人教A版数学必修五 2.4《等比数列》(第1课时)目标导学

第 1 课时 等比数列 1.理解等比数列的概念,明确“同一个常数”的含义. 2.掌握等比数列的通项公式及其应用. 3.会判定等比数列,了解等比数列在实际中的应用. 1.等比数列 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的__都等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列,这个常数就叫做等比数列的____,通常用字母 q(q≠0)表示. 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它前一项的比尽管是一个与 n 无关的常数, 但却是 不同的常数,这时此数列不是等比数列. 【做一做 1】 等比数列 3,6,12,24 的公比 q=__________. 2.通项公式 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则通项公式为 an=____ __(a1≠0,q≠0). 【做一做 2】 等比数列{an}中,a1=2,q=3,则 an 等于( ) n-1 A.6 B.3×2 n-1 n C.2×3 D.6 3.等比中项 如果 a,G,b 成等比数列,那么__叫做 a 与 b 的等比中项. 等比中项的性质: (1)G 是 a 与 b 的等比中项,则 a 与 b 的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中 项. G=± ab,即等比中项有两个,且互为相反数. 2 2 (2)当 G =ab 时, G 不一定是 a 与 b 的等 比中项.例如 0 =5×0,但 0,0,5 不是等比数 列. 【做一做 3】 4 与 9 的等比中项为( ) A.6 B.-6 C.±6 D.36 答案:1.比 【做一做 1】 n-1 2.a1q 【做一 做 2】 3.G 【做一做 3】 公比 2 C C 1.理解等比数列的定义 剖析:可以从以下几个方面理解等比数列的定义: (1)公比 q≠0,这是必然的,也就是说,不存在公比 q=0 的等比数列,还可以理解为 在等比数列中,不存在数值为 0 的项. (2)每一项与它的前一项的比是同一个常数, 是具有任意性的, 但须注意是从“第 2 项” 起. (3)每一项与它的前一项的比是同一个常数,强调的是“同一个”. (4)对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,次序不能颠倒. (5)定义还可用数学符号语言叙述为: 在数列{an}中, 若 an+1 an+1 =q(其中 q 是常数, q≠0, n∈N*), 则{an}是等比数列. =q(q≠0, an an n∈N*)也是说明一个数列是等比数列的依据. (6)各项不为零的常数列既是等差数列,又是等比数列. 2.理解等比数列的通项公式 剖析:(1)已知等比数列的首项 a1 与公比 q 可求得任何一项. (2)在通项公式中,知道 a1,q,n,an 四个量中的三个,可以求得另一个量,即“知三 求一”. n-m (3)通项公式的推广式为 an=am·q ,由此可知,已知等比数列的任意两项,这个数列 就 是一个确定的数列. (4)对于选择题或填空题还可以直接用以下结论: kn+b ①如果数列{an}的通项公式是 an=aq (a,k,b,q 是常数,a≠0,q≠0),那么数列 {an}是等比数列. ? ②如果数列{an}满足 a2n=an- 1an+1(an-1,an,an+1 均不为 0,n∈N ),那么数列{an}是等 比数列. 3.等比数列与指数函数的关系 剖析:等 比数列的通项公式可整理为 an= qn .当 q>0,且 q≠1 时,y= qx(q≠1)是一 个不为零的常数 与指数函数 qx 的乘积 .表示数列 中的各项的点是函数 y= qx 的图象上的 x-1 孤立的点.如图,表示等比数列{2n-1}的各点都在函数 y=2 的图象上. 题型一 求等比数列的通项公式 【例题 1】 在等比数列{an}中,已知 a5-a1=15,a4-a2=6,求 an. 分析:设公比 q,列出关于 a1 和 q 的方程组来求解. 反思:a1 和 q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解(如 本题求 an).此类问题求解的通法是根据条件,利用等比数列通项公式,建立关于 a1 和 q 的 方程组,求出 a1 和 q.其中解这类方程组常用的技巧是两个方程相除. 题型二 等比数列的判定和证明 【例题 2】 已知数列{an}满足 lg an=3n+5,求证:{an}是等比数列. 分析:可由 lg an=3n+5 求出 an,再证明 反思:证明数列是等比数列常用的方法: ①定义法: an+1 是与 n 无关的常数. an {an}为等比 an+1 an =q(q≠0,且是常数)或 =q(q≠0,且是常数)(n≥2) an an-1 数列.此法适用于给出通项公式的数列,如本题. * ②等比中项法:a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N ) {an}为等比数列.此法适用于通项公 式不明确的数列. n-1 * ③通项法:an=a1q (其中 a1,q 为非零常数,n∈N ) {an}为等比数列.此法适用于 做选择题和填空题. 题型三 应用问题 【例题 3】 某工厂 2010 年 1 月的生产总值为 a 万元,计划从 2010 年 2 月起,每个月 生产总值比上一个月增长 m%,那么到 2011 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元? 分析:转化为求等比数列的一项. 反思: 利用数列解决实际问题的关键是建立含有数列的数学模型, 本题的数学模型是每 月的生产总值组成一个等比数列. 题型四 易错辨析 【例题 4】 2+ 3与 2- 3的等比中项是__________. 错解:设 2+ 3与 2- 3的 等比中项为 G, 2 则 G =(2+ 3)(2- 3)=4-3=1,故 G=1. 错因分析:两个同号的实数的等比中项有两个,且互为相反数.错解中只求了一个. 反思:两个实数的等比中项可能有两个,也可能没有,但一定不能只有一个. 答案: 【例题 1】 解:设等比数列{an}的公比为 q, 4 ? ① ?a5-a1=a1q -a1=15

相关文档

数学知识点人教A版数学必修五 2.4《等比数列》(第1课时)目标导学-总结
人教A版数学必修五 2.4《等比数列》(第2课时)目标导学
数学知识点人教A版数学必修五 2.4《等比数列》(第2课时)目标导学-总结
人教A版数学必修五 2.2《等差数列》(第1课时)目标导学
人教A版数学必修五 1.2《应用举例》(第4课时)目标导学
人教A版数学必修五 2.5《等比数列的前n项和》目标导学
人教A版数学必修五 2.2《等差数列》(第2课时)目标导学
人教A版数学必修五 2.3《等差数列的前n项和》(第1课时)目标导学
人教A版数学必修五 1.2《应用举例》(第2课时)目标导学
电脑版