(最新)人教版高中人教a版数学选修2-2第3章《数系扩充与复数引入》综合检测含答案

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第三章综合检测

时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中

只有一个是符合题目要求的)

1.(2014·浙江理,2)已知 i 是虚数单位,a、b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”

的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算,当 a=b=1 时,(a+bi)2=(1+i)2

=2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则 a2-b2=0,2ab=1,解 a=1,b=1 或 a=-1,

b=-1,故 a=1,b=1 是(a+bi)2=2i 的充分不必要条件,选 A.

2.已知复数

z1=3+4i,z2=t+i,且

- z1·z 2

是实数,则实数

t

等于(

)

3 A.4

B.43

C.-43

D.-34

[答案] A

[解析]

z1·-z 2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因为

- z1·z 2

是实数,所以

4t-3=0,所

以 t=34.因此选 A.

3.(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知复数 z=

i+i2+i31++…i +i2013,则复数 z 在复平面内对应的点位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

[答案] A

[解析]

?? i

n=4k+1,

-1 n=4k+2,

? ∵in= -i n=4k+3, ??1 n=4k,

k∈Z,∴i+i2+i3+…+i2013=503×(i+i2+i3+

i4)+i2013=503×0+i=i, ∴z=1+i i=?1+i?1i?-?1i-? i?=1+2 i,在复平面内的对应点(12,12)在第一象限.

4.(2014·东北三省三校联考)已知复数 z=-12+ 23i,则 z +|z|=( )

A.-12-

3 2i

B.-12+

3 2i

C.12+

3 2i

[答案] D

D.12-

3 2i

[解析] 因为 z=-12+ 23i,所以 z +|z|=-12- 23i+

?-12?2+?

23?2=12-

3 2 i.

5.若 θ∈??34π,54π??,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i 在复平面内所对应的点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

[答案] B

[解析] θ∈??34π,54π??时,

sinθ+cosθ<0,sinθ-cosθ>0,

故对应点(cosθ+sinθ,sinθ-cosθ)在第二象限.

[点评] 由于 θ∈??34π,54π??时,据选项知,此复数对应点只能在某一象限,∴取 θ=π 检

验知,对应点在第二象限.

6.已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若zz12为实数,则实数 m 的值为(

)

8 A.3

B.32

C.-83

D.-32

[答案] D

[解析] zz12=m3-+42ii=??m3-+42ii????33++44ii?? =3m-8+25?6+4m?i为实数,

所以 6+4m=0?m=-32,故选 D.

7.若 z=cosθ+isinθ(i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 θ 值可能是( )

π A.6

B.π4

π C.3

D.π2

[答案] D

[解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴?????csions22θθ==0-. 1,

∴2θ=2kπ+π (k∈Z),

∴θ=kπ+2π.令 k=0 知,D 正确.

8.若关于 x 的方程 x2+(1+2i)x+3m+i=0 有实根,则实数 m 等于( )

1 A.12

B.112i

C.-112

D.-112i

[答案] A

[解析] 设方程的实数根为 x=a(a 为实数),

则 a2+(1+2i)·a+3m+i=0,

? ∴???a2+a+3m=0, ∴ a=-12,

?? ??2a+1=0,

m=112.

故选 A.

9.已知复数 z=(x-2)+yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为 3,则yx的最大值是

()

3 A. 2

B.

3 3

1 C.2

D. 3

[答案] D

[解析] 因为|(x-2)+yi|= 3,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在

以 C(2,0)为圆心,以 3为半径的圆上,如图,由平面几何知识知- 3≤yx

≤ 3.

10.(2014·河北衡水中学模拟)设 a∈R,i 是虚数单位,则“a=1”是“aa+ -ii为纯虚数”

的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

[答案] A

[解析] 当 a=1 时,11+ -ii=?1+2 i?2=i 为纯虚数.

当aa+-ii=?aa2++i1?2=a2-a21++12ai为纯虚数时,

a2=1 即 a=±1,故选 A.

11.已知复数 a=3+2i,b=4+xi(其中 i 为虚数单位,x∈R),若复数ab∈R,则实数 x

的值为( )

A.-6

B.6

8 C.3

D.-83

[答案] C

[解析] ab=34++2xii=?3+126i+??4x-2 xi?=1126++2xx2+???186-+3xx2???·i∈R,∴186-+3xx2=0,∴x=83.

12.设 z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是( )

A.z 对应的点在第一象限

B.z 一定不为纯虚数

C. z 对应的点在实轴的下方

D.z 一定为实数

[答案] C [解析] ∵t2+2t+2=(t+1)2+1>0, ∴z 对应的点在实轴的上方.

又∵z 与 z 对应的点关于实轴对称.

∴C 项正确. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 x+1x=-1,则 x2014+x21014的值为________. [答案] -1 [解析] ∵x+1x=-1,∴x2+x+1=0.

∴x=-12± 23i,∴x3=1. ∵2014=3×671+1,∴x2014=x, ∴x2014+x21014=x+1x=-1. 14.已知复数 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,则复数 z1·z2 的实部是________ [答案] cos(α+β) [解析] z1·z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) cosαcosβ-sinαsinβ+(cosαsinβ+sinαcosβ)i =cos(α+β)+sin(α+β)i 故 z1·z2 的实部为 cos(α+β). 15.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数 x、y 的值分别为________.

[答案] x=1,y=1 [解析] 原式可以化为 (3y-2x)+(x-10y)i=1-9i, 根据复数相等的充要条件,有

??3y-2x=1,
?

解得???x=1,

??x-10y=-9.

??y=1.

16.设 θ∈[0,2π],当 θ=________时,z=1+sinθ+i(cosθ-sinθ)是实数.

[答案] π4或54π

[解析] 本题主要考查复数的概念.z 为实数,则 cosθ=sinθ,即 tanθ=1.因为 θ∈[0,2π],

所以 θ=4π或54π.

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 12 分)(2014·郑州网校期中联考)已知复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+

2)i. (1)当实数 m 取什么值时,复数 z 是:①实数;②纯虚数; (2)当 m=0 时,化简z+5z2+2i.

[解析] (1)①当 m2-3m+2=0 时,即 m=1 或 m=2 时,复数 z 为实数.

②若 z 为纯虚数,则?????2mm2-2-33mm+-22==00,,

解得???m=-12或m=2, ??m≠1且m≠2,

∴m=-12.

即 m=-12时,复数 z 为纯虚数. (2)当 m=0 时,z=-2+2i, z+5z2+2i=3-+84ii=-8i?235-4i?=-2352-2254i. 18.(本题满分 12 分)已知复数 x2+x-2+(x2-3x+2)i(x∈R)是复数 4-20i 的共轭复数, 求实数 x 的值. [解析] 因为复数 4-20i 的共轭复数为 4+20i,由题意得 x2+x-2+(x2-3x+2)i=4+ 20i, 根据复数相等的充要条件,得

??x2+x-2=4, ① ???x2-3x+2=20. ②

方程①的解为 x=-3 或 x=2. 方程②的解为 x=-3 或 x=6. 所以实数 x 的值为-3. 19.(本题满分 12 分)(2014·洛阳市高二期中)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四 象限,|z|=1,且 z+-z =1,求 z; (2)已知复数 z=15-m22i-(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数 m 的值. [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R), 由题意得???a2+b2=1,
??2a=1.

解得

a=12,b=±

3 2.

∵复数

z

在复平面内对应的点在第四象限,∴b=-

3 2.

∴z=12-

3 2 i.

(2)z=15-m22 i-(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,依题意,m2-m-6=0,

解得 m=3 或-2.

∵2m2-5m-3≠0.∴m≠3.

∴m=-2.

20.(本题满分 12 分)虚数 z 满足|z|=1,z2+2z+1z<0,求 z.

[解析] 设 z=x+yi (x、y∈R,y≠0),∴x2+y2=1.

则 z2+2z+1z=(x+yi)2+2(x+yi)+x+1 yi

=(x2-y2+3x)+y(2x+1)i.

∵y≠0,z2+2z+1z<0,

∴?????2x2x-+y12=+03,x<0, ② ①

又 x2+y2=1.



?x=-21,

由①②③得

??y=±

3 2.

∴z=-12±

3 2 i.

21.(本题满分 12 分)满足 z+5z是实数,且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存

在?若存在,求出虚数 z,若不存在,请说明理由. [解析] 存在. 设虚数 z=x+yi(x、y∈R,且 y≠0).
z+5z=x+yi+x+5 yi=x+x2+5xy2+??y-x2+5yy2??i.

由已知得???y-x2+5yy2=0, ??x+3=-y.

∵y≠0,∴?????xx2++yy=2=-53,.

解得???x=-1, ??y=-2,

或??? x=-2, ??y=-1.

∴存在虚数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足以上条件.

22.(本题满分 14 分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1、2、3、4、

5、6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b.

(1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率;

??a-b+2≥0, (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4,
??b≥0.

表示的平面区域内(含边界)的概率.

[解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位),z-3i 为实数,则 a+bi-3i=a+(b-3)i 为实数,

则 b=3.

依题意得 b 的可能取值为 1、2、3、4、5、6,故 b=3 的概率为16.

即事件“z-3i 为实数”的概率为16.

(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表:

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果.

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).

由图知,点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、 (2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共 18 种.
所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P=1386=12.

1.设 z 的共轭复数为-z ,若 z+-z =4,z·-z =8,则-zz 等于(

)

A.i C.±1 [答案] D

B.-i D.±i

[解析]

设 z=a+bi(a,b∈R),则-z =a-bi,由条件可得?????a22a+=b42,=8.

解得???a=2, ??b=±2.

?z=2+2i,

?z=2-2i,

因此??-z =2-2i, 或??-z =2+2i.

所以-zz =22- +22ii=11-+ii=?1+?1i-??1i?-2 i?=-22i=-i,

或-zz =22+ -22ii=11+ -ii=?1-?1i+??1i?+2 i?=22i=i,



所以

z z

=±i.

2.复数 z=m1+-22ii(m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

[答案] A

[解析] z=m1+-22ii=??m1+-22ii????11--22ii??=15[(m-4)-2(m+1)i],其实部为15(m-4),虚部为-

25(m+1),

由???m-4>0,

得???m>4, 此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能位于第一

??-2?m+1?>0. ??m<-1.

象限.

3.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则

“a>12”是“点 M 在第四象限”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案] C [解析] z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数 z 在复平面内对应的点 M 的坐标

为(a+2,1-2a),所以点 M 在第四象限的充要条件是 a+2>0 且 1-2a<0,解得 a>12,故选

C. 4.设 z=log2(1+m)+ilog12(3-m)(m∈R).

(1)若 z 在复平面内对应的点在第三象限,求 m 的取值范围; (2)若 z 在复平面内对应的点在直线 x-y-1=0 上,求 m 的值.

[解析] (1)由已知,得

??log2?1+m?<0,



???log21?3-m?<0,



解①得-1<m<0.

解②得 m<2.

故不等式组的解集为{x|-1<m<0}, 因此 m 的取值范围是{x|-1<m<0}.

(2)由已知得,点(log2(1+m),log12(3-m))在直线 x-y-1=0 上,

即 log2(1+m)-log12(3-m)-1=0,

整理得 log2(1+m)(3-m)=1. 从而(1+m)(3-m)=2,即 m2-2m-1=0,

解得 m=1± 2,且当 m=1± 2时都能使 1+m>0,且 3-m>0.

故 m=1± 2.

5.设 z1、z2∈C,A=z1·-z 2+-z 1·z2,B=z1·-z 1+z2·-z 2,问 A 与 B 是否可以比较大小? 为什么?

[解析] 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),

则-z 1=a-bi,-z 2=c-di, ∴A=z1·z2 +z2·-z 1 =(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi) =ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2 =2ac+2bd∈R, B=z1·-z 1+z2·-z 2=(a+bi)(a-bi)+(c+di)(c-di)=a2+b2+c2+d2∈R, ∴A 与 B 可以比较大小.
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