2015-2016学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(文科)

一、选择题 1.抛物线 y=4x2 的准线方程是( A.y=1 B.y=﹣1 ) C.y= D.y=﹣

2.总体编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选 出来的第 5 个个体的编号是( )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481. A.08 B.07 C.02 D.01

3.甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( )

A.③④

B.①②④

C.②④ )

D.①③④

4.当输入 x=﹣4 时,如图的程序运行的结果是(

A.7

B.8 )

C .9

D.15

5.下列说法错误的是(

A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 6.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 身高 y 6 118 7 126 8 136 9 144

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( A.154 ) B.153 C.152 D.151

7.函数 f(x)在 x=x0 处导数存在,若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则 p 是 q 的( ) B.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件

A.充分不必要条件 C.必要不充条件

8.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( )

女生 男生

一年级 373 377

二年级 x 370

三年级 y z

A.24 9.已知双曲线 ﹣

B.18

C.16

D.12

=1 的一个焦点与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率为 ) =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

,则此双曲线的方程为( A.5x2﹣ =1 B.5x2﹣

10.已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算 法输出一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

11.f(x)定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意的正 数 a,b,若 a<b,则必有( )

A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 12.过原点的直线与双曲线 (a>0,b>0)交于 M,N 两点,P 是双曲线上异

N 的一点, 于 M, 若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 , 则双曲线的离心率为 (



A.

B.

C.

D.2

二、填空题 13.三进制数 121(3)化为十进制数为 . .

14. x+1<0”是假命题, 若命题“? x∈R, 使 x2+ (a﹣1) 则实数 a 的取值范围为

15. f x) f x) =3x2+2xf( = ′ x) ′ 2) ′ 5) 已知函数 ( 的导函数为 f( , 且满足 ( , 则 f(



16.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 =1 与椭圆 =1 有相同的焦点;

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是 相切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;

④过定圆 C 上一点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 椭圆. 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)

,则动点 P 的轨迹为

三、解答题 17. 《中华人民共和国道路交通安全法》 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属于醉酒驾车.某市公 安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 300 辆机动车, 查处酒后驾车和 醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如表: 酒精含量 (mg/100ml) 人数 [20, 30) 3 [30, 40) 4 [40, 50) 1 [50, 60) 4 [60, 70) 2 [70, 80) 3 [80, 90) 2 [90, 100] 1

(1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可); (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

18. 设命题 p: 实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 ¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

. 若

19.某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长为 3cm 的等边三角形的三个顶点.

(Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打 三枪,其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击 的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ)第四次射击时,该运动员瞄准△ABC 区域射击(不会打到△ABC 外),则此次射击 的着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计)

20.一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无 盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大? 21. 已知两点 O 为坐标原点. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (2)设过点 B(0,﹣2)的直线与 E 交于 M,N 两点,当△OMN 的面积为 1 时,求此直 线的方程. 22.函数 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2 (1)如果函数 g(x)单调减区间为( ,1),求函数 g(x)解析式; , 若一动点 Q 在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4,

(2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)图象过点 p(1,1)的切线方程; (3)若? x0∈(0,+∞),使关于 x 的不等式 2f(x)≥g′(x)+2 成立,求实数 a 取值范 围.

2015-2016 学年湖北省黄冈市高二 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.抛物线 y=4x2 的准线方程是( A.y=1 B.y=﹣1 ) C.y= D.y=﹣

【分析】将抛物线化成标准方程得 x2= y,算出 2p= 且焦点在 y 轴上,进而得到 = 可得该抛物线的准线方程. 【解答】解:抛物线 y=4x2 化成标准方程,可得 x2= y, ∴抛物线焦点在 y 轴上且 2p= ,得 = 因此抛物线的焦点坐标为(0, 故选:D , .



),准线方程为 y=﹣

【点评】本题给出抛物线的方程,求它的准线方程.着重考查了抛物线的标准方程及其基本 概念等知识,属于基础题.

2.总体编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选 出来的第 5 个个体的编号是( )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481. A.08 B.07 C.02 D.01

【分析】根据随机数表,依次进行选择即可得到结论. 【解答】 解: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字中小 于 20 的编号依次为 08,02,14,07,02,01,.其中第二个和第四个都是 02,重复.

可知对应的数值为 08,02,14,07,01, 则第 5 个个体的编号为 01. 故选:D. 【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用,正确理解随机数法是解决本题的关键,比较基 础.

3.甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高;

③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( )

A.③④

B.①②④

C.②④

D.①③④

【分析】由茎叶图数据,求出甲、乙同学成绩的中位数,平均数,估计方差,从而解决问题.

【解答】解:根据茎叶图数据知, ①甲同学成绩的中位数是 81,乙同学成绩的中位数是 87.5, ∴甲的中位数小于乙的中位数; ②甲同学的平均分是 乙同学的平均分是 ∴乙的平均分高; ③甲同学的平均分是 ∴甲比乙同学低; ④甲同学成绩数据比较集中,方差小,乙同学成绩数据比较分散,方差大. ∴正确的说法是③④. 故选:A. 【点评】本题考查了利用茎叶图分析数据的平均数,中位数和方差的问题,是基础题. =81 乙同学的平均分是 =85, = = =81, =85,

4.当输入 x=﹣4 时,如图的程序运行的结果是(



A.7

B.8

C .9

D.15

【分析】 由已知中的程序语句可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 的值,将 x=﹣4,代入可得答案. 【解答】解:由已知中的程序语句可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数 y= ∵x=﹣4<3, 故 y=(﹣4)2﹣1=15, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是条件结构,其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键. 的值,

5.下列说法错误的是(



A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 【分析】通过对选项判断命题的真假,找出错误命题即可. 【解答】解:若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题,满足命题的真假的判断,是正确 的. 命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为:“若方程 x2+x﹣m=0 有实数根,则 m>0”,方程 x2+x﹣m=0 有实数根只要△=1+4m≥0,所以不一定得到 m>0,所以 B 错.

命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为:若 a≤b,则 ac2≤bc2,显然是真命题.

若命题“¬p∨q”为假命题,则 p 是真命题,¬q 是真命题,则“p∧¬q”为真命题,正确.

故选:B. 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,考查分析问题解决问题的能力.

6.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 身高 y 6 118 7 126 8 136 9 144

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( A.154 ) B.153 C.152 D.151

【分析】先计算样本中心点,进而可求线性回归方程,由此可预测该学生 10 岁时的身高.

【解答】解:由题意, 代入线性回归直线方程为 ∴ ∴x=10 时, 故选 B.

=7.5,

=131 ,131=8.8×7.5+ ,可得 =65,

=153

【点评】本题考查回归分析的运用,考查学生的计算能力,确定线性回归直线方程是关键, 属于基础题.

7.函数 f(x)在 x=x0 处导数存在,若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则 p 是 q 的( ) B.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件

A.充分不必要条件 C.必要不充条件

【分析】利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为 0 的关系.

【解答】解:根据函数极值的定义可知,函数 x=x0 为函数 y=f(x)的极值点,f′(x)=0 一 定成立. 但当 f′(x)=0 时,函数不一定取得极值, 比如函数 f(x)=x3.函数导数 f′(x)=3x2, 当 x=0 时,f′(x)=0,但函数 f(x)=x3 单调递增,没有极值. 则 p 是 q 的必要不充分条件, 故选:C. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数取得极值与函数导数之间的关 系,要求正确理解导数和极值之间的关系.

8.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( )

女生 男生

一年级 373 377

二年级 x 370

三年级 y z

A.24

B.18

C.16

D.12

【分析】根据题意先计算二年级女生的人数,则可算出三年级的学生人数,根据抽取比例再 计算在三年级抽取的学生人数. 【解答】 解: 依题意我们知道二年级的女生有 380 人, 那么三年级的学生的人数应该是 500,

即总体中各个年级的人数比例为 3:3:2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 . 故选 C. 【点评】本题考查分层抽样知识,属基本题.

9.已知双曲线



=1 的一个焦点与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率为 ) =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

,则此双曲线的方程为( A.5x2﹣ =1 B.5x2﹣

【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为(﹣1,0),从而得出左焦点为 F(﹣1,0),再 设出双曲线的方程,利用离心率的公式和 a、b、c 的平方关系建立方程组,解出 a、b 的值 即可得到该双曲线的方程. 【解答】解:∵抛物线方程为 y2=﹣4x,∴2p=4,得抛物线的焦点为(﹣1,0).

∵双曲线的一个焦点与抛物 y2=﹣4x 的焦点重合, ∴双曲线的左焦点为 F(﹣1,0), 设双曲线的方程为 (a>0,b>0),可得 a2+b2=1…①

∵双曲线的离心率等

,∴

=

,即

…②

由①②联解,得 a2= ,b2= , ∴该双曲线的方程为 5x2﹣ 故选 B. 【点评】本题重点考查双曲线的几何性质,考查抛物线的几何性质,正确计算双曲线的几何 量是解题的关键.

=1.

10.已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算 法输出一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数,由于输出的数为 4,故问 题为从集合 A 中任取三个数,求最大数为 4 的概率,计算出从 5 个数中取三个的取法总数 和所取的数最大为 4 的取法个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 【解答】解:由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数, 由于输出的数为 4, 故问题为从集合 A 中任取三个数,求最大数为 4 的概率, 从集合 A 中任取三个数有 =10 种取法, =3 种取法,

其中最大数为 4 时,表示从 1,2,3 中任取 2 两个数,有 故概率 P= 故选:C. .

【点评】本题考查的知识点是程序框图,古典概型,其中根据已知分析出程序的功能是解答 的关键,属于基础题.

11.f(x)定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意的正 数 a,b,若 a<b,则必有( )

A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 【分析】先构造函数 g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),通过求导利用已知条件即可得出.

【解答】解:设 g(x)=xf(x),x∈(0,+∞),

则 g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0, ∴g(x)在区间 x∈(0,+∞)单调递减或 g(x)为常函数, ∵a<b,∴g(a)≥g(b),即 af(a)≥bf(b). 故选:A. 【点评】 本题主要考查了利用导数来判断函数的单调性, 恰当构造函数和熟练掌握利用导数 研究函数的单调性是解题的关键.

12.过原点的直线与双曲线

(a>0,b>0)交于 M,N 两点,P 是双曲线上异

N 的一点, 于 M, 若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 , 则双曲线的离心率为 (



A.

B.

C.

D.2

【分析】设 P(x0,y0),M(x1,y1),则 N(x2,y2).利用 kPMkPN= ,化简,结合平 方差法求解双曲线 C 的离心率. 【解答】解:由双曲线的对称性知,可设 P(x0,y0),M(x1,y1),则 N(x2,y2).

由 kPMkPN= ,可得: ,

,即

,即

又因为 P(x0,y0),M(x1,y1)均在双曲线上, 所以 , ,所以 ,

所以 c2=a2+b2= ,所以双曲线 C 的离心率为 e= =

= .

故选:A. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,平方差法的应用,考查计算能力.

二、填空题 13.三进制数 121(3)化为十进制数为 16 . 【分析】利用累加权重法,即可将三进制数转化为十进制,从而得解. 【解答】解:由题意,121(3)=1×32+2×31+1×30=16 故答案为:16 【点评】本题考查三进制与十进制之间的转化,熟练掌握三进制与十进制之间的转化法则, 是解题的关键.

14. x+1<0”是假命题, 若命题“? x∈R, 使 x2+ (a﹣1) 则实数 a 的取值范围为 ﹣1≤a≤3 .

【分析】先求出命题的否定,再用恒成立来求解 【解答】解:命题“? x∈R,使 x2+(a﹣1)x+1<0”的否定是:““? x∈R,使 x2+(a﹣1) x+1≥0” 即:△=(a﹣1)2﹣4≤0, ∴﹣1≤a≤3 故答案是﹣1≤a≤3 【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题.

15.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2xf′(2),则 f′(5)=

6 .

【分析】将 f′(2)看出常数利用导数的运算法则求出 f′(x),令 x=2 求出 f′(2)代入 f′ (x),令 x=5 求出 f′(5). 【解答】解:f′(x)=6x+2f′(2) 令 x=2 得 f′(2)=﹣12 ∴f′(x)=6x﹣24 ∴f′(5)=30﹣24=6 故答案为:6 【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值.

16.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 =1 与椭圆 =1 有相同的焦点;

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是 相切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;

④过定圆 C 上一点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 椭圆. 其中真命题的序号为 ①② (写出所有真命题的序号) 【分析】对 4 个选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:①双曲线 =1 的焦点坐标为(±5,0),椭圆

,则动点 P 的轨迹为

=1 的焦点坐

标为(±5,0),所以双曲线

=1 与椭圆

=1 有相同的焦点,正确;

②不妨设抛物线为标准抛物线:y2=2px (p>0 ),即抛物线位于 Y 轴的右侧,以 X 轴为 对称轴. 设过焦点的弦为 PQ,PQ 的中点是 M,M 到准线的距离是 d. 而 P 到准线的距离 d1=|PF|,Q 到准线的距离 d2=|QF|. 又 M 到准线的距离 d 是梯形的中位线,故有 d= 由抛物线的定义可得: = =半径. ,

所以圆心 M 到准线的距离等于半径, 所以圆与准线是相切,正确. ③平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线,当 0<k<|AB|时是双曲线的一支,当 k=|AB|时,表示射线,所以不正确;

④设定圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,点 A(m,n),P(x,y),由



可知 P 为 AB 的中点,则 B(2x﹣m,2y﹣n),因为 AB 为圆的动弦,所以 B 在已知圆上, 把 B 的坐标代入圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 得到 P 的轨迹仍为圆,当 B 与 A 重合时 AB 不是弦, 所以点 A 除外,所以不正确. 故答案为:①②. 【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征,同时考查了椭圆与双曲线的性质,考查的知 识点较多,属于中档题.

三、解答题 17. 《中华人民共和国道路交通安全法》 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属于醉酒驾车.某市公 安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 300 辆机动车, 查处酒后驾车和 醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如表: 酒精含量 (mg/100ml) 人数 [20, 30) 3 [30, 40) 4 [40, 50) 1 [50, 60) 4 [60, 70) 2 [70, 80) 3 [80, 90) 2 [90, 100] 1

(1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可); (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

【分析】(1)计算酒精含量(mg/100ml)在各小组中的 可;

,绘制出频率分布直方图即

(2)计算检测数据中酒精含量在 80mg/100ml(含 80)以上的频率, 根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数, 再计算数据的平均数值.

【解答】解:(1)酒精含量(mg/100ml)在[20,30)的



=0.015,

在[30,40)的 在[40,50)的 在[50,60)的 在[60,70)的 在[70,80)的 在[80,90)的 在[90,100]的

为 为 为 为 为 为 为

=0.020, =0.005, =0.20, =0.010, =0.015, =0.010, =0.005;

绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示:



(2)检测数据中醉酒驾驶(酒精含量在 80mg/100ml(含 80)以上时)的频率是

;… 根据频率分布直方图,小矩形图最高的是[30,40)和[50,60), 估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55;… 估计检测数据中酒精含量的平均数是 0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55 +0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55.… 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了平均数与众数的计算问题,是基 础题目.

18. 设命题 p: 实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 ¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

. 若

【分析】由题意可得 q 是命题 p 的充分不必要条件,设 A={x|x2﹣4ax+3a2<0,a>0}, B={x| },则由题意可得 B?A,化简 A、B,根据区间端点间的大小关系,

求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:若¬p 是¬q 的充分不必要条件,∴命题 q 是命题 p 的充分不必要条件.

设 A={x|x2﹣4ax+3a2<0,a>0}={x|a<x<3a},B={x| 则由题意可得 B?A. ∴ ,解得 1<a≤2,

}={x|2<x≤3},

故实数 a 的取值范围为(1,2]. 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,一元二次不等式的解法,体 现了等价转化的数学思想,属于基础题.

19.某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长为 3cm 的等边三角形的三个顶点. (Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打 三枪,其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击 的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ)第四次射击时,该运动员瞄准△ABC 区域射击(不会打到△ABC 外),则此次射击 的着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计)

【分析】(Ⅰ)利用列举法得到所有事件个数,以及满足条件的事件个数,利用古典概型个 数求概率;

(Ⅱ) 由题意, 所求为几何概型概率, 所以只要明确三角形区域面积以及射击的着弹点距 A、 B、C 的距离都超过 1cm 区域面积,利用几何概型公式解答即可. 【解答】解:(Ⅰ)前三次射击成绩依次记为 x1,x2,x3,后三次成绩依次记为 y1,y2,y3, 从这 6 次射击成绩中随机抽取两个, 基本事件是:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},{y1,y3},{y2,y3},{x1,y1}, {x1,y2},{x1,y3}, {x2,y1},{x2,y2},{x2,y3},},{x3,y1},{x3,y2},{x3,y3},共 15 个 …

其中可使|a﹣b|>1 发生的是后 9 个基本事件.故

.…

(Ⅱ)因为着弹点若与 A、B、C 的距离都超过 1cm,则着弹点就不能落在分别以 A,B,C 为中心,半径为 1cm 的三个扇形区域内,只能落在扇形外.… 因为 部分的面积为 故所求概率为 P= .… … ,…

【点评】本题考查了古典概型和几何概型概率求法;明确概率模型,利用相关的公式解答是 关键.

20.一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无 盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大? 【分析】设小正方形的边长为 xcm,则盒子底面长为(8﹣2x)cm,宽为(5﹣2x)cm,高 为 xcm,运用长方体的体积公式可得无盖的小盒子的容积,求得导数和单调区间,可得极大 值,即为最大值,以及最大值点. 【解答】解:设小正方形的边长为 xcm, 则盒子底面长为(8﹣2x)cm,宽为(5﹣2x)cm, 可得体积 V=(8﹣2x)(5﹣2x)x=4x3﹣26x2+40x,(0<x< ), V′=12x2﹣52x+40,令 V′=0,

可得 x=1 或 x=

(舍去),

当 0<x<1 时,导数 V′>0,函数 V 递增; 当 1<x< 时,导数 V′<0,函数 V 递减. 可得函数 V 在 x=1 处取得极大值,且为最大值 18. 即小正方形边长为 1cm 时,盒子容积最大为 18cm3. 【点评】本题考查导数在实际问题中的运用:求最值,考查化简整理的运算能力,正确求出 体积的函数式和导数是解题的关键,属于中档题.

21. 已知两点 O 为坐标原点.

, 若一动点 Q 在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4,

(1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (2)设过点 B(0,﹣2)的直线与 E 交于 M,N 两点,当△OMN 的面积为 1 时,求此直 线的方程. 【分析】(1)由椭圆定义知 Q 点的轨迹是椭圆,由此能求出点 Q 的轨迹 E 的方程.

(2)设直线为:y=kx﹣2,将 y=kx﹣2 代入椭圆方程,(1+4k2)x2﹣16kx+12=0.由此利用 根的判断式、韦达定理、弦长公式,结合已知条件能求出直线方程. 【解答】解:(1)由题意知|PQ|=|AQ|,又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4… ∴|CQ|+|AQ|=4》|AC|=2 ,

由椭圆定义知 Q 点的轨迹是椭圆,… 2a=4,即 a=2,2c=2 ∴b2=4﹣3=1, ∴点 Q 的轨迹 E 的方程为 .… ,即 c= ,

(2)由题意知所求的直线不可能垂直于 x 轴,所以可设直线为:y=kx﹣2,… M(x1,y1),N(x2,y2), 将 y=kx﹣2 代入 (1+4k2)x2﹣ .





|x1﹣x2|=

=

=1.…

解得 k=

,满足△>0.∴

﹣2.…

【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意根的判断式、韦达定理、弦长公式的合理运用.

22.函数 f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2﹣x+2 (1)如果函数 g(x)单调减区间为( ,1),求函数 g(x)解析式;

(2)在(1)的条件下,求函数 y=g(x)图象过点 p(1,1)的切线方程; (3)若? x0∈(0,+∞),使关于 x 的不等式 2f(x)≥g′(x)+2 成立,求实数 a 取值范 围. 【分析】(1)求 g(x)的导数,利用函数 g(x)单调减区间为( 是方程 g'(x)=0 的两个根.然后解 a 即可. (2)利用导数的几何意义求切线方程.(3)将不等式 2f(x)≥g′(x)+2 成立,转化为 含参问题恒成立,然后利用导数求函数的最值即可. 【解答】解:(1)∵g'(x)=3x2+2ax﹣1,若函数 g(x)单调减区间为( g'(x)=3x2+2ax﹣1<0,解为 ∴ ∴ ∴g(x)=x3﹣x2﹣x+2… (2)设切点为(x0,y0),则切线方程为 1)代入 得 . 所以切线方程为 y=﹣x+2 或 y=1… ,将(1, 是方程 g'(x)=0 的两个根, , , ,1),由 ,1),即

(3)要使关于 x 的不等式 2f(x)≥g′(x)+2 成立,即 2xlnx≥3x2+2ax﹣1+2 成立.

所以 2ax≤2xlnx﹣3x2﹣1,在 x>0 时有解,所以

最大值,



,则



当 0<x<1 时,h'(x)>0,h(x)单增, 当 x>1 时,h'(x)<0,h(x)单减. ∴x=1 时,h(x)max=﹣4, ∴2a≤﹣4, 即 a≤﹣2… 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质,要求熟练掌握导数和函数单调性,最值之 间的关系,考查学生的运算能力.对含有参数恒成立问题,则需要转化为最值恒成立.


相关文档

2015-2016学年湖北省黄冈市高二下学期期末数学试卷(文科)〖详解版〗
2015-2016学年湖北省黄冈市高二第二学期期末数学试卷含解析(文科)
2015-2016学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年湖北省黄冈市高二上学期期末理科数学试卷(带解析)
2015-2016学年湖北省黄冈市高二下学期期末数学试卷(理科)〖详解版〗
【真题】2015-2016年湖北省黄冈市高二第一学期期末数学试卷(文科)含解析
2015-2016学年湖北省黄冈市高二下学期期末数学试卷(文科)含答案
湖北省黄冈市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省黄冈市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
湖北省黄冈市2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版).
电脑版