平面的基本性质(1)课件_图文

情境引入 问题1：平静的湖面，广阔的草原，这些 画面会给你留下怎样的印象呢？
问题2：如何形象直观的在纸上表示平面？ 如何表示点与直线，直线与平面 的位置关系？

1. 平面的特点

意义建构

问题：请同学们观察下面的纸盒，它 是由几个面构成的？

问题：还有哪些面留给我们平面的形象 呢？
桌面、黑板、地面、海平面等.

问题：当我们想象海平面是一平如镜时， 它有什么特点？
很大、很平.

以上例子给我们“平面”的直观，平面 是一个不加定义的概念，具有“平”、 “无限延展”、“无厚薄”的特点.

l

一条直线可以把平面分成两部分， 我们所画的只是一条直线的一部分，因 此，刚才所说的物体如果是平的，也只 是它所在平面的一部分. 一个平面可以把空间分成几部分呢？ 一个平面可以把空间分成两部分.

2. 平面的画法
通常我们画出直线的一部分来表示 直线；同样地，我们也可以画出平面的 一部分来表示平面.(“借代”)
当我们从适当的角度和距离来观察 桌面或黑板面时，感到它们都很象什么 图形呢？ 平行四边形 通常画平行四边形来表示平面.

在画平行四边形表示平面时，所表示 的平面如果是水平平面，通常把锐角 画成45°，横边画成邻边的两倍.
45°

如果是非水平平面，只要画成平行四 边形. 画直立的平面，一组对边为铅垂线 .

如果几个平面画在一起，当一个平面 有一部分被另一个平面遮住时，应把 被遮部分的线段画成虚线或不画.

3. 平面的表示法
⑴在一个希腊字母? , ? , ? 的前面加 ? ，平面 ? ， “平面” 二字，如平面 ? 平面 ? 等，且字母通常写在平行 四边形的一个锐角内. ⑵用表示平行四边形的两个相对顶 点的字母来表示，如平面AC.
A D C

B

⑶用三角形表示平面，用三角形三 个顶点的字母来表示，如平面ABC.

相交平面画法：
β

β
α

α
β α

β α

画两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画

■例题一: 两个相交平面如何画?
C C C

G

N
A B A M (二) D G C E A M H D N B F A E M B A

E M H

N B (三)

F

(一) D

D
G C N B H D (五) F

(四)

练习３、下图中的平面中有无不正确的
地方？应如何纠正？
α

练习５、下列各图中，有多少个平面？写出这
些平面。
D
A F E

C
B α

A

B

D

C

平面 ABCD 平面 ABEF

平面α 平面 ABD

练习６、观察下面两个图形，用模型来说明它 们的位置有什么不同

4. 点、直线、平面之间的基 本关系
空间图形的基本元素是点、直线、平 面，从运动的观点看，点动成线，线动成 面，从而可以把直线、平面看成是点的集 合.因此，它们之间的关系除了用文字和图 形表示外，还可以借用集合中的符号语言 来表示.

点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点A、线a、面α （2）集合关系： A ? a, A ? ? , a ? ? ,
图形 符号语言 文字语言(读法)

A
A

a
a

A? a A? a

点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内

? A
?
A

A

A ?? A ??
b a

a b ? ? A? 直线a、b交于点A

图形

符号语言

文字语言
直线a与b没有交点

b

a

a ?b ??

?
?

a
a

a ??
a ? ??

直线a在平面

?内

直线a与平面 ? 无公共点

?
β

a

A

a ? ? ? A?
? ? ?l

?

? ?? ??

平面α与β不 相交

平面 与? 相交于直线 l

直线a与平面? 交于点

?

练习．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1，分别记作 ?、?、? ，试用适当的 符号填空． (1) A1 _______ ∈ ? , B1 _______ ∈ ?
(2) B1 _______ ∈ ? , C1 _______ ∈ ?

∈ ? , D1 _______ ∈ ? (3) A1 _______
(4)? _______ ∩ ? ? A1B1

? _______ ∩ ? ? BB1

∩ ∩

? (5) A1B1 ________ ? , BB1 ________

A1B1 ________ ?

∩

数学理论

5.平面的基本性质
请大家拿出你的一把尺，如果把桌 面看作一个平面，把你的尺看作是一条 直线的话，你觉得在什么情况下，才能 使你的尺所代表的直线上的所有点都能 在桌面上？

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平 面内.
图形语言：
A ?? ? 符号语言：B ?? ? ? 直线 AB ? ? ?

公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判定直线或点是否在平面内； ⑵检验平面.

请大家拿起一本书，把这本书的一个 角放在桌面上，如果我们分别把这本书和 桌面都看作一个平面的话，试问这两个平 面是否就只有这一个公共点，如果还有其 他公共点的话，它们和这个公共点有什么 关系？

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它 们还有其他公共点，这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线.
（没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.）

图形语言：

P ?? ? 符号语言： ? ?? P?? ?

? ? l且P ? l

公理2可以帮助我们解决哪些几何问题？
⑴判断两个平面是否相交；
⑵判定点是否在直线上. 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条 公共直线叫做这两个平面的交线.

数学运用
【例1】已知命题： ①10个平面重叠起来，要比5个平面 重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m，宽是20m； ③黑板面不是平面； ④平面是绝对的平，没有大小、没有 厚度，可以无限延展的抽象的数学 概念. ③④ 其中正确的的命题是__________.

【例2】一条直线经过平面内一点与平面外一 点，它和这个平面有几个公共点？为 什么？
解： 这条直线和这个平面只有一个公共点. 假设这条直线和这个平面有两个公共点，

根据公理1可得， 这条直线上所有的点都在这个平面内，
故这条过平面外一点的直线也在这个平面内， 与已知矛盾. 所以这条直线与这个平面只有一个公共点.

【例3】如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点. (1)作出由A1，C1，M三点所确定的平面 与正方体表面的交线； (2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线．
分析：因为点M既在平面 ?
内又在平面ＡＢ１内，所以点 M在平面?与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 ? 与平面 AB1的交线上,因此,MA1就是平 面? 与平面AB1的交线.

【例4】已知：?ABC 在平面? 外， AB ? ? P， BC ? ? Q AC ? ? R， 求证：P，Q，R三点共线.
证明： AB ? ? P,

? P ? 平面ABC，P ? 平面? ,
?点P在平面ABC与平面?的交线上. （公理2）
同理可证：

Q ，R也在平面ABC与平面? 的交线上.
? P，Q，R三点共线.
要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相 交平面内，则落在它们的交线上.

? 外”，正确的 1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面 是（ B ）. A. A ? l , l ?? B. A ? l , l ? ? C. A ? l , l ? ? D. A ? l , l ??
2.下面叙述中，正确的是（ D ）. A.因为 P ?? , Q ?? ，所以 PQ ?? B.因为P ?? , Q ? ? ，所以 ? ? ? PQ

C.因为 AB ? ? , C ? AB, D ? AB ，所以 CD ? ? D.因为 AB ? ? , AB ? ? ，所以 A ? ?? ? ? 且B ? ??

??

3.请指出下列说法是否正确，并说明理由： ⑴平面 ? 与平面 ? 若有公共点，就不止一个； 正确 ⑵因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在 的平面与地面不相交. 不正确

因为平面是可以无限延展的.
4．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的 关系，并画出图形．

(1) A ?? , B ?? (2)l ? ? , m ? ? (4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ?? (3)? ? ? l

补充：用符号语言表示下列语句，并画出图形. ⑴直线l过平面? 内一点A，且过? 外两点B、C. ⑵平面? 与? 的交线为l，直线m在? 内，直线n 在 ? 内，且m、n与l分别交于点P、Q.

⑶平面? 与? 相交于直线l，直线m在 ? 内，直
线n在 ? 内，且m、n都与l平行.

1.平面的概念、表示和记法； 2.空间中点、线、面位置关系的图 形及符号表示；

3.平面的基本性质(公理1，2)及其
用途.

通常画平行四边形来表示平面.

四面体

三个平面相交 且交于一点