2 2 1 1 1 2 3 1 2 x2 ) ? (1 ? x1 ? ? x2 )2 ? (1 ? )(x12 ? x2 ) ? (3 ? x3 ) 2 2 2 2 2 3 2
? 21 ? ,3 ? 11 ? ?

可解得 x3 的取值范围是 ??

另解:消去 x1 ,把 x2 视为主元,根据方程有解,易得 x3 的取值范围。


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