2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(山东卷)精校版

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理 科 数



[来

注意事项 : 1 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证 号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置,用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。2010 年山东卷理

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的. (2010 年山东卷理 1)已知全集 U=R,集合 M={x||x-1| ? 2},则 ? UM = (A){x|-1<x<3} (B){x|-1 ? x ? 3} (C){x|x<-1 或 x>3} (D){x|x ? -1 或 x ? 3} 答案:C (2010 年山东卷理 2) 已知

a ? 2i a ? 2i ? b ? i (a, b) ? b ? i(a,b∈R) , 其中 i 为虚数单位, 则 a+b= i i

(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 答案:B (2010 年山东卷理 3)在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行 答案:D (2010 年山东卷理 4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= (A) 3 答案:D
x

(B) 1

(C)-1

(D)-3

(2010 年山东卷理 5)已知 随机变量 Z 服从正态分布 N(0, e ),若 P(Z>2)=0.023,则 P(-2≤Z≤ 2)= (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 答案:C (2010 年山东卷理 6)样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为 1,则 样本方差为

2

(A) 答案:D

6 5

(B)

6 5

(C)

2

(D)2

(2010 年山东卷理 7)由曲线 y= x ,y= x 围成的封闭图形面积为 (A)

2

3

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

答案:A (2010 年山东卷理 8)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四 位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 (A)36 种 (B)42 种 (C)48 种 (D)54 种 答案:B (2010 年山东卷理 9)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是数列{an}是递增数列的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案:C

? x ? y ? 2 ? o, ? (2010 年山东卷理 10)设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0, ,则目标函数 z=3x-4y 的最大 ? x ? y ? 8 ? 0, ?
值和最小值分别 为 (A)3,-11 (C)11, -3 答案:A
x

(B) -3, -11 (D)11,3

(2010 年山东卷理 11)函数 y=2 - x 的图像大致是

2

答案:A (2010 年山东卷理 12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a ? (m, n) , b ? ( p, q) 令a

b ? mq ? np ,下面说法错误的是

(A)若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 (B)a⊙b=b⊙a (C)对任意的 ? ? R,有( ? a)⊙b= ? (a⊙b)
2 2 (D) (a⊙b) +(a·b) = a

2

b

2

答案:B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (2010 年山东卷理 13)执行右图所示的程序框图,若输入 x ? 10 , 则输出 y 的值为 .

答案: ?

5 4 x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2

(2010 年山东卷理 14)若对任意 x>0 , 答案: ? , ?? ?



?1 ?5

? ?

(2010 年山东卷理 15)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ?

2 ,b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为
答案:



? 6

(2010 年山东卷理 16)已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 答案: x ? y ? 3 ? 0 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (2010 年山东卷理 17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

π 1 1 1 ?? ? . sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0<?<? ? ,其图象过点( , ) 6 2 2 2 ?2 ? 1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? f ? x ? 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ? x ? 的图象上各点的横坐标缩短到原来的

的图象,求函数 g ? x ? 在[0, 答案:

π ]上的最大值和最小值. 4

1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图 像上各点的横坐标缩短到原来的 2 3 1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,可知 2 1 ? g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ) 2 3

? ?? 因为 x ? ?0, ? , ? 4?

所以 4 x ??0, ? ? , 因此 4 x ? 故 ?

?

? ? 2? ? ? ?? , ? , 3 ? 3 3 ?

1 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 。 2 3

1 1 ? ?? 所以 y ? g ( x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 和 ? . 2 4 ? 4?
(2010 年山东卷理 18) (本小题满分 12 分)

已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn= 答案:

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

(18)本小题主要考查等差数列的基本知识,考查逻辑推理、等价变形和运算能力。 解: (Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 4(n ? 1)

(2010 年山东卷理 19) (本小题满分 12 分) 如图,在五棱锥 P—ABCDE 中,PA⊥平面 ABCDE,AB∥CD,AC∥

ED,AE∥BC, ? ABC=45°,AB=2 2 ,BC=2AE=4,三角形 PAB 是等腰三角形.
(Ⅰ)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积. 答案:

(19)本小题主要考察空间中的基本关系,考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和 集合体体积的计算,考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力,满分 12 分 (|)证明: 在△ABC 中,因为∠ABC=45°,BC=4,AB= 2 2 , 所以 AC =AB+BC -2AB·BC·cos45°=8 因此 AC= 2 2 , 故 BC2=AC2+AB2, 所以∠BAC=90°---------------------------------------------------又 PA⊥平面 ABCDE,AB∥CD, 所以 CD⊥PA,CD⊥AC, 又 PA,AC ? 平面 PAC,且 PA ? AC =A, 所以 CD⊥PAC,又 CD ? 平面 PCD, 所以 平面 PCD⊥平面 PAC-------------------------------------------2 2



sin? ?

h 2 1 ? ? PB 4 2 ,



? ?? ? ? ?0, ? ? 2?



所以

??

?
6

解法二: 由(|)知 AB,AC,AP 两两相互垂直,分别以 AB、AC、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系,由于△PAB 是等腰三角形, 所以 PA=AB= 2 2 , 又 AC= 2 2 ,

所以

??

?
3,

因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为

??

?
6

(Ⅲ)因为 AC∥ED,CD⊥AC, 所以 四边形 ACDE 是直角梯形, 因为 AE=2,∠ABC=45°,AE∥BC, 所以 ∠BAE=135°, 因此 ∠CAE=45°,

2 故 CD=AE·sin45°==2× 2 = 2 , S四边形ACDE ? 2 ?2 2 ? 2 ?3 2

所以 又

PA⊥平面 ABCDE,

1 VP-ACDE ? ? 3 ? 2 2 ? 2 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 所以

(2010 年山东卷理 20) (本小题满分 12 分) 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A, B, C , D 四个问题,规则如下: ① 每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A, B, C , D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分,答 错任一题减 2 分; ② 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当累计分 数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题 结束,淘汰出局,当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计 分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局; ③ 每位参加者按问题 A, B, C , D 顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题 A, B, C , D 回答正确的概率依次为 有影响. (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; (Ⅱ)用 ? 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ? 的分布列和数学的 E? .

3 1 1 1 , , , ,且各题回答正确与否相互之间没 4 2 3 4

答案:

(20)本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查对立事件、独立事件 的概率和求解方法,考查用概率知识解决实际问题的能力. 解:设 A, B, C , D 分别为第一、二、三、四个问题.用 M1 (i ? 1, 2,3, 4) 表示甲同学第 i 个问 题回答正确,用 N1 (i ? 1, 2,3, 4) 表示甲同学第 i 个问题回答错误,则 M 1 与 N1 是对立事件
(i ? 1, 2,3, 4) .由题意得
3 1 1 1 P ( M 1 ) ? , P ( M 2 ) ? , P( M 3 ) ? , P( M 4 ) ? , 4 2 3 4 所以 1 1 2 3 P( N1 ) ? , P( N 2 ) ? , P( N 3 ) ? , P( N 4 ) ? ????????? 4 2 3 4

(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q , 则

(Ⅱ)由题意,随机变量 ? 的可能取值为: 2,3, 4 . 由于每题答题结果相互独立, 所以

因此 随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

3

4

1 8

3 8

1 2

所以
1 3 1 27 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 8 2 8

(2010 年山东卷理 21) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 a2 b2 2

该椭圆上的点和椭圆的左、 右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的 周长为 4( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与 椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ;

(Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若 存在,求 ? 的值;若不存在, 请说明理由. 答案:

(21)本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直线和椭圆的位置关 系,考查坐标化、定值和存在性问题,考查数行结合思想和探求问题的能力。 解(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,由题意知:
c 2 2 2 2 x2 y 2 ? a b ?c ? ? 1m ? m a 2 4 4
2 2 x0 ? y0 ? 4k1k2 ? 1

y y0 0 ? x x1 y1 x0 , y0 k1 0 k2 ? ? y2 ? 4 c 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x , ? a 2

2

2a+2c=4( 2 +1) 所以 a=2 2 ,c=2, 又 a 2 = b 2 ? c 2 ,因此 b=2。 故 椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ?1 8 4 x2 y 2 ? ? 1 ? m 0? ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆 m2 m2

由题意设等轴双曲线的标准方程为 的焦点。 所以 m=2, 因此 双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,P( x0 , y0 ) , 则 k1 =
y0 y0 , k2 ? 。 x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 因为点 P 在双曲线 x2 ? y 2 ? 4 上,所以 x0 ? y0 ?4。
2 y0 y0 y0 因此 k1k2 ? ? 2 ? 1, x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ?4

即 k1k2 ? 1

同理可得

CD ? 4 2

k2 2 ? 1 . 2k 2 2 ? 1

则 又

1 1 1 2k12 ? 1 2k22 ? 1 ? ? ( ? ), AB CD 4 2 k12 ? 1 k22 ? 1
k1k2 ? 1,
2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 ? ? ( ? )? . ( ? )? 1 AB CD 4 2 k ? 1 8 k12 ? 1 k12 ? 1 8 k12
2 1 2 1

所以



AB ? CD ?

3 2 AB · CD 8

因此 存在 ? ?

3 2 ,使 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立. 8

(2010 年山东卷理 22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1 ( a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 (Ⅱ)设 g ( x) ? x2 ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4
(Ⅰ)当 a ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
答案:

(22)本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思 想、数形结合思想、等价变换思想,以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 1? a ?1 , 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? x 所以 f ' ( x) ? 令
1 a ? 1 ax 2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? x ? (0, ??) , x x x2

h( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0, ??) ,

①当 a ? 调递减;

1 (0,+?) 时, x1 ? x2, h( x)≥0 恒成立,此时 f ' ( x)≤0 ,函数 f ( x) 在 上单 2

1 1 ②当 0<a< 时, ? 1>1>0 , 2 a

x ? (0,1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
1 x ? (1, ? 1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a<0 时,由于 ? 1<0 , a

x ? (0,1) , h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.

综上所述:

1 1 (Ⅱ)因为 a= ? (0, ) ,由(Ⅰ)知, x1 =1, x2 =3 ? (0, 2) ,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) 4 2

0,

1 17 ? 函数 f ( x) 单调递减; , ?? ? 当 x ? (1, 2) 时, ? g ( x)?min ? g (2) ? 8 ? 4b ? 0b ? (2, ??) ? b ? ? ? 2 ?8 ?

f ' ( x)

1 0 ,函数 f ( x) 单调递增,所以 f ( x) 在(0,2)上的最小值为 f (1) ? ? 。 2

由于“对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于 “ g ( x) 在 ?1, 2? 上的最小值不大于 f ( x) 在(0,2)上的最小值 ? 又 g ( x) = ( x ? b)2 ? 4 ? b2 , x1 ? ?1, 2? ,所以 ①当 b 1 时,因为 ? g ( x)?min ? g (1) ? 5 ? 2b
1 ” (*) 2

0 ,此时与(*)矛盾

②当 b ??1, 2? 时,因为 ? g ( x)?min ? 4 ? b2 ? 0 ,同样与(*)矛盾 ③当 b ? (2, ??) 时,因为 ? g ( x)?min ? g (2) ? 8 ? 4b ,解不等式 8-4b ?
?17 ? 综上,b 的取值范围是 ? , ?? ? 。 ?8 ?
17 1 ,可得 b ? 8 2

山东理数答案 一. 选择题 1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 7.A 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B 二.填空题 13. ?
5 4

?1 ? 14. ? , ?? ? ?5 ?

15.

? 6

16. x ? y ? 3 ? 0

2 an bn

1 n 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? Tnb1 ? b2 ? ..... ? bn1 ? ? ? ? .... ? ? ?bn ? 4 4(n ? 1) n n ? 1 2 2 3 n n ?1

? 1 ? ? 1 ? ? ?? 1 0, ? ? ? cos(4 x ? ) ? 1 ? cos(2 x ? ) cos(? ? ? ? ) y ? g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ) ? 3 2 3 3 2 3 ? 4? 2
三.解答题

1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图 像上各点的横坐标缩短到原来的 2 3 1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,可知 2 1 ? g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ) 2 3

? ?? 因为 x ? ?0, ? , ? 4?

所以 4 x ??0, ? ? ,

因此 4 x ? 故 ?

?

? ? 2? ? ? ?? , ? , 3 ? 3 3 ?

1 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 。 2 3

1 1 ? ?? 所以 y ? g ( x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 和 ? . 2 4 ? 4?

(18)本小题主要考查等差数列的基本知识,考查逻辑推理、等价变形和运算能力。 解: (Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 4(n ? 1)

(20)本小题主要考察空间中的基本关系,考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和 集合体体积的计算,考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力,满分 12 分 (|)证明:

在△ABC 中,因为∠ABC=45°,BC=4,AB= 2 2 , 所以 AC2=AB+BC2 -2AB·BC·cos45°=8 因此 AC= 2 2 , 故 BC2=AC2+AB2, 所以∠BAC=90°---------------------------------------------------又 PA⊥平面 ABCDE,AB∥CD, 所以 CD⊥PA,CD⊥AC, 又 PA,AC ? 平面 PAC,且 PA ? AC =A, 所以 CD⊥PAC,又 CD ? 平面 PCD, 所以 平面 PCD⊥平面 PAC--------------------------------------------



sin? ?

h 2 1 ? ? PB 4 2 ,



? ?? ? ? ?0, ? ? 2?



所以

??

?
6

解法二: 由(|)知 AB,AC,AP 两两相互垂直,分别以 AB、AC、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系,由于△PAB 是等腰三角形, 所以 PA=AB= 2 2 , 又 AC= 2 2 ,

所以

??

?
3,

因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为

??

?
6

(Ⅲ)因为 AC∥ED,CD⊥AC, 所以 四边形 ACDE 是直角梯形, 因为 AE=2,∠ABC=45°,AE∥BC, 所以 ∠BAE=135°, 因此 ∠CAE=45°,

2 故 CD=AE·sin45°==2× 2 = 2 , S四边形ACDE ? 2 ?2 2 ? 2 ?3 2

所以



PA⊥平面 ABCDE,

1 VP-ACDE ? ? 3 ? 2 2 ? 2 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 所以

(20)本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查对立事件、独立事件 的概率和求解方法,考查用概率知识解决实际问题的能力. 解:设 A, B, C , D 分别为第一、二、三、四个问题.用 M1 (i ? 1, 2,3, 4) 表示甲同学第 i 个问 题回答正确,用 N1 (i ? 1, 2,3, 4) 表示甲同学第 i 个问题回答错误,则 M 1 与 N1 是对立事件
(i ? 1, 2,3, 4) .由题意得
3 1 1 1 P ( M 1 ) ? , P ( M 2 ) ? , P( M 3 ) ? , P( M 4 ) ? , 4 2 3 4 所以 1 1 2 3 P( N1 ) ? , P( N 2 ) ? , P( N 3 ) ? , P( N 4 ) ? ????????? 4 2 3 4

(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q , 则

(Ⅱ)由题意,随机变量 ? 的可能取值为: 2,3, 4 . 由于每题答题结果相互独立, 所以

因此 随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

3

4

1 8

3 8

1 2

所以
1 3 1 27 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 8 2 8 (21)本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直线和椭圆的位置关 系,考查坐标化、定值和存在性问题,考查数行结合思想和探求问题的能力。 解(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,由题意知:

c 2 2 2 2 x2 y 2 ? a b ?c ? ? 1m ? m a 2 4 4
2 2 x0 ? y0 ? 4k1k2 ? 1

0 ? x x1 y1 x0 , y0 k1

y0 y0 k2 ? ? y2 ? 4 c 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x ? , a 2

2

2a+2c=4( 2 +1) 所以 a=2 2 ,c=2, 又 a 2 = b 2 ? c 2 ,因此 b=2。 故 椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ?1 8 4

x2 y 2 由题意设等轴双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ? m 0? ,因为等轴双曲线的顶点是椭圆 m m

的焦点。 所以 m=2, 因此 双曲线的标准方程为
x2 y 2 ? ?1 4 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,P( x0 , y0 ) , 则 k1 =
y0 y0 , k2 ? 。 x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 因为点 P 在双曲线 x2 ? y 2 ? 4 上,所以 x0 ? y0 ?4。

因此 k1k2 ? 即 k1k2 ? 1

y0 y0 y2 ? 2 0 ? 1, x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

同理可得

k2 2 ? 1 . CD ? 4 2 2k 2 2 ? 1
则 又

1 1 1 2k12 ? 1 2k22 ? 1 ? ? ( ? ), AB CD 4 2 k12 ? 1 k22 ? 1
k1k2 ? 1,

所以

2 ?1 1 1 1 2k ? 1 k12 2 2k12 ? 1 k12 ? 2 3 2 ? ? ( ? )? . ( ? )? 1 AB CD 4 2 k ? 1 8 k12 ? 1 k12 ? 1 8 k12
2 1 2 1



AB ? CD ?

3 2 AB · CD 8

因此 存在 ? ?

3 2 ,使 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立. 8

(22)本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思 想、数形结合思想、等价变换思想,以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 1? a ?1 , 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? x 所以 f ' ( x) ? 令
1 a ? 1 ax 2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? x ? (0, ??) , x x x2

h( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0, ??) ,

①当 a ? 调递减;

1 (0,+?) 时, x1 ? x2, h( x)≥0 恒成立,此时 f ' ( x)≤0 ,函数 f ( x) 在 上单 2

1 1 ②当 0<a< 时, ? 1>1>0 , 2 a

x ? (0,1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
1 x ? (1, ? 1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a<0 时,由于 ? 1<0 , a

x ? (0,1) , h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;

x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.

综上所述:

1 1 (Ⅱ)因为 a= ? (0, ) ,由(Ⅰ)知, x1 =1, x2 =3 ? (0, 2) ,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) 4 2

0,

1 17 ? 函数 f ( x) 单调递减; , ?? ? 当 x ? (1, 2) 时, ? g ( x)?min ? g (2) ? 8 ? 4b ? 0b ? (2, ??) ? b ? ? ? 2 ?8 ?

f ' ( x)

1 0 ,函数 f ( x) 单调递增,所以 f ( x) 在(0,2)上的最小值为 f (1) ? ? 。 2

由于“对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于 “ g ( x) 在 ?1, 2? 上的最小值不大于 f ( x) 在(0,2)上的最小值 ? 又 g ( x) = ( x ? b)2 ? 4 ? b2 , x1 ? ?1, 2? ,所以 ①当 b 1 时,因为 ? g ( x)?min ? g (1) ? 5 ? 2b
1 ” (*) 2

0 ,此时与(*)矛盾

②当 b ??1, 2? 时,因为 ? g ( x)?min ? 4 ? b2 ? 0 ,同样与(*)矛盾 ③当 b ? (2, ??) 时,因为 ? g ( x)?min ? g (2) ? 8 ? 4b ,解不等式 8-4b ?
?17 ? 综上,b 的取值范围是 ? , ?? ? 。 ?8 ?
17 1 ,可得 b ? 8 2


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