欧拉公式

目录: 1.e**x 的微分 2. 3. sinx 和 cosx 的微分 4.程序验证 5.带入复数运算 6.欧拉公式 欧拉

1.e**x 的微分 底数为 e 的指数函数微分后仍然是原指数函数。 2. e**0=1 a_n=f '(n)(0)/n! =e**0/n! =1/n! 经论证,泰勒展开式使用于三角函数和指数函数等函数。 a_0=e**0=1 (a0 是函数和 y 轴的截距,当 x=0 时即可求到) a_1=1/1!=1 a_2=1/2!=1/2 所以

3. sinx 和 cosx 的微分

sinx 经过四次微分后便开始循环,cosx 仅比 sinx 晚一步,紧追其后,接下来我们用微分结 果将三角函数进行泰勒展开式,因为 sin0=0 cos1=1 a_n=f '(n)(0)/n! a_0=sin(0)=0 a_1=f ' (0)/1=cos(0)/1=1 a_2=f ' '(0)/2=-sin(0)/2=0 a_3=f '''(0)/3!=-cos(0)/3! a_4=f ''''(0)/4!=sin(0)/4!=0 a_5=f '(0)/5!=cos(0)/5!=1/5! sinx=x-(1/3!)*x**3+(1/5!)*x**5-(1/7!)*x**7+........ cosx=1-(1/2!)*x**2+(1/4!)*x**4-(1/6!)*x**6+........

4.程序验证 import numpy,pylab,math x=numpy.arange(-2,2,0.1) y=x-(1.0/math.factorial(3))*x**3+(1.0/math.factorial(5))*x**5-\ (1.0/math.factorial(7))*x**7+(1.0/math.factorial(9))*x**9 pylab.plot(y) z=numpy.sin(x)+1

pylab.plot(z) pylab.margins(0.3) pylab.title("Taylor's formula for sinx and cosx") pylab.grid(True)

pylab.show() sinx 函数基本可以重合其泰勒展开式

import numpy,pylab,math x=numpy.arange(-5,5,0.1) z=1-(1.0/math.factorial(2))*x**2+(1.0/math.factorial(4))*x**4-(1.0/ma th.factorial(6))*x**6+\ (1.0/math.factorial(8))*x**8 pylab.plot(z)

c=numpy.cos(x)+1 pylab.plot(c) pylab.margins(0.3) pylab.title("Taylor's formula for sinx and cosx") pylab.grid(True)

pylab.show() 数值大了还是有误差

5.带入复数运算 i 为虚数单位,i**2=-1 i**0=1 i**1=i i**2=-1 i**3=i*(i**2)=i* (-1)=-i i**4=(i**2)**2=(-1)**2=1

i**5=(i**4)*i=1*i=i i 的累乘呈周期性变化,具体是 1,i , -1, -i

6.欧拉公式 用 i*x 代替 x e^(i*x)=1+i*x-(1/2!)*x^2 -(1/3!)*i*x^3+(1/4!)*x^4+(1/5!)*i*x^5-(1/6!)*x^6-(1/7!)*i*x^7+....... . 一般来说, 复数表达式 z=a+b*i, 分实数部分和虚数部分, 我们模仿这一表达式, 将上述多项式中不含 i 的项和含 i 的项分开写,并将 i 提出来 e^(i*x)=(1-(1/2!)*x^2+(1/4!)*x^4-(1/6!)*x^6+......) +i*(x-(1/3!)*i*x^3+(1/5!)*i*x^5-(1/7!)*i*x^7+......) =cosx+i*sinx 得到欧拉公式 e^(i*x)=cosx+i*sinx

当 x=math.pi ,得到 e^(pi.i)+1=0

著名物理学家费曼说在一点一点进步数学世界里, 实际上欧拉公式起着最基本推 动作用 通过三角函数,微积分,多项式函数,指数函数,复数,泰勒展开式 共 6 个领

域结合,得到了欧拉公式 无理数 e,pi, i 的值居然有内在联系,不可思议 .这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里 最重要的几个数字联系到了一起: 两个超越数: 自然对数的底 e[2] , 圆周率π , 两个单位:虚数单位 i 和自然数的单位 1,以及被称为人类伟大发现之一的 0。 数学家们评价它是“上帝创造的公式”


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