高二数学 第三章 导数及其应用A组测试题 新人教A版选修1-1

(数学选修 1-1)第三章 导数及其应用 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.若函数 y = f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ∈ ( a, b) 则 lim
h →0

f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) h

的值为( A. f ( x0 )
'

) B. 2 f ( x0 )
2
'

C. ?2 f ( x0 )
'

D. 0

2.一个物体的运动方程为 s = 1 ? t + t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 ) )

3.函数 y = x 3 + x 的递增区间是( A. (0,+∞) C. (?∞,+∞) B. (?∞,1) D. (1,+∞)

4. f ( x ) = ax 3 + 3 x 2 + 2 ,若 f ' ( ?1) = 4 ,则 a 的值等于(



A.

19 3 13 3

B.

16 3 10 3


C.

D.

5.函数 y = f ( x ) 在一点的导数值为 0 是函数 y = f ( x ) 在这点取极值的( A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.必要非充分条件

6.函数 y = x 4 ? 4 x + 3 在区间 [ ?2,3] 上的最小值为( A. 72 B. 36 C. 12



D. 0

二、填空题
1.若 f ( x ) = x , f ( x0 ) = 3 ,则 x0 的值为_________________;
3 '

用心

爱心

专心

-1-

2.曲线 y = x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;
3

3.函数 y =

sin x 的导数为_________________; x

4 . 曲 线 y = ln x 在 点 M (e,1) 处 的 切 线 的 斜 率 是 _________ , 切 线 的 方 程 为 _______________; 5.函数 y = x + x ? 5 x ? 5 的单调递增区间是___________________________。
3 2

三、解答题 1.求垂直于直线 2 x ? 6 y + 1 = 0 并且与曲线 y = x + 3 x ? 5 相切的直线方程。
3 2

2.求函数 y = ( x ? a )( x ? b)( x ? c ) 的导数。

3. 求 函 数 f ( x ) = x 5 + 5 x 4 + 5 x 3 + 1 在 区 间 [? 1,4] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。

4.已知函数 y = ax 3 + bx 2 ,当 x = 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a, b 的值; (2)求函数 y 的极小值。
用心 爱心 专心 -2-

(数学选修 1-1)第三章
一、选择题 1.B

导数及其应用 [基础训练 A 组]答案

f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) = lim 2[ ] h →0 h→0 h 2h f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) = 2 lim = 2 f ' ( x0 ) h →0 2h lim

2.C 3.C 4.D

s ' (t ) = 2t ? 1, s ' (3) = 2 × 3 ? 1 = 5 y ' = 3 x 2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立 f ' ( x) = 3ax 2 + 6 x, f ' (?1) = 3a ? 6 = 4, a = 10 3

5.D 对于 f ( x) = x3 , f ' ( x) = 3 x 2 , f ' (0) = 0, 不能推出 f ( x ) 在 x = 0 取极值,反之成立 6.D

y ' = 4 x 3 ? 4, 令y ' = 0, 4 x 3 ? 4 = 0, x = 1, 当x < 1时, y ' < 0;当x > 1时, y ' > 0
得 y极小值 = y |x =1 = 0, 而端点的函数值 y |x =?2 = 27, y |x =3 = 72 ,得 ymin = 0

二、填空题 1. ±1 2. π

f ' ( x0 ) = 3 x0 2 = 3, x0 = ±1
3 y ' = 3 x 2 ? 4, k = y ' |x =1 = ?1, tan α = ?1, α = π 4

3 4

3.

x cos x ? sin x x2
1 e

y' =

(sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x = x2 x2

1 1 1 1 y ' = , k = y ' |x =e = , y ? 1 = ( x ? e), y = x x e e e 5 5 ' 2 5. ( ?∞, ? ), (1, +∞ ) 令y = 3 x + 2 x ? 5 > 0, 得x < ? , 或x > 1 3 3
4. , x ? ey = 0 三、解答题 1.解:设切点为 P ( a, b) ,函数 y = x 3 + 3 x 2 ? 5 的导数为 y ' = 3 x 2 + 6 x 切线的斜率 k = y |x = a = 3a + 6a = ?3 ,得 a = ?1 ,代入到 y = x 3 + 3 x 2 ? 5
' 2

得 b = ?3 ,即 P ( ?1, ?3) , y + 3 = ?3( x + 1),3 x + y + 6 = 0 。
用心 爱心 专心 -3-

2.解: y = ( x ? a ) ( x ? b)( x ? c) + ( x ? a )( x ? b) ( x ? c) + ( x ? a )( x ? b)( x ? c)
' ' '

'

= ( x ? b)( x ? c) + ( x ? a )( x ? c) + ( x ? a )( x ? b)
3.解: f ′( x ) = 5 x + 20 x + 15 x = 5 x ( x + 3)( x + 1) ,
4 3 2 2

当 f ′( x ) = 0 得 x = 0 ,或 x = ?1 ,或 x = ?3 , ∵ 0 ∈ [?1, 4] , ?1 ∈ [?1, 4] , ?3?[?1,4] 列表:

x
f ' ( x) f ( x)

?1 0 0

(?1, 0)
+ ↗

0 0 1

(0, 4)
+ ↗

又 f (0) = 0, f ( ?1) = 0 ;右端点处 f (4) = 2625 ; ∴函数 y = x 5 + 5 x 4 + 5 x 3 + 1 在区间 [ ?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。 4.解: (1) y ' = 3ax 2 + 2bx, 当 x = 1 时, y |x =1 = 3a + 2b = 0, y |x =1 = a + b = 3 ,
'

即?

?3a + 2b = 0 , a = ?6, b = 9 ?a + b = 3

(2) y = ?6 x 3 + 9 x 2 , y ' = ?18 x 2 + 18 x ,令 y ' = 0 ,得 x = 0, 或x = 1

∴ y极小值 = y |x = 0 = 0

用心

爱心

专心

-4-


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