教案1函数的定义域解析式值域最值(精)

1.函数的基本概念 (1 函数定义 设 A,B 是非空的 ,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 一个数 x,在集
合 B 中都有 的数 f(x 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 (2 函数的定义域、值域
在函数 y=f(x,x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的 ;与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x|x∈A}叫做函数的 显然,值域是集合 B 的子集. 基本初等函数的值域
(1y=kx+b(k≠0 的值域为 . (2y=ax2+bx+c(a≠0 的值域是当 a>0 时,值域为 ;当 a<0 时,值域为 . (3y=(k≠0 的值域是 . (4y=ax(a>0,且 a≠1 的值域是 (5y=logax(a>0,且 a≠1 的值域是 .
(6y=sinx,y=cosx,y=tanx 的值域分别为 . (3 函数的三要素: 、 和 (4 相等函数:如果两个函数的 和 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的 依据. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有: 、 、 3.映射的概念 两个集合 A 与 B 间存在着对应关系 f,而且对于 A 中的每一个元素 x,B 中总有 的一个 元素 y 与它对应,就称这种对应为从 A 到 B 的 ,记作 f:A→B.

4.映射与函数的关系 由映射的定义可以看出,映射是 概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数
的两个集合 A,B 必须是 5.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称 为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是 函数.
典例精讲
题型一:对映射的理解
[例 1](理设集合?={-1,0,1},?={-2,-1,0,1,2},如果从?到?的映射?满足条 件:对?中的每个元素?与它在?中的象?(?的和都为奇数,则映射?的个数是(
A.8 个 B.12 个 C.16 个 D.18 个 变式 1 在给定的映射 f:(x,y→(2x+y,xy(x,y∈R 作用下,点(,-的原象是(
A.(,- B.(,-或(-, C.(,- D.(,-或(-, 2 设 A={1,2,3,4,5},B={1,3,7,15,31,33},下列的对应法则 f 能构成从 A 到 B 的映射的是( A.f:x→x2+x+1 B.f:x→x+(x-12 C.f:x→2x-1-1 D.f:x→2x-1
3.集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是__________,从 B 到 A 的映射个数是__________.
[答案] D B D 9 8
题型二:判断两个函数是否相同

[例 2] 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1f(x=,g(x=; (2f(x=,g(x= (3f(x=,g(x=(2n-1(n∈N+; (4f(x=,g(x=.

(5)



(教材改编题下列各组函数中是同一函数的是(

A.y=与 y=1 B.y=与 y=x0 C.y=|x-1|与 y= D.y=|x|+|x-1|与 y=2x-1

变式:(理下列四组函数,表示同一函数的是(

A.f(x=logaax,g(x=alogax(a>0,a≠1 B.f(x=(2,g(x=

C.f(x=2x-1(x∈R,g(x=2x-1(x∈Z D.f(x=,g(t=

[答案] NNYN B D

题型三:求函数的定义域
[例 3] (1 求函数 f(x=的定义域. (2 已知函数 f(x 的定义域为[0,1],求下列函数的定义域:①f(x2;②f(-1. (3 已知函数 f [lg(x+1]的定义域是[0,9],求函数 f(2x 的定义域.
变式 :求下列函数的定义域. (1y=+; (2y=+(5x-40; (3(理设函数 f(x=ln,求函数 g(x=f+f 的定义域. 答案:1(-∞,-2∪(-2,-1]∪[1,2∪(2,+∞ 2 ∪∪. 3(-2,-1∪(1,2

题型四:求函数的值域

1. 求值域的几种常用方法

(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,如求函数

,可变为

解决

(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数

就是利用函数



的值域来求。

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数

的值域





函数值域中的一个值;若

,若 ,则由

,故所求值域是

,则得

,所以





(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数

的值域,因为

,而

,所以

,故

(5)利用基本不等式求值域:如求函数

的值域



时,

;当

时,



,则

,若

,则

,从而得所求值域是

(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数

的值域



,故函数



上递减、在

上递增、在

上递减、在

上递增,从而可得所求值域为

(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些 分段函数的值域常用此法)。

(8)三角代换法:形如 y=x+的,设 x=sint,-?t?,则 y=x+化为 y=sint+cost=sin(t+.

[例 4] 求下列函数的值域

(1)y=2x?+x (2y=|x-1|+|x+4| (3y= (4y=2x+4 (5y=x-

(6y=x?-5x?+5x?+2,x∈[-1,2]

2x2+x 的值域是

[解析] (1 采用配方法∵y=2x2+x=22-≥- ∴函数 y=

(2 解法 1:(图像法 y=

画图像如下

从图像可知:y≥5,即值域为[5,+∞.

解法 2:(单调性法

当 x≤-4 时,y=-2x-3 为减函数,∴y≥-2×(-4-3=5,

当-4<x<1 时,y=5,

当 x≥1 时,y=2x+3 为增函数,∴y≥2×1+3=5.

综上可知,函数值域为{y|y≥5}.

(3 解法 1:(反函数法 ∵y=的反函数为 y=,其定义域为{x|x≠2},∴原函数的值域是{y|y∈R 且 y≠2}. 解法 2:(分离常数法∵y===2+,其中≠0, ∴y=的值域是(-∞,2∪(2,+∞. (4 采用换元法. 设 t=≥0,则 x=1-t2,于是 y=-2t2+4t+2=-2(t-12+4(t≥0,故可知 y∈(-∞,4]. (5 利用三角代换法. 因为|x|≤1,所以设 x=cosθ,θ∈[0,π],则 y=cosθ-sinθ=cos.∵θ∈[0,π],∴≤θ+≤, 于是-1≤cos≤,即得知-≤y≤1.∴函数的值域为[-,1]. (6 导数法. y′=5x4-20x3+15x2,令 y′=0,得 5x4-20x3+15x2=0,即 5x2(x-3(x-1=0,∴x1= 0,x2=1,x3=3. 由于 x3?[-1,2],所以只要比较 f(0,f(1,f(-1,f(2.由解析式可知:f(x 最大值为 3, 最小值为-9. 故值域为[-9,3].
变式:求下列函数的值域.
(1y=4-;(2y=2x+;(4y=;(5y=;(6y=.
[解析] (1(配方法:由 3+2x-x2≥0,得-1≤x≤3.∵y=4-, ∴当 x=1 时,ymin=2.当 x=-1 或 3 时,ymax=4.∴函数值域为[2,4] (2(换元法:令 t=(t≥0,则 x=∴y=-t2+t+1=-(t-2+(t≥0 ∵当 t=即 x=时,ymax=,无最小值.∴函数值域为(-∞,]

(4 解法 1:(分离常数法:f(x==-1,因为 1+2x>1,0<<2,所以-1<-1<1,故所 求值域为(-1,1.
解法 2:(利用反函数法:由 y=得 2x=>0,所以 y∈(-1,1. (5(判别式法由 y=变形得(y-1x2-(y-1x+y-3=0 当 y=1 时,此方程无解; 当 y≠1 时,∵x∈R∴Δ=(y-12-4(y-1(y-3≥0 解得 1≤y≤,又∵y≠1 ∴1<y≤. 故函数的值域为{y|1<y≤}. (6(利用三角函数有界性由 y=,解得 sinx=,∵-1≤sinx≤1,∴-1≤≤1.

[例 4]已知函数
的值域

,若

恒成立,求

[解题思路]应先由已知条件确定 取值范围,然后再将


中的绝对值化去之后求值

[解析]依题意,

恒成立,则

,解得



所以

,从而



,所以

的值域是

变式:1.定义在 上的函数

的值域为

,则函数

的值域为(

A.

;B. ;C.

;D.无法确定

[解析] B;函数

的图象可以视为函数

得到,所以,它们的值域是一样的

的图象向右平移一个单位而

2.若函数

的值域是

,则函数

的值域是

[解析]

; 可以视为以 为变量的函数,令

,则

,所以,

数,故

的最大值是 ,最小值是 2。

在 上是减函数,在 上是增函

题型五:求函数的解析式
[例 5] (1 已知 f=x3+,求 f(x; (2 已知 f=lgx,求 f(x; (3 已知 f(x 是一次函数,且满足 3f(x+1-2f(x-1=2x+17,求 f(x; (4 已知 f(x 满足 2f(x+f=3x,求 f(x. [点评] 求函数解析式的常用方法有:(1 代入法,用 g(x 代入 f(x 中的 x,即得到 f[g(x]的 解析式;(2 拼凑法,对 f[g(x]的解析式进行拼凑变形,使它能用 g(x 表示出来,再用 x 代替两 边的所有“g(x”即可;(3 换元法,设 t=g(x,解出 x,代入 f[g(x],得 f(t 的解析式即可;(4 待定 系数法,若已知 f(x 的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值,确定相关的系数即 可;(5 赋值法,给变量赋予某些特殊值,从而求出其解析式. 变式:据已知条件求解析式. (1f(+1=x+2,试求 f(x 解析式; (2f(x 为二次函数且 f(0=3,f(x+2-f(x=4x+2.试求出 f(x 的解析式. [分析] (1 对+1 换元.(2 设 f(x=ax2+bx+c.
答案:1 f(x=x2-1,x∈[1,+∞ 2f(x=x2-x+3

题型六:分段函数及其应用
[例 6] 甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距 离都是 2km,甲 10 时出发前往乙家.如图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km 与时间 x(分的关系.试写出 y=f(x 的函数解析式.
变式:1 设 f(x=则 f[f(-1]=________. 2(理设函数 f(x=,则使得 f(x≥1 的自变量 x 的取值范围为( A .( -∞, -2]∪[0,10] B. (- ∞,- 2]∪[0,1] C. (- ∞,- 2]∪[1,10] D. [- 2,0]∪[1,10]
[答案] - A
题型七:实际问题中的应用
[例 7] 已知扇形周长为 10cm,求扇形半径 r 与扇形面积 S 的函 数关系 S=f(r,并确定其定义域.
答案:.
1.函数的单调性 (1 单调函数的定义 设函数 f(x 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2,当 x1<x2 时,

①若 ,则 f(x 在 上是增函数; ②若 ,则 f(x 在 上是减函数.

2.对函数单调性的理解
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求 函数的定义域;

(2)函数单调性定义中的 , 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 ;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;

(3)若用导数工具研究函数的单调性,则在某区间 上



是 为区间 上的增函数(减函数)的充分不必要条件。

)仅

(4)关于函数的单调性的证明,如果用定义证明

在某区间 上的单调

性,那么就要用严格的四个步骤,即①取值;②作差;③判号;④下结论。但是要

注意,不能用区间 上的两个特殊值来代替。而要证明

在某区间 上不是

单调递增的,只要举出反例就可以了,即只要找到区间 上两个特殊的 , ,若

,有

即可。如果用导数证明

在某区间 上递增或递

减,那么就证明在某区间 上





(5)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数



别在



内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即

内是单调递减的,只能说函数

的单调递减区间为



3.判断函数单调性的方法 (1 定义法:利用定义严格判断. (2 利用函数的运算性质:如若 f(x、g(x 为增函数,则 ①f(x+g(x 为增函数;②为减函数(f(x>0;③为增函数(f(x≥0; ④f(x·g(x 为增函数(f(x>0,g(x>0;⑤-f(x 为减函数.

(3 利用复合函数关系判断单调性. 法则是“ ”,即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为 ,若两个简 单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为 (4 图像法. (5 奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区 间上具有 的单调性. (6 导数法 ①若 f(x 在某个区间内可导,当 f′(x>0 时,f(x 为 函数;当 f′(x<0 时,f(x 为 函 数; ②若 f(x 在某个区间内可导,当 f(x 在该区间上递增时,则 f′(x 0;当 f(x 在该区间上递减 时,则 f′(x 0. 4.函数的最值的求法 (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。 (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性 求最值。 (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取 得)。 (4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法 (5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化 范围。
典例精讲 i
题型一:求函数的单调区间 [例 2] (文求出下列函数的单调区间:

(1f(x=|x2-4x+3|; (2f(x=log2(x2-1. [分析] 注意(1 函数含有绝对值,故可将其转化为分段函数并作出图像求解;(2 中的函数 为函数 y=log2u, u=x2-1 的复合函数,要注意其定义域. 答案 1 函数的增区间为[1,2],(3,+∞,减区间为(-∞,1,(2,3] 2f(x=log2(x2-1 的单调增区间是(1,+∞,单调减区间是(-∞,-1 (理求下列函数的单调区间,并指出其增减性. (1y=a1-x2(a>0,且 a≠1; (2y=log(4x-x2. (2[分析] 利用复合函数的判别方法判断该类题目. (1 的复合关系为 y=at,t=1-x2;(2 的复合关系为 y=logt,t=4x-x2. [解析] (1 令 t=1-x2,则 t=1-x2 的递减区间是[0,+∞,递增区间是(-∞,0]. 又当 a>1 时,y=at 在(-∞,+∞上是增函数; 当 0<a<1 时,y=at 在(-∞,+∞上是减函数. ∴当 a>1 时,函数的单调减区间是[0,+∞,单调增区间是(-∞,0];
当 0<a<1 时,函数的单调减区间是(-∞,0],单调增区间是[0,+∞. (2 由 4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4.令 t=4x-x2,
∵t=4x-x2=-(x-22+4, ∴t=4x-x2 的递减区间是[2,4,递增区间是(0,2]. 又 y=logt 在(0,+∞上是减函数, ∴函数的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,4.
变式:求下列函数的单调区间. (1f(x=-x2+2|x|+3; (2f(x=log2(6+x-2x2; (3f(x=x+.

[分析] (1 去绝对值号,转化为二次函数求解或画出函数图像求解;(2 利用复合函数单调性判 定法则“同增异减”求解;(3 利用导数法求解.
[解析] (1 方法一:∵f(x=
∴由二次函数性质知 f(x 的增区间是(-∞,-1]和[0,1];减区间是[-1,0]和[1,+∞. (2 由 6+x-2x2>0,得函数 f(x 的定义域为. 令 u=6+x-2x2,则函数 u 在上为增函数,在上为减函数. 又∵y=log2u 在(0,+∞上为增函数, ∴函数 f(x 的增区间是,减区间是. (3 函数 f(x 的定义域为{x|x≠0}. f′(x=1-=. 令 f′(x>0,得 x<-3 或 x>3; 令 f′(x<0,得-3<x<0 或 0<x<3. ∴f(x 的增区间是(-∞,-3]和[3,+∞,减区间是(-3,0 和(0,3.
题型二:函数单调性的判断与证明
[例 3] 讨论函数 f(x=(a>0 的单调性. [分析] 可根据定义,先设-1<x1<x2<1,然后作差、变形、定号、判断;也可以求 f(x 的导函 数,然后判断 f′(x 与零的大小关系;也可利用函数图像变换求解.
[解析] ∵f(x===a+,∴函数的定义域为{x|x≠1}. 方法一:(定义法任取 x1,x2∈R,且 x1,x2 均不为 1,x1<x2, 则 f(x1-f(x2=-==. ①当 x1<x2<1 时,x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,a>0,∴f(x1-f(x2>0,即 f(x1>f(x2. ②当 1<x1<x2 时,x2-1>0,x1-1>0,x2-x1>0,a>0,∴f(x1-f(x2>0,即 f(x1>f(x2. ∴函数 f(x 在(-∞,1 和(1,+∞上均为减函数.

变式:用函数单调性的定义证明:f(x=ax+a-x(a>0,且 a≠1 在(0,+∞上是增函数. [分析] 由单调性定义直接证明.
[证明] 任取 x1,x2∈(0,+∞,且 x1<x2,则 f(x2-f(x1=(ax2+a-x2-(ax1+a-x1=(a x2-a x1+(a-x2-a-x1=a x2-a x1+=, ∵0<x1<x2,∴x1+x2>0,∴ax1+x2>0, (1 当 a>1 时,a x2>a x1,a x2-a x1>0,a x1+x2>a0=1,a x1+x2-1>0,∴f(x2-
f(x1>0,f(x2>f(x1.
(2 当 0<a<1 时,a x2<a x1,a x2-a x1<0,0<a x1+x2<a0=1,a x1+x2-1<0,∴f(x2-
f(x1>0,f(x2>f(x1.
综上所述,对于任何 a>0 且 a≠1,均有 f(x2>f(x1.∴f(x 在(0,+∞上是增函数.
题型三:抽象函数的单调性
[例 4] 定义在 R 上的函数 y=f(x,f(0≠0,当 x>0 时,f(x>1,且对任意的 a,b∈R,有 f(a+b =f(a·f(b. (1 证明:f(0=1;(2 证明:对任意的 x∈R,恒有 f(x>0;(3 证明:f(x 是 R 上的增函数; (4 若 f(x·f(2x-x2>1,求 x 的取值范围.
[解析] (1 证明:令 a=b=0,则 f(0=f 2(0.又 f(0≠0,∴f(0=1. (2 证明:当 x<0 时,-x>0,∴f(0=f(x-x=f(x·f(-x=1.∴f(-x=>0.又 x≥0 时
f(x≥1>0,
∴x∈R 时,恒有 f(x>0. (3 证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0.∴f(x2=f(x2-x1+x1=f(x2-x1·f(x1.∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1>1. 又 f(x1>0,∴f(x2-x1·f(x1>f(x1.∴f(x2>f(x1.∴f(x 是 R 上的增函数. (4 解:由 f(x·f(2x-x2>1,f(0=1 得 f(3x-x2>f(0.又 f(x 是 R 上的增函数,∴3x- x2>0.∴0<x<3.
[点评] 解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3 中“f(x2=f[(x2-x1+x1]”是证明单调 性的关键,这里体现了向条件化归的策略.(3 也可以设 x2=x1+t(t>0,f(x2=f(x1+t= f(x1·f(t>f(x1;或者设 x1<x2,则==>1,又 f(x1、f(x2>0.故 f(x2>f(x1.

变式:已知定义在区间(0,+∞上的函数 f(x 满足 f=f(x1-f(x2,且当 x>1 时,f(x<0. (1 求 f(1 的值;(2 判断 f(x 的单调性;(3 若 f(3=-1,解不等式 f(|x|<-2. [分析] 当 x1=x2 时,由 f 可产生 f(1;欲讨论 f(x 单调性,须比较 f(x1-f(x2 与 0 的大小, 即 f 与 0 的大小,为此须利用条件 x>1 时,f(x<0,即>1 时,f<0;欲解不等式 f(|x|<-2, 须考虑应用单调性脱去“f”,故须把-2 化为函数值,这须由 f=f(x1-f(x2,赋值产生 f(x0=-2.
[解析] (1 令 x1=x2>0,代入得 f(1=f=f(x1-f(x1=0,故 f(1=0. (2 任取 x1,x2∈(0,+∞,且 x1>x2,则>1,由于当 x>1 时,f(x<0,所以 f<0,即 f(x1- f(x2<0,因此 f(x1<f(x2,所以函数 f(x 在区间(0,+∞上是单调递减函数. (3 由 f=f(x1-f(x2 得 f=f(9-f(3,而 f(3=-1,所以 f(9=-2.由于函数 f(x 在区间(0,+∞上 是单调递减函数,所以当 x>0 时,由 f(|x|<-2 得 f(x<f(9,因此 x>9;当 x<0 时,由 f(|x|<-2 得 f(-x<f(9,因此-x>9,故 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}.
题型四:单调性与最值 [例 5] 函数 f(x=2x-的定义域为(0,1](a 为实数.
(1 当 a=-1 时,求函数 y=f(x 的值域;
(2 若函数 y=f(x 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围;
(3 函数 y=f(x 在 x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.
[解析] (1 显然函数 y=f(x 的值域为[2,+∞;
(2 若函数 y=f(x 在定义域上是减函数,
则任取 x1,x2∈(0,1]且 x1<x2 都有 f(x1>f(x2 成立,即(x1-x2>0,只要 a<-2x1x2 即可,
由 x1,x2∈(0,1],故-2x1x2∈(-2,0,所以 a≤-2,故 a 的取值范围是(-∞,-2];或用 导数来判断.
(3 当 a≥0 时,函数 y=f(x 在(0,1]上单调递增,无最小值,当 x=1 时取得最大值 2-a;

由(2 得当 a≤-2 时,函数 y=f(x 在(0,1]上单调递减,无最大值,当 x=1 时取得最小值 2 -a;
当-2<a<0 时,函数 y=f(x 在上单调递减,在上单调递增,无最大值, 当 x=时取得最小值 2. 变式:已知函数 f(x=-(a>0,x>0 (1 求证:f(x 在(0,+∞上是单调递增函数;(2 若 f(x 在[,2]上的值域是[,2],求 a 的值. [解析] (1 证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0. f(x2-f(x1=(--(-=-=>0∴f(x2>f(x1,∴f(x 在(0,+∞上是单调递增函数. (2 解:f(x 在[,2]上的值域是[,2],又 f(x 在[,2]上单调递增,∴f(=,f(2=2. ∴,∴a=. 一、选择题 1.(2011·福建,8 已知函数 f(x=若 f(a+f(1=0,则实数 a 的值等于( A.-3 B.-1 C.1 D.3 [答案] A[解析] 本题考查分段函数求值.∵f(1=21=2,∴由 f(a+f(1=0 知 f(a=-2. 当 a>0 时 2a=-2 不成立.当 a<0 时 a+1=-2,a=-3.
2.(理如图所示,单位圆中弧的长为 x,f(x 表示弧与弦 AB 所围成的弓形 (阴影部分面积的 2 倍,则函数 y=f(x 的图像是(

[答案] D[解析] 如图所示,设∠AOB=θ,则 x=θ.则弓形面积=S 扇形-S△ AOB
=x×1-2×sincos=(x-sinθ=(x-sinx. 当 x∈[0,π]时,sinx≥0,则 x-sinx≤x,其图像位于 y=x 下方. 当 x∈(π,2π]时,sinx≤0,则 x-sinx≥x,其图像位于 y=x 上方. 所以只有 D 项符合题意. 二、填空题 3.(理已知 f(x=,定义 fn(x=f(fn-1(x,其中 f1(x=f(x,则 f2013=________. [答案] [解析] 依次计算:f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=, f7=,可知 fn 的最小正周期为 6,即得 fn+6=fn,所以 f2013=f3=. [点评] 该题考查分段函数的知识,解题的关键是发现函数具有周期性,再将 f2013 转化 为 f3 即可. 4.(理(2011,四川理,16 函数 f(x 的定义域为 A,若 x1,x2∈A,且 f(x1=f(x2 时总有 x1=x2,则称 f(x 为单函数.例如,函数 f(x=2x+1(x∈R 是单函数,下列命题: ①函数 f(x=x2(x∈R 是单函数;②若 f(x 为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1≠f(x2; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ④函数 f(x 在某区间上具有单调性,则 f(x 一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号 [答案] ②③ [解析] 当 f(x=x2 时,不妨设 f(x1=f(x2=4,有 x1=2,x2=-2,此时 x1≠x2,故①不 正确;由 f(x1=f(x2 时总有 x1=x2 可知,当 x1≠x2 时,f(x1≠f(x2,故②正确;若 b∈B,b 有 两个原象时,不妨设为 a1,a2,可知 a1≠a2,但 f(a1=f(a2,与题中条件矛盾,故③正确;函

数 f(x 在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调,因而 f(x 不一定是单函数,故④不 正确.故答案为②③.
三、解答题 5.(理函数 f(x 的定义域为 R,且满足下面两个条件:①存在 x1≠x2,使 f(x1≠f(x2;②对 任意的 x、y∈R,有 f(x+y=f(x·f(y.(1 求 f(0;(2 证明对任意的 x、y∈R,f(x>0 恒成立. [解析] (1∵f(0+0=f(0·f(0,∴f(0=0 或 f(0=1.若 f(0=0,则存在 x≠0,使对任意的 x∈R 有 f(x+0=f(x·f(0=0,即 f(x=0,与条件矛盾,∴f(0=1. (2f(x=f=2≥0,若存在 x0 使 f(x0=0,则对任意的 x∈R,f(x=f[(x-x0+x0]=f(x0·f(x- x0=0,与条件矛盾,∴f(x>0 恒成立. 6.已知二次函数 f(x 有两个零点 0 和-2,且 f(x 最小值是-1,函数 g(x 与 f(x 的图像关 于原点对称. (1 求 f(x 和 g(x 的解析式; (2 若 h(x=f(x-λg(x 在区间[-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. [解析] (1 依题意,设 f(x=ax(x+2=ax2+2ax(a>0.f(x 图像的对称轴是 x=-1,∴f(-1 =-1, 即 a-2a=-1,∴a=1,∴f(x=x2+2x. ∵函数 g(x 的图像与 f(x 的图像关于原点对称,∴g(x=-f(-x=-x2+2x. (2 由(1 得 h(x=x2+2x-λ(-x2+2x=(λ+1x2+2(1-λx. ①当 λ=-1 时,h(x=4x 满足在区间[-1,1]上是增函数; ②当 λ<-1 时,h(x 图像对称轴是 x=,则≥1,又 λ<-1,解得 λ<-1; ③当 λ>-1 时,同理需≤-1,又 λ>-1,解得-1<λ≤0. 综上,满足条件的实数 λ 的取值范围是(-∞,0]. 一、选择题

1.(理(2011·上海理,16 下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞上单调递减的函 数是(
A.y=ln B.y=x3 C.y=2|x| D.y=cosx [答案] A[解析] 对于 A,∵f(-x=ln=ln=f(x,定义域为{x|x≠0},故是偶函数,且在 (0,+∞上单调递减,故 A 正确;y=x3 是奇函数;y=2|x|是偶函数,但在(0,+∞上单调递 增;y=cosx 在(0,+∞上不是单调函数,故 B、C、D 均错误. 2.定义在 R 上的函数 f(x 的图像关于 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x=3x-1,则有( A.f<f<f B.f<f<f C.f<f<f D.f<f<f [答案] B[解析] ∵f(x 的图像关于 x=1 对称,∴f=f,f=f. 又∵x≥1 时,f(x=3x-1 为增函数,且<<,∴f<f<f,即 f<f<f. 二、填空题 3.(2012·苏州模拟函数 y=的值域是________. [答案] ∪[1,+∞[解析] 由 y=,得 cosx=,且 cosx≠-. ∵-1≤cosx≤1,∴-1≤≤1,且≠-,解得 y≤或 y≥1,∴原函数的值域为∪[1,+∞. 4.(2012·南通检测已知函数 f(x=sinx+5x,x∈(-1,1.如果 f(1-a+f(1-a2<0, 则 a 的取值范围是______. [答案] 1<a<[解析] ∵f(x 为奇函数,且在(-1,1 上是增函数. f(1-a+f(1-a2<0,即 f(1-a<f(a2-1.∴解之得 1<a<. 三、解答题 5.(文求下列函数的值域: (1y=3x2-x+2;(2y=;(4y=. [解析] (1(配方法∵y=3x2-x+2=32+≥,∴y=3x2-x+2 的值域为.

(2(分离常数法 y===3+,∵≠0,∴3+≠3, ∴函数 y=的值域为{y∈R|y≠3}.
(4(数形结合法设动点 M(cosx,sinx,定点 P(2,1,则 y=的几何意义是直线 PM 的斜率.而动点 M 在单位圆 x2+y2=1 上.如图所示,当直线和圆相切时取得最值,kM1P =0,kM2P=.∴函数的值域为.
(理(2011·上海理,20 已知函数 f(x=a·2x+b·3x,其中常数 a,b 满足 a·b≠0. (1 若 ab>0,判断函数 f(x 的单调性;(2 若 ab<0,求 f(x+1>f(x 时 x 的取值范围. [分析] (1 讨论 a 与 b 的符号,然后直接利用增函数的和为增函数,减函数的和为减函 数来判断. (2 讨论 a>0,b<0 或 a<0,b>0 两种情况,然后由 f(x+1>f(x 变形得一个指数不等式, 利用指数函数的单调性求解. [解析] (1 当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2,则 f(x1-f(x2=a(2x1-2 x2+b(3 x1-3 x2 ∵2 x1<2 x2,a>0?a(2 x1-2 x2<0,3 x1<3 x2,b>0?b(3 x1-3 x2<0,∴f(x1-f(x2<0,函 数 f(x 在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x 在 R 上是减函数. (2f(x+1-f(x=a·2x+2b·3x>0, 当 a<0,b>0 时,(x>-,则 x>log1.5(-;当 a>0,b<0 时,(x<-,则 x 1.5 ( - . 6.若 f(x 是定义在(0,+∞上的增函数,且对于 x>0 满足 f =f(x-f(y. (1 求 f(1 的值;(2 若 f(6=1,试求解不等式 f(x+3-f<2. [解析] (1 令 x=y>0,则 f(1=f(x-f(x=0.

(2∵f(6=1,由 f(x+3-f <2,得 f(x+3-f <2f(6.∴f [x(x+3]<f(6+f(6,∴f [x(x+3]- f(6<f(6,

∴f <f(6,又∵f(x 是定义在(0,+∞上的增函数,且>0,∴<6,解得 0<x<.

7.函数 f(x=log9(x+8-在(1,+∞上是增函数,求 a 的取值范围.

[分析] 由 f(x 在(1,+∞上是增函数可以得两个信息:第一,对任意的 1<x1<x2,总有 f(x1<f(x2;

第二,当 x>1 时,x+8->0 恒成立.

[解析] (1 设任意 x1,x2∈(1,+∞,且 x1<x2,则 f(x1<f(x2

即 log9(x1+8- 9 ( x 2 + 8 - ,得 x 1 + 8 - < x 2 + 8 - ,即: ( x 1 - x 2 (1 + <0.

∵x1-x2<0,∴1+>0,>-1,a>-x1x2.

∵x2>x1>1,∴欲使 a>-x1x2 恒成立,只要 a≥-1.

(2 欲使 x>1 时 x+8->0 恒成立,只要 x=1 时 x+8-≥0 即可,得 a≤9.

∴所求 a 的范围是-1≤a<9.

基础自测 1.(文(教材改编题下列函数中,在区间(0,2 上为增函数的是(

A.y=-x+1

B.y=

C.y=x2-4x+5 D.y=

[答案] B (理(2012·潍坊模拟给定函数:

①y=x;②y=log(x+1;③y=|x-1|;④y=2x+1,其中在区间(0,1 上单调递减的函 数序号是(

A.①② B.②③

C.③④ D.①④
[答案] B 2.(文(2011·新课标理,2 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞单调递增的函数是(
A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
[答案] B
(理(2012·辽宁朝阳模拟 f(x=4x2-mx+5 在[-2,+∞为增函数,f(1 的取值范围是( A.(-∞,25] B.(25,+∞ C.[25,+∞ D.(-∞,25
[答案] C 3.函数 y=log(x2-5x+6 的单调递增区间为(
A. B.(3,+∞ C. D.(-∞,2
[答案] D 4.(2010·山东文函数 f(x=log2(3x+1 的值域为(
A.(0,+∞ B.[0,+∞ C.(1,+∞ D.[1,+∞
[答案] A 5.函数 y=的值域为________.
[答案] (-1,1] 6.(文设 a,b∈R,定义 max{a,b}=,函数 f(x=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R,则 f(x 的 最小值是______.

[答案] (理已知函数 f(x=若 f(2-a2>f(a,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-2,1 7.证明:f(x=x+在(-∞,-1 上是增函数.


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