2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.1基本不等式讲义新人教A版

2.2 基本不等式
最新课程标准:掌握基本不等式 ab≤a+2 b(a,b≥0).结合具体实例,能用基本不等 式解决简单的最大值或最小值问题.

知识点 基本不等式 (1)重要不等式:对于任意实数 a、b,都有 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立.

(2)基本不等式:

ab≤a+2 b(a>0,b>0),当且仅当

a=b

a+b 时,等号成立.其中 2 和

ab

分别叫做正数 a,b 的算术平均数和几何平均数.

a+b 状元随笔 基本不等式 ab≤ 2 (a,b∈R+)的应用:

(1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a>0,b>0,且 a +b=M,M 为定

值,则

ab≤M4

2
,当且仅当

a=b

时等号成立.即:a

+b=M,M

为定值时,(ab)max=M4

2
.

(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a>0,b>0,且 ab =P,P 为定值,

则 a +b≥2 P,当且仅当 a =b 时等号成立.

[基础自测]

1.已知 a,b∈R,且 ab>0,则下列结论恒成立的是( )

A.a2+b2>2ab

B.a+b≥2 ab

11 2

ba

C.a+b> ab D.a+b≥2

解析:对于 A,当 a=b 时,a2+b2=2ab,所以 A 错误;对于 B,C,虽然 ab>0,只能说

明 a,b 同号,当 a,b 都小于 0 时,B,C 错误;对于 D,因为 ab>0,所以ba>0,ab>0,所以ba

a +b≥2

ba ba a·b,即a+b≥2 成立.

答案:D

2.若 a>1,则 a+a-1 1的最小值是(

)

A.2 B.a

C.a2-a1 D.3

解析:a>1,所以 a-1>0,

所以 a+a-1 1=a-1+a-1 1+1≥2 ?a-1?·a-1 1+1=3.

当且仅当 a-1=a-1 1即 a=2 时取等号.

答案:D

3.下列不等式中,正确的是( )

A.a+4a≥4 B.a2+b2≥4ab

C. ab≥a+2 b D.x2+x32≥2 3

解析:a<0,则 a+4a≥4 不成立,故 A 错;a=1,b=1,a2+b2<4ab,故 B 错,a=4,b

=16,则 ab<a+2 b,故 C 错误;由基本不等式可知 D 项正确.

答案:D 4.已知 x,y 都是正数. (1)如果 xy=15,则 x+y 的最小值是________. (2)如果 x+y=15,则 xy 的最大值是________.

解析:(1)x+y≥2 xy=2 15,即 x+y 的最小值是 2 15;当且仅当 x=y= 15时取

最小值.

(2)xy≤???x+2 y???2=???125???2=2425,



xy

225 的最大值是 4 .

当且仅当 x=y=125时 xy 取最大值.

答案:(1)2 15 (2)2425

第 1 课时 基本不等式

题型一 对基本不等式的理解[经典例题] 例 1 (1)下列不等式中,不正确的是( ) A.a2+b2≥2|a||b| B.ab2≥2a-b(b≠0)
C.???ab???2≥2ba-1(b≠0) D.2(a2+b2)≥(a+b)2
(2)给出下列命题: ①若 x∈R,则 x+1x≥2;

②若 a<0,b<0,则 ab+a1b≥2;

yx ③不等式x+y≥2

成立的条件是

x>0



y>0.其中正确命题的序号是________.

【解析】 (1)A 中,a2+b2=|a|2+|b|2≥2|a||b|,所以 A 正确.由 a2+b2≥2ab,得

a2≥2ab-b2.B 中,当 b<0 时,ab2≤2a-b,所以 B 不正确.C 中,b≠0,则???ab???2≥2ba-1,所 以 C 正确.D 中,由 a2+b2≥2ab,得 2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,所以 D 正确.

1.举反例、基本不等式? 逐个判断.

2.明确基本不等式成立的条件? 逐个判断.

【答案】(1)B

【解析】(2)只有当 x>0 时,才能由基本不等式得到 x+1x≥2 x·1x=2,故①错误;

当 a<0,b<0 时,ab>0,由基本不等式可得 ab+a1b≥2 ab·a1b=2,故②正确;由基本不

等式可知,当yx>0,xy>0 时,有yx+xy≥2 yx·xy=2 成立,这时只需 x 与 y 同号即可,故③

错误. 基本不等式的两个关注点 (1)正数:指式子中的 a,b 均为正数, (2)相等:即“=”成立的条件. 【答案】(2)②

跟踪训练 1 设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) A.a<b< ab<a+2 b

B.a< ab<a+2 b<b

C.a< ab<b<a+2 b

D. ab<a<a+2 b<b

解析:0<a<b? a2<ab<b2? a< ab<b,0<a<b? 2a<a+b<2b? a<a+2 b<b,又 ab<a+2 b,所

以 a< ab<a+2 b<b.

答案:B

利用基本不等式时先要确定成立的条件,有的要适当变形处理. 题型二 利用基本不等式求最值[教材 P45 例 2] 例 2 已知 x,y 都是正数,求证:

(1)如果积 xy 等于定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P;

(2)如果和 x+y 等于定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值14S2.

【证明】 因为 x,y 都是正数,所以x+2 y≥ xy.

(1)当积

xy

等于定值

P

x+y 时, 2 ≥

P,

所以 x+y≥2 P,

当且仅当 x=y 时,上式等号成立.于是,当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P. (2)当和 x+y 等于定值 S 时, xy≤S2,

所以 xy≤14S2,

当且仅当 x=y 时,上式等号成立.于是,当 x=y 时,积 xy 有最大值14S2.

积是定值,和有最小值. 和是定值,积有最大值.

教材反思 1.利用基本不等式求最值的策略

2.通过消元法利用基本不等式求最值的方法

消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求

解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.

特别提醒:利用基本不等式求函数最值,千万不要忽视等号成立的条件.

跟踪训练 2 (1)已知 x>0,y>0,且 x+y=8,则 (1+x)(1+y)的最大值为( )

A.16

B.25

C.9 D.36

(2)若正实数 x,y 满足 x+2y+2xy-8=0,则 x+2y 的最小值( )

A.3 B.4

C.92 D.121

解析:(1)因为 x>0,y>0,且 x+y=8,

所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+???x+2 y???2=9+42=25,

因此当且仅当 x=y=4 时,

(1+x)·(1+y)取最大值 25.

(2)因为正实数 x,y 满足 x+2y+2xy-8=0,

所以 x+2y+???x+22y???2-8≥0.

设 x+2y=t>0,

所以 t+14t2-8≥0,

所以 t2+4t-32≥0,

即(t+8)(t-4)≥0,

所以 t≥4,

故 x+2y 的最小值为 4.

答案:(1)B (2)B

状元随笔

1.展开(1+x)(1+y)? 将 x+y=8 代入? 用基本不等式求最值.

2.利用基本不等式得 x+2y+???x+22y???2-8≥0? 设 x+2y=t>0,解不等式求出 x+2y

的最小值.

易错点 利用基本不等式求最值

例 若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( )

24

28

A. 5

B. 5

C.5 D.6

【错解】 由 x+3y=5xy? 5xy≥2 3xy, 因为 x>0,y>0,所以 25x2y2≥12xy,即 xy≥2152.

所以 3x+4y≥2 12xy≥2 12·1225=254,

当且仅当 3x=4y 时取等号,



3x+4y

24 的最小值是 5 .

错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式,等号成立的条件必须一致.

【正解】



x+3y=5xy

13 可得5y+5x=1,所以

3x+4y=(3x+4y)???51y+53x???=95+45+35xy

+152xy≥153+2 35xy·152xy=153+152=5,

当且仅当 x=1,y=12时取等号, 故 3x+4y 的最小值是 5. 答案:C

课时作业 8
一、选择题 1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0,其中能使ba+ab≥2 成 立的条件有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

ba

ba

解析:当a,b均为正数时,a+b≥2,故只须

a、b

同号即可,∴①③④均可以.

答案:C

2.已知 t>0,则 y=t2-4tt+1的最小值为(

)

A.-1 B.-2

C.2 D.-5

解析:依题意得 y=t+1t-4≥2 t·1t-4=-2,等号成立时 t=1,即函数 y=

t2-4tt+1(t>0)的最小值是-2.

答案:B 3.若 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( )

A.ab≤12

B.ab≥12

C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3

解析:∵a2+b2≥2ab,

∴(a2+b2)+(a2+b2)≥(a2+b2)+2ab,

即 2(a2+b2)≥(a+b)2=4,

∴a2+b2≥2.

答案:C

4.若 a,b 都是正数,则???1+ba??????1+4ba???的最小值为(

)

A.7 B.8

C.9 D.10

解析:因为 a,b 都是正数,所以???1+ba??????1+4ba???=5+ba+4ba≥5+2 仅当 b=2a>0 时取等号.

ba·4ba=9,当且

答案:C

二、填空题 5.不等式 a2+1≥2a 中等号成立的条件是________. 解析:当 a2+1=2a,即(a-1)2=0 时“=”成立,此时 a=1. 答案:a=1 6.设 a+b=M(a>0,b>0),M 为常数,且 ab 的最大值为 2,则 M 等于________. 解析:因为 a+b=M(a>0,b>0),

由基本不等式可得,ab≤???a+2 b???2=M42, 因为 ab 的最大值为 2, 所以M42=2,M>0,所以 M=2 2.

答案:2 2 7.已知 x>0,y>0,且1y+3x=1,则 3x+4y 的最小值是________.

解析:因为 x>0,y>0,1y+3x=1,

所以 3x+4y=(3x+4y)???1y+3x???=13+3yx+1x2y≥13+3×2 2y=5 时取等号),
所以(3x+4y)min=25. 答案:25 三、解答题 8.已知 x<54,求 f(x)=4x-2+4x1-5的最大值.

x 4y y· x =25(当且仅当

x=

解析:因为 x<54,所以 4x-5<0,5-4x>0.

f(x)=4x-5+3+4x1-5=-???5-4x+5-14x???+3

≤-2 ?5-4x?·5-14x+3=1.

当且仅当 5-4x=5-14x时等号成立, 又 5-4x>0, 所以 5-4x=1,x=1. 所以 f(x)max=f(1)=1.

9.已知函数 f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,求 a 的值. 解析:因为 f(x)=4x+ax≥2 4x·ax=4 a, 当且仅当 4x=ax,即 4x2=a 时,f(x)取得最小值. 又因为 x=3,所以 a=4×32=36.

[尖子生题库]

10.已知 x∈???0,12???,求函数 y=1x+1-82x的最小值.

解析:y=22x+1-82x=???22x+1-82x???·(2x+1-2x)=10+2·1-2x2x+8·1-2x2x,

而 x∈???0,12???,2·1-2x2x+8·1-2x2x≥2 16=8,

1-2x

2x

当且仅当 2· 2x =8·1-2x,

即 x=16∈???0,12???时取到等号,则 y≥18,

所以函数 y=1x+1-82x的最小值为 18.


相关文档

2019_2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.1基本不等式讲义新人教A版必修第一册
2019_2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.1基本不等式课件新人教A版必修第一册
2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.2基本不等式的应用讲义新人教A版必修第一册
2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式课件新人教A版必修1
2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式课件新人教A版
2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式章末整合课件新人教A版
2019_2020学年高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式基本不等式课件新人教A版
2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件新人教A版
2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式习题课基本不等式的应用课件新人教A版
2019_2020学年高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式章末整合课件新人教A版必修1
电脑版