人教A版数学必修五 2.4《等比数列》(第2课时)目标导学

第 2 课时 等比数列的性质 1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2.掌握等比中项的应用. 3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题. 1.等比数列的定义及通项公式 1 【做一做 1】 等比数列{an}的公比 q=3,a1= ,则 a5 等于( ) 3 A.3 B.9 C.27 D.81 2.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成________,那么 G 叫做 a,b 的等比中 项,这三个数满足关系式________. 【做一做 2】 已知 10 是 a 与 20 的等比中项,则 a=__________. 答案:1.同一个常数 公比 【做一做 1】 C 2 2.等比数列 G =ab 【做一做 2】 5 q an= a1qn-1 an=an-1q 1.等比数列的性质 n-1 剖析:已知等比数列{an}中,首项为 a1,公比为 q(q≠0),则 an=a1·q . (1)当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,数列{an}是递增数列;当 q>1,a1<0 或 0< q<1,a1>0 时,数列{an}是递减数列; 当 q=1 时, 数列{an}是常数列; 当 q<0 时, 数列{an} 是摆动数列(它所有的奇数项同号,所有的偶数项也同号,但是奇数项与偶数项异号). n-m * (2)an=am·q (m,n∈N ). * (3)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N )时,有 am·an=ap·aq. (4)数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积, 即 a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=am·an-m+1. (5)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;若数列{bn}是公比为 ?1? 1 q′的等比数列,则数列{an·bn}是公比为 q·q′的等比数列;数列? ?是公比为 的等比数 ?an? q 列;数列{|an|}是公比为|q|的等比数列. * (6)在数列{an}中,每隔 k(k∈N )项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比 k+1 数列,且公比为 q . (7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lg an}是公差为 lg q 的等差数列. k 2 (8)在数列{an}中,连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 q (或 qk )的等比数列. * (9)若 m,n,p(m,n,p∈N )成等差数列,则 am,an,ap 成等比数列. 利用等比数列的通项公式易证性质(1)(2)(3)(4),下面证明其他几条性质 n-1 (5)①∵an=a1·q , n-1 n-1 ∴λ an=λ ·a1·q =(λ a1)·q . 又 λ ≠0, ∴数列{λ an}是首项为 λ a1,公比为 q 的等比数列. (n-1) n-1 ②∵bn=b1·(q′) ,an=a1·q , n-1 (n-1) ∴an·bn=a1·q ·b1·(q′) n-1 =(a1·b1)·(q′·q) . ∴数列{an·bn}表示首项为 a1·b1,公比为 q′·q 的等比数列. 1? 1 1 1 1 ? 1 ? ?1?n-1,得数列? ? ?表示首项为 ,公比为 的等比数列. ③由 = n-1=? ?·? ? a q a an a1·q a1 q ? 1? ? ? ? n? n-1 n-1 ④|an|=|a1·q |=|a1|·|q| ,故数列{|an|}表示首项为|a1|,公比为|q|的等比数 列. (6)例如,等比数列{an}中,从首项 a1 开始每隔 3 项取出一项构成新数列为 a4,a8,a12, a16,a20,a24,…. a8 a12 a16 a20 a24 4 = = = =…=q , a4 a8 a12 a16 a20 a2k+2 a3k+3 a4k+4 k+1 ∴当每隔 k 项取出一项时,变为 = = =…=q . ak+1 a2k+2 a3k+3 n-1 (7)∵an>0 且 an=a1·q (q≠0), n-1 ∴lg an=lg(a1·q ). n-1 n-2 ∴lg an-lg an-1=lg(a1·q )-lg(a1·q ) n-1 n-2 =(lg a1+lg q )-(lg a1+lg q ) n-1 n-2 =lg q -lg q =(n-1)lg q-(n-2)lg q =lg q(常数). ∴数列{lg an}是公差为 lg q 的等差数列. (8)例如,等比数列{an}中,从首项 a1 开始,连续取相邻两项的和,构成新数列为 a1+ a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,…. a3+a4 a5+a6 a7+a8 2 ∵ = = =…=q , a1+a2 a3+a4 a5+a6 ∴连续取相邻 k 项的和时,变为: ak+1+ak+2+…+a2k a2k+1+a2k+2+…+a3k k = =…=q . a1+a2+…+ak ak+1+ak+2+…+a2k * (9)∵m+p=2n 且 m,n,p∈N , m-1 n-1 am=a1·q , an=a1·q ,ap=a1·qp-1, m-1 p-1 2 m+p-2 ∴am·ap=a1·q ·a1·q =a1·q ∵an=a1·q n-1 ,且新数 列中 = m? p =(a1· q 2 ) =(a1·q ) =an. ∴am,an,ap 成等比数列. 2.等差数列与等比数列的 区别与联系 剖析:等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示. 等差数列 等比数列 (1)强调每一项与前一项的差; (1)强调每一项与前一项的比; (2)a1 和 d 可以为 0; (2)a1 与 q 均不为 0; 不同点 (3)任意两个实数的等差中项唯一; (3)两个同号实数(不为 0)的等比中项 * (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N ) 有两个值; * 时, (4)当 m+n=p+q(m,n,

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