含参数问题回避分类讨论的技巧(学生版)

培优教案

含参数问题回避分类讨论的技巧
分类讨论思想是一种重要的数学思想,它对于培养学生思维的条理性和深刻性有着重要的作 用,能体现“着重考察数学思维能力”的要求,备受命题者的青睐. 但分类讨论问题覆盖的知识面 广,具有较强的逻辑性、综合性、探究性的特点. 但有些分类讨论问题,若能认真地挖掘问题内在 的特殊性,灵活运用解题策略和方法,有时简化或避免分类讨论,使解题过程简捷且降低了问题的 难度,提高了解题的效率,下面介绍几种回避分类讨论的技巧. 一、挖掘隐含条件,回避分类讨论 在含有参数的不等式中,参数的范围一般不直接给出而隐含与问题之中,解题时应仔细全面观 察,挖掘题目中的隐含条件,回避繁琐的分类讨论,是问题简单化. 例 1、已知二次函数 f ? x ? ? ?

1 2 x ? x ,是否存在实数 m, n?m ? n? ,使 f ?x ? 的定义域和值域 2

分别是 ?m, n ? 和 ?3m,3n? ?如果存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由.

例 2、 f ?x? ? loga 2x 2 ? x 在区间 ? 0, ? 内恒有 f ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 的单调递增区间是( ).

?

?

? ?

1? 2?

A 、 ? ? ?, ?

? ?

1? ? 4?

B、 ? ?

? 1 ? ,?? ? ? 4 ?

C、 ?0,???

D 、 ? ? ?, ?

? ?

1? ? 2?

二、分离参数变量,回避分类讨论 在含有参数的方程或不等式中,若能通过适当的变形,使方程或不等式的一端只含有参数的解 析式,另一端是无参数的主变量函数,下面只需解决有关函数的至于问题,回避繁琐的分类讨论, 从而是问题简单化. 例 3、若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 2
2

? ?

1? ?

的最小值是( A、0

). B、 ? 2 C、 ?

5 2

D、 ? 3

1

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例 4、已知定义在 ?0,1? 上的函数 f ? x ? ?

2x ,当 ? 为何值时,函数 g ?x ? ? f ?x ? ? ? 在 ?0,1? 4x ?1

上有零点. 三、巧用图像,回避分类讨论 对某些分类讨论问题,可利用题设条件具有的某种特殊数量关系或图形具备的某种特点,构造 满足题设条件的特殊图形,进行数形结合,可起到简化讨论的作用. 例 5、已知 f ? x ? ?

2x ? a ( x ? R )在区间 ?? 1,1?上是增函数. 求实数 a 的取值范围. x2 ? 2

2 2 例 6、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,试求式方程 loga ?x ? ak? ? loga2 x ? a 有解的实数 k 的取值范

?

?

围.

四、调换主元,回避分类讨论 矛盾的双方既对立又统一,在一定的条件下是可以转化的,对于存在两个或两个以上变量的 数学问题,若我们能打破思维定势,换一个角度,调换主元,转变方位,以“参数”反客为主,常 常能回避讨论,可得到意想不到的效果,使问题能更迅速得已解决. 例 7、已知函数 f ?x ? ? x ? ax ? 2ax ? 3a ?a ? R ?.证明:对任意 a ? R 都存在 x ? ?? 1,4? ,
3 2

使得 f ?x ? ? f ??x ? 成立.

2

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例 8、已知 f ? x ? ?

2x ? a ?x ? R ?在区间 ?? 1,1?上是增函数. x2 ? 2 1 设关于 x 的方程 f ? x ? ? 的两个非零实数根为 x1 , x 2 ,试问:是否存在实数 m ,使得不等式 x

m2 ? tm ? 1 ? x1 ? x2 对任意 a ? ?? 1,1? 及 t ? ?? 1,1? 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存
在,请说明理由.

五、着眼整体,回避分类讨论 整体思想,就是将问题看成一个整体,注意问题的整体结构和结构变化的思维过程. 所谓整体 处理,就是采用分解、组合、改造等手段,将问题的原有整体结构变化为一种新的整体结构,从而 顺利地实现解决问题的目的. 例 9、函数 f ?x? ? a x ? loga x ?a ? 0, a ? 1? 在 ?1,2? 上的最大值和最小值之和为 loga2+6,则 ) B、 1 4 C、2 D、4 1 A、 2 的值为 (

六、导数转化,回避分类讨论 导数是研究函数性质的重要工具,有些含参数的问题,直接用分类讨论去求解,可能很复杂, 若利用导数去进行转化,可以回避分类讨论. 例 10、 若函数 f ?x? ? loga x 3 ? ax ?a ? 0, a ? 1? 在区间 ? ? 围是( ). A、 ? ,1?

?

?

? 1 ? 则 a 的取值范 ,0 ? 上单调递增, ? 2 ?

?1 ? ?4 ?

B、 ? ,1?

?3 ? ?4 ?

C、 ? ,?? ?

?9 ?4

? ?

D、 ?1, ?

? 9? ? 4?

以上几种方法,是回避分类讨论常用方法. 但有其局限性,只在特定的条件下可收到事半功倍 的效果. 大家可以去尝试. 但分类讨论思想对于启迪学生的思维是其他数学思想方法无法替代的, 这里不是去逃避分类讨论,而是对分类讨论思想的一种再认识、再升华;同时也是培养学生的一种 处理问题的求简意识,避免处理问题时的随意性和盲目性. 从而提高学生的解题效率.
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含参数问题回避分类讨论的技巧训练题
1、设 a ? 1 ,函数 f ?x ? ? loga x 在区间 ?a,2a? 上的最大值与最小值之差为 A、 2 2 B、 2 C、 2

1 ,则 a ? ( 2

).

D、4

2、若对于任意 x ? R ,不等式 x ? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
A、 a ? ?1 B、 a ? 1 C、 a ? 1

).
D、 a ? 1

3、设 a ? 1 ,且 m ? log a a 2 ? 1 , n ? loga ?a ? 1? , p ? loga ?2a ? ,则 m , n , p 的大小关系为 ( ). A、 n ? m ? p B、 m ? p ? n1 C、 m ? n ? p D、 m ? n ? p

?

?

4、已知函数 f ? x ? ? x 2 ?

a ( x ? 0, a ? R ). x

(1)判断函数 f ?x ? 的奇偶性; (2)若 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围.

5 、已知函数 f ?x ? ? x 3 ? ax2 ? 2ax ? 3a ( a ? R ) . 证明:对于 ?a ? R 都 ?x ? ?? 1,4? ,使得

f ?x ? ? f ??x ? 成立.

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