北师大版必修4高中数学第一章余弦函数诱导公式教案2

§ 4 正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式 余弦函数 一、教学目标: 1、 知识与技能 (1)了解任意角的余弦函数概念; (2)理解余弦函数的几何意义; (3)掌握余弦函数的诱导公式; (4)能利用五点作图法作出余弦函数在[0,2π]上的图像; (5)熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质; (6)能区别正、余弦函数之间的关系; (7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2、 过程与方法 类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础 上,将三角函数定义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数 的诱导公式,自主探究出余弦函数的诱导公式;能学以致用,尝试用五点作图 法作出余弦函数的图像,并能结合图像分析得到余弦函数的性质。 3、 情感态度与价值观 使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立 数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能 力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转 化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不 舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点:余弦函数的概念和诱导公式,以及余弦函数的性质。 难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。 三、学法与教学用具 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来 的,从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的 概念作比较,得出余弦函数的概念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出 余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出 y=cosx 在[0,2π]上的图像,并由 图像直观得到其性质。 教学用具:投影机、三角板 第一课时 余弦函数的概念和诱导公式 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sinα= 邻边 。同样 斜边 地,当我们把角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。 下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本 P30—P31. 【探究新知】 1.余弦函数的定义 在直角坐标系中,设任意角 α 与单位圆交于点 P(a,b), 那么点 P 的横坐标 a 叫做角 α 余弦函数,记作:a=cosα(α∈R). y 通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示 为 y=cosx(x∈R). 如图,有向线段 OM 称为角 α 的余弦线。 其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角 α 的终边上任意一点 P 的坐标(a,b),求出|OP|,记为 r,则 角 α 的正弦和余弦分别为:sinα= b a ,cosα= . r r O r P(a,b) M x 在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。 2.余弦函数的诱导公式 从右图不难看出,角 α 和角 2π+α,2π-α,(-α)的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等; 角 α 和角 π+α,π-α 的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数, 所以,它们的余弦函数值互为相反数。 由此归纳出公式: cos(2π+α)=cosα P(x,y) M M’ o P’ x y π +α -α π -α α cos(-α) = cosα cos(2π-α) =cosα cos(π+α) =-cosα cos(π-α) =-cosα 请同学们观察右图,角 α 与角 ? +α 的正弦、余弦函数值有什么关 2 系?由图可知,Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点 P 的横坐标 cosα 与点 P’的纵坐标 sin( +α) 相等;点 P 的纵坐标 sinα 与点 P’的横坐标 cos( sin( ? 2 ? +α)=cosα 2 sin( cos( 问题与思考:验证公式 ? +α)=cosα 2 ? +α)=-sinα 2 ? +α)互为相反数。我们可以得到: 2 ? +α)=-sinα 2 y 2 x cos( 以上公式统称为诱导公式,其中 α 可以是任意角。利用诱导公式,可以将任 意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1.已知角 α 的终边经过点 P(2,-4)(如图),求角 α 的余弦 -4 函数值。 解:∵x=2,y=-4 , ∴ r=|OP|=2 5 ∴cosα= x 5 = r 5 P 例 2.如果将例 1 中点 P 的坐标改为(2t,-4t)(t≠0),那么怎样求角 α 的余 弦函数值。 解:(提示:在 r=|OP|=2 5 |t|中,分 t<0 和 t>0 两种情况,见教材 P31) 例 3.求值: (1)cos 11? 6 (2)cos 9? 8 (3)cos(- 3? ) 4 (4)cos(-1650° ) 解:(1)cos (5)cos(-150°15’) 11? ? ? 3 =cos(2π- )=cos = 6 6 6 2 (2)cos 9? ? ? =cos(π+ )=-cos ≈-0.9239 8 8 8 (3)、(4)、(5)略,见教材 P33 例 4.化简: 解:(略) 2.学生练习 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思 cos?2? ? ? ? cos?3? ? ? ? cos?? ? ? ? ? cos?3? ? ? ? cos?? ? ? ? ?

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