海南省嘉积中学10-11学年度高一第一学期质量监测(数学A)答案

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2010-2011 学年度第一学期高中教学质量监测(四)
高一数学科答题卷 (A 卷)参考答案

一、选择题 : B D C D A C B C B A C A

二、填空题:13、 1 ; 2

14、 ? 1 a ? 3 b ; 44

15、 ? 3 ; 2

16、①②④

三、解答题

17、(本题满分 10 分)已知平面直角坐标系中,点 O 为原点, A(?3,?4) , B(5,?12) .

(Ⅰ)求 AB 的坐标及 AB 的值;(Ⅱ)求 OA ? OB 及 OA 在 OB 方向上的投影.

解:(Ⅰ) AB ? (8,?8), AB ? 82 ? (?8)2 ? 8 2

4分

(Ⅱ) OA?OB ? (?3,?4)?(5,?12) ? (?3)?5 ? (?4)?(?12) ? 33

又 OB ? 52 ? (?12)2 ? 13 ,∴ OA 在 OB 方向上的投影为: OA? OB ? 33

6分

OB 13

18、(本题满分 12 分)已知向量 a ? (3,4) , b ? (2,?1) , c ? (1 , 3) 34

(Ⅰ)求证: c //(2a ? b) ; (Ⅱ)当 (a ? xb) ? (a ? b) 时,求实数 x 的值.

解:(Ⅰ)证明:∵ c ? (1 , 3) ,2a ? b ? (4,9) ,∴ 1 ? 9 ? 4 ? 3 ? 0 ? c //(2a ? b)

6

34

3

4



(Ⅱ)∵ a ? xb ? (3 ? 2x,4 ? x) , a ? b ? (1,5)

∴ (a ? xb) ? (a ? b) ? (3 ? 2x) ?1? (4 ? x) ? 5 ? 0 ? x ? 23

6分

3

19、(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 3 sin 2x ? 2sin2 x .

(Ⅰ)求 f (? ) 的值; 4

(II)求函数 f (x) 的零点的集合.

解:(Ⅰ) f (? ) ? 3 sin 2 ? ? ? 2sin2 ? ? 3 sin ? ? 2sin2 ? ? 3 ?1

4分

4

4

4

2

4

(II)∵ f (x) ? 3 sin 2x ? 2sin2 x ? 2 3 sin x cos x ? 2sin2 x ? 2sin x( 3 cos x ? sin x)

∴由 f (x) ? 0 ? 2sin x( 3 cos x ? sin x) ? 0

2分

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? sin x ? 0 或 3 cos x ? sin x ? 0 ? sin x ? 0 或 tan x ? 3

2



? x ? k? 或 x ? k? ? ? ,k ? Z

2分

3

即函数

f

(x)

的零点的集合为 ??x ?

|

x

?

k?或 x

?

k?

?

? 3

,k

?

Z

? ?

?

2分

20、(本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角?, ? ,

它们的终边分别与单位圆交于 A, B 两点,已知 A, B 的纵坐标分别为 2 、 2 5 ; 10 5
(Ⅰ)求 tan(? ? ? ) 的值;(Ⅱ)求? ? 2? 的值.

解:依题得 sin? ? 2 , sin ? ? 2 5 ,

2分

10

5

y
B

A

βα

0

x

∵?, ? 是锐角,∴ cos? ? 1 ? ( 2 )2 ? 7 2 ,cos? ? 1? ( 2 5 )2 ? 5

2分

10 10

5

5

∴ tan? ? 1 , tan ? ? 2

2分

7

(Ⅰ) tan(?

? ? ) ? tan? ? tan ? 1? tan? tan ?

1?2

?

1

7 ?

1

?

2

?3

2分

7

(Ⅱ) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? tan(? ? ? ) ? tan ? ? 3 ? 2 ? ?1

2分

1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 3? 2

∵?, ? 是锐角,∴ 0 ? ? ? 2? ? 3? ,∴? ? 2? ? 3?

2分

2

4

21、(本题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f (x) 的最大值以及相应的 x 的集合;

(Ⅲ)将函数 y ? cosx 的图像作怎样变换才能得到函数 f (x) 的图像?











f (x) ? cos4 x ? 2sin x cos x ? sin 4 x ? (cos2 x ? sin2 x)(cos2 x ? sin2 x) ? 2sin x cos x

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? (cos2 x ? sin2 x) ? 2sin x cos x ? cos2x ? sin 2x ? 2 cos(2x ? ? ) 4
4分

∴ f (x) 最小正周期为T ? ?

1分

(Ⅱ)当 2x ? ? ? 2k? ,即 x ? k? ? ? , k ? Z 时, f (x) 取得最大值 2

2分

4

8

相应的

x

的集合为

??x ?

|

x

?

k?

?

? 8

,k

?

Z

? ?

?

2分

(Ⅲ)①把函数 y ? cosx 的图像向左平移 ? 个单位,得到 y ? cos(x ? ? ) 的图像;

4

4

②再把 y ? cos(x ? ? ) 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),

4

2

得到 y ? cos(2x ? ? ) 的图像; 4

③最后把函数 y ? cos(2x ? ? ) 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 4

不变),便得到函数 f (x) ? 2 cos(2x ? ? ) 的图像.

3分

4

22、(本题满分 12 分)已知 O 为坐标原点, OA ? (2 cos2 x,1), OB ? (1, 3 sin 2x ? a)

( x ? R, a ? R , a 是常数),设 f (x) ? OA?OB . (Ⅰ)求函数 f (x) 关系式;

(Ⅱ)已知函数

f

(x)

在区间

x

?

???0,

? 2

? ??

上的最小值为

?1,求

a

的值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求函数 f (x) 的单调减区间.

解:(Ⅰ)∵ OA ? (2 cos2 x,1) , OB ? (1, 3 sin 2x ? a)

∴ f (x) ? OA?OB ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a

2分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 y ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a

? 1? cos 2x ? 3 sin 2x ? a

? cos 2x ? 3 sin 2x ? a ?1

2分

? 2(1 cos 2x ? 3 sin 2x) ? a ?1

2

2

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? 2(sin ? cos 2x ? cos ? sin 2x) ? a ?1

6

6

? 2sin(2x ? ? ) ? a ?1

2分

6



x

?

???0,

? 2

? ??

,∴

2

x

?

? 6

?

?? ?? 6

,

7? 6

? ??



∴当 2x ? ? 6

?

7? 6

,即 x

?

? 2

时,

ym in

?

2? (? 1) ? a ?1 ? 2

a

,∴ a ? ?1

3分

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 f (x) ? 2sin(2x ? ? ) , 6

∴由 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 3? ? 2k? ? ? ? k? ? x ? 2? ? k? ,k ? Z

2

62

6

3

得函数 f (x) 的单调减区间为[? ? k? , 2? ? k? ](k ? Z )

3分

6

3

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