相对论习题课-sx204_图文

第八章 狭义相对论基础
习题课

?教学要求
1.理解狭义相对论的两条基本原理和洛仑兹变换; 2.理解狭义相对论的时空观和经典时空观的差异; 3.会分析计算有关长度收缩、时间膨胀、同时相对性 及一维速度变换的问题. 4.会用质能关系和质速关系计算有关的简单问题.
?基本概念和规律
一.牛顿的绝对时空观(经典力学时空观):
长度和时间的测量彼此无关,与参考系也无关.

1. 伽利略坐标变换

Y
Y’

p( x.y,z,t )

u *p (x,y?,z?,t?)

x = x?+ ut y= y?

x? =x - ut y? =y

z= z?

z?=z

O O’
Z
Z’

X

t= t?

t? =t

X’

2.伽利略速度变换 Vx =V x ?+u ; Vy =Vy ? ; Vz =Vz ?

3.质量的测量与参考系无关 m? =m

4.力的测量与参考系无关. F ? =F

5.力学相对性原理. 力学规律的数学表达式具有伽利略变换的不变性. 牛顿第二定律的数学表示式在两个惯性系中具有相同式. 如:动量守恒定律,机械能守恒定律等都具有这种不变性. 但是麦克斯韦方程则不具有这种不变性.
二 狭义相对论的两条基本原理 1.狭义相对性原理 在所有的惯性系中,一切物理定律都具有相同的形式。 2.光速不变原理
在所有的惯性系内测得真空中的光速恒为c.
( c = 2.997925 ?108 m/s)

三.洛仑兹变换

1.坐标变换:

同一事件在两个惯性系中的两组时空 坐标之间的变换关系。

正变换

逆变换

x ? ? ? ? x ? ut ? x ? ? ? x ? ? u t ? ?

Y' Y

u

y? ? y

y ? y?

X'

z? ? z

z ? z?

O' O

X

t ? ? ? ?? t ? ? x ?? t ? ? ?? t ? ? ? x ? ?? Z Z'

? c?

? c?

?? u
c

?? 1 1? ? 2

2 洛仑兹速度变换式 正变换

v ?x

?

vx ? u

1?

u c2

vx

v?y

?

vy

1?

u c2

vx

u2 1? c2

v?z

? vz

1?

u c2

vx

1?

u2 c2

逆变换

vx

?

v ?x ? u

1?

u c2

v ?x

vy

? v?y

1?

u c2

v?x

1?

u2 c2

vz

? v?z

1?

u c2

v?x

1?

u2 c2

四.狭义相对论的时空观

1.同时性的相对性

?t ?

? t' ?

u c2

? x'

1?

u2 c2

2.长度量度的相对性(动尺收缩、原长最长)

?x???x?u?t ? ?x ????x

1?u c2 2

1?u c2 2

原长 ?x?

3.时间膨涨效应(动钟变慢、原时最短)

u

???t??t2'?t1'?

??t?c2?x? u2

?t u2

???t??

?0

1?c2

1?c2

原时

?0

五. 相对论质量和动量

m?

m0 1?v2

c2

??

m0

? ? ?

?

p?m v?m 0 v

六. 相对论能量

E?m c2 ? m0c2 1?v2 c2

相对论动能 EK?m2c?m0c2

七. 相对论动量和能量的关系
E2?p2c2?m02c4

相对论动量 P

当v??c 时,有 P=m0v, 经典力学结果.

相对论(1力) 方学程基:本F 方?? 程ddP ?t?d(d mv?t)?d dt(

m0

? ?v)

v2

1?c2

(2) 特点: 当v??c 时,有 经典力学结果.

F ??d?d m v ?t??m 0d dv ?? tm 0a ?

八.粒子的相互作用 动量守恒 ?mv ??恒 矢 量

能量守恒 ?m2 c?恒量

?课堂讨论题
1 同时的相对性的含义是什么?为什么会有这种 相对性?如果光速是无限大,是否还具有同时的 相对性?

答:如果光速是无限大,就不存在同时的相对 性了。由洛伦兹变换

?t? ? 1 (?t ? u2 ?x)

1?

u2 c2

c2

当c→ ∞ 则Δ t?=Δ t,说明在不同惯性系中
没有同时的相对性概念

2 一列火车以恒定的速率(接近光速)行驶。在 路基参考系中,路轨间的宽度(轨距)应与一对 车轮之间的距离(轮距)相同,那么在列车参考 系中量出的轨距与轮距是否相同?

答:在列车参考系中量出的轨距与轮距相同。一个运 动物体,与运动方向相垂直的长度,在运动系中和静 止系中是相同的。

3 能把一个粒子加速到光速吗?为什么?

不行。因为随着粒子速度增大,其 质量增大,惯性增大,要继续加速 它就越困难。实验证明,c是自然 界的极限速率。粒子速率只能逼近 c而无法达到c。

m?

m0

1? v2 c2

3 一物体在S’系中的速度是u’, S’系相对于S系的 速度为v , u’ 和v 沿同一方向。试问为什么不能把 u’ 和v 直接相加求得该物体在S系中的速度?怎样 才能相加?
答: 题中所说物体在S?系中的速度u?,是用S?系的钟和尺 量度的值,S?系相对于S系的速度v,是用S系的钟和尺量度 的值。在经典力学中,认为S?和S两个惯性参照系里钟的走 时和尺的长度都相同,所以u?和v是用同一标准量度的值,两 者可以直接相加,其相加结果 ( u = u?+v ) 就是物体在S系中 的速度.
在相对论中则不然.S?和S两个惯性参照系里钟的走时和尺 的长度都不再相同,所以u?和v是用不同标准量度的值,两 者不能直接相加,即u ? u?+v 。为了求出物体在S系中的速
度,必须先把u?变换成用S系的标准量度的值,然后再和v
相加.

4. 狭 义 相 对 论 的 基 本 假 设 是 _相__对_性_原__理_和_光__速_不_变__原_理___ 。 涉 及 了 现 代 物 理 的一个重要思想即:某些物理量是 _相__对_量____,而物理定理具有__绝_对_性_____;人 们对事物的观察依赖观察的角度——参考 系。在不同的参考系中观察,对事实的 “ 描 述 ” 可相对能的 是 _____事_实_的_ 客,观存在但 ___________是绝对的。

?课堂讨论题
1.地面上的观察者A看到一列前进的车,车头车尾同 时受到雷击,则列车中部的观察者B认为何处雷击在 先?

解:依题意车尾、车头两个雷击事件分别为x1 , t1和x2 , t2 ,

并且 t1= t2, x2 - x1 >0

根据:t1? = ? (t1-ux1/c2 ) t2 ? = ? (t2 -ux2 /c2 )

?t '

?

t2'

? t1'

?

?t

?

u c2

?x

u2

1? c2

显然 t1? > t2?,车前部雷击在先.

2.根据相对论时空观讨论下列说法:

(1)在一个惯性系中两个同时的事件,在另一个惯性系一定 不同时;

答:不一定.

?t?

?????t
?

?cu2 ?x???

∵?t=0, ∴只有 ?x≠0,才能?t'≠ 0

(2)在一个惯性系中两个不同时的事件,满足什么条 件在另一个惯性系为同时;

答:在一个惯性系中两个不同时的事件,在另一个惯

性系能成为同时,即 ?t? ?0,

由于

?t?

?????t
?

?cu2 ?x???

??t?u?x cc

即 ?x?c2?t u

?课堂计算题
例1:静止的?介子的平均寿命为2×10-6s,今在8km高空, 由于? 介子的衰变产生一个速度为0.998c的 ?子,试从两 个角度 (尺缩和钟慢)论证 ?子有无可能到达地面.
解法1:地面参考系中粒子寿命变长
?t ? ?0
1?u2 c2
l ??t?u? 2?10?6 ?0.99c8?9.47?103m?8km 1?0.9928
所以:有可能到达地面.

解法2:粒子参考系中, l??l0 1?u c2 2?8? 1301?0 .99 2?8 5 .0? 5 12m 0 粒子落地的飞行时间至少需要,
? ? t?? lv ?? 0 .9 5 .0 ? 9 ? 3 1 5 ? 8 1 20 8? 0 1 .6? 1 9? 6 0 s?0
所以:有可能到达地面.

例2:有两个事件在惯性系S中同时发生,在x 轴上相
距1000米.而在另一惯性系S′(沿X轴方向相对S系运 动)中测得这两个事件发生的地点相距2000米.求在 S′系中测得这两个事件的时间间隔?

解:因为在S 系中 ?x?100m0,?t ?0 x ? ? x ? ut

则在S′系中 ?x'?200?0 ?x
1?u2 c2

u2 1? c2

得: u? 3c ?0.866c 2
所以:

t? ?

t?

u c2

x

u2

1? c2

?t'??????t ?

?cu2 ?x????

? c2

u?x 1?u2

c2

??5.77?1?06s

例3.甲乙直线距离L,在某一时刻从两地同时各开出一 列

火车.设有一飞船从甲到乙的方向在高空中掠过,速度为

u.问:宇航员观察到哪一列火车先开?两列火车开出的时

间间隔为多少?

飞船S'



?x?L?乙0

? ? 解:取地面为S系,则 x 乙 ?x 甲 ?x?L , t?0

飞船S'对地的速度u ,飞船上观查到两列车开出间间隔

?t'?t乙?t甲 ?u?0

u

?t' ?

?t ? 1?

c2 u2

?x c2

?

?

c2

u?x 1? u2 c2

??t'?0 乙地先于甲地发车.

u

t? ? t ? c2 x

1?

u2 c2

例4.一体积为V0质量为m0的立方体沿其一棱边的方向相 对与观查者A以速度v运动。求:观查者A测其密度是多 少?

解:设立方体的长.宽.高分别以X0.Y0.Z0表示, 观察 者A 测得立方体长.宽.高分别是

相应体积为

v2 X?X 0 1?c2 , Y?Y 0 ,

Z?Z 0

v 2

v 2

v 2

V ? X? Y X 01 Z ? c 2 Y 0 Z 0? X 0 Y 0 Z 01 ? c 2? V 01 ? c 2

观察者A测得立方体的质量是

m? m0(

1?

v2 c2

)?1

故相应密度为

?

?

m V

?

V

0

m0 (1 ?

v c

2 2

)

例5:一电子以v =0.99c的速率运动.试求:(1) 电子的

总能量是多少?(2) 电子的经典力学的动能与相对论

动能之比是少?(电子静止质量me= 9.1×10-31kg)

解:

(1)E?m2c?me

c2 ?5.8?10 ?13J 1?v c2 2

(2)E K0?1 2m ev2?4.0? 11? 0 1J 4

??

??

EK?m2c?mec2??? ???

1 1?v c2 2

?1??mec2?4.99 ?10 ?13J ???

?EK0 ?8.0 ? 41?02 Ek

练习题:
1 一短跑选手,在地球上以 10s的时间跑完 100 m ,在飞行速率为0.99c的飞船中观测者看 来,这个选手跑了多长时间和多长距离(设飞 船沿跑道的竞跑方向相同)?
2 (1)如果把电子由静止加速到速率为0.1c, 须对它做多少功?
(2)如果将电子由速率为0.8c加速到 0.9c, 又须做做多少功?


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