山东省济南市2017届高三一模考试数学(理)试题 Word版含答案.doc

高考模拟考试

理科数学
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A, B 独立, 那么 P(AB)=P(A)· P(B).

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? ? x (A)[-3,1]

? x?2 ? ? 0? , B ? ?x ? 4 ? x ? 1?,则A ? B= ? x?3 ?
(B)[-4,2] (C)[-2,1] (D)(-3,1]

(2)若复数 z 满足 (A) 1 ? 3i

?
(B)

3 ? i ? z =4i ,其中 i 为虚数单位,则 z=

?

3 ?i

(C)

3 ?i

(D) 1 ? 3i

(3)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在 班里开展了一次诗词默写比赛,班里 40 名学生得分数据的茎叶图 如右图. 若规定得分不小于 85 分的学生得到 “诗词达人” 的称号, 小于 85 分且不小于 70 分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学 生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不 同进行分层抽样抽选 10 名学生, 则抽选的学生中获得 “诗词能手” 称号的人数为 (A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (4)在 ?ABC中,AC ? 13, BC ? 1, B ? 60o ,则 ?ABC 的面积为 (A)

3 (B)2

(C) 2 3

(D)3

? x ? 2 y ? 0, y ? 则z ? (5)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 的最小值等于 x ?3 ? x ? 2 y ? 2 ? 0. ?
(A) ?4 (B) ?2 (C) ?

1 (D)0 8

(6)设 x∈R,若“ x ? a ? 1? a ? R ? ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件,则 a 的取值 范围是 (A) (C)

? ??, ?3? ??2, ???
2? ? ?3,

(B)

? ??, ?3? ??2, ???

(D)[-3,2]

(7)我国古代数学家刘徽在学术研究中,不迷信古人,坚持实事 求是.他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑, 为了证实自己的猜测,他引入了一种新的几何体“牟合方盖” : 以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割,然后剔除 外部,剩下的内核部分.如果“牟合方盖”的主视图和左视图 都是圆,则其俯视图形状为

(8)若

1 1 ? ? 0, 有四个不等式: ① a 3 ? b3 ; ② loga?2 3 ? logb?1 3 ; ③ b ? a ? b ?a ; a b

④ a3 ? b3 ? 2ab2 .则下列组合中全部正确的为 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①④

x2 y 2 (9)已知 O 为坐标原点,F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左 a b
焦点, A, B 分别为左、 右顶点, 过点 F 做 x 轴的垂线交双曲线于点 P, Q,连结 PB 交 y 轴于点 E,连结 AE 交 QF 于点 M,若 M 是线段 QF 的中点,则双曲线 C 的离心率为 (A) 2 (B)

5 2

(C) 3

(D)

7 2

(10)设函数 f ? x ? ? ? 取值范围是 (A) ? ?

2 ? ?ax ? x, x ? 0, ? 1 1? 当 x ? ? , ? 时恒有 f ? x ? a ? ? f ? x ? ,则实数 a 的 ? 2 2 2? ? ax ? x , x ? 0. ? ? ?

? 1? 5 1? 5 ? , ? 2 ? ? 2 ?

(B) ? 1?, ?

? ?

1? 5 ? ? 2 ? ?

(C) ? ?

? 1? 5 ? ,0? ? ? 2 ?

(D) ? ?

? 1? 5 1 ? ,? ? 2? ? 2 ?

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)函数 f ? x ? ?

2x ?

1 3 的定义域为____________. ? 2 x ?1

(12)执行下边的程序框图,当输入的 x 为 2017 时,输出的 y=___________.

(13)已知 ?1 ? 2 x ?

n

则展开式中所有 ? n ? N ? 的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等,
*

项的系数和为_____________. (14)在平面直角坐标系内任取一个点 P ? x, y ? 满足 ?

?0 ? x ? 2 1 ,则点 P 落在曲线 y ? 与直 x ?0 ? y ? 2

线 x ? 2, y ? 2 围成的阴影区域(如图所示)内的概率为__________.

(15)如图,正方形 ABCD 的边长为 8,点 E,F 分别在边 AD,BC 上,且 AE=3ED,CF=FB,如 果对于常数 m, 在正方形 ABCD 的四条边上有且只有 6 个不同的点 P, 使得 PEgPF =m 成立, 那么 m 的取值范围是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)(本小题满分 12 分)

uur uuu r

x x? x ? 已知函数 f ? x ? ? ? sin ? cos ? ? 2 3 cos2 ? 3 . 2 2? 2 ?
(I)求 f ? x ? 的单调区间; (II)求 f ? x ? 在?0,? ? 上的值域. (17)(本小题满分 12 分)

2

如图, 正四棱台 ABCD ? A 下底面中心为 O, 1B 1C1D 1 的高为 2, 上、下底面边长分别为 2 和 4. (I)证明:直线 OC1 / / 平面 ADD1 A 1; (II)求二面角 B ? CC1 ? O 的余弦值. (18)(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, S3 ? 9,并且a2 , a5 , a14 成等比数列, Sn 为其前 n 项和, 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ?

3n ?1 ? 3 . 2

(I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
2 an ? 8 log3 bn (Ⅱ)若 cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 M n . an?1bn

(19)(本小题满分 12 分) 2017 年 1 月 25 日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南, 两种车型采用分段计费的方式, Mobike Lite 型(Lite 版)每 30 分钟收费 0.5 元 (不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算); Mobike(经 典版)每 30 分钟收费 1 元(不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立 的到租车点租车骑行(各租一车一次). 设甲、 乙、 丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 , , 三人租车时间都不会超过 60 分钟.甲、乙均租用 Lite 版单车,丙租用经典版单车. (I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率; (Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

3 2 1 , 4 3 2

(20)(本小题满分 13 分)

1 2 ax ? ? a ? 1? x ? ln x,其中a ? R . 2 (I)当 a ? 0 时,讨论函数 f(x)的单调性;
已知函数 f ? x ? ? (II)当 a ? 0 时,设 g ? x ? ? ? xf ? x ? ? 2 ,是否存在区间 m, n ? ?1, ??? 使得函数 g ? x ? 在区 间 ?m, n? 上的值域为 ? ?k ? m ? 2 ? , k ? n ? 2 ?? ? ?若存在,求实数 k 的取值范围;若不存在,请 说明理由. (21)(本小题满分 14 分) 设椭圆 C :

?

?

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,定义椭圆的“伴随圆”方程为 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 ;若抛 2 a b

物线 x2 ? 4 y 的焦点与椭圆 C 的一个短轴端点重合,且椭圆 C 的离心率为

6 . 3

(I)求椭圆 C 的方程和“伴随圆”E 的方程; (II)过“伴随圆”E 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PA,PB,A,B 为切点,延长 PA 与“伴 随圆”E 交于点 Q,O 为坐标原点. (i)证明:PA⊥PB; (ii)若直线 OP,OQ 的斜率存在,设其分别为 k1 , k2 ,试判断 k1 ? k2 是否为定值,若是,求出 该值;若不是,请说明理由.


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