2015-2016学年高中数学 第一、二章 统计 算法初步综合能力测试(含解析)北师大版必修3

2015-2016 学年高中数学 第一、二章 统计 算法初步综合能力 测试 北师大版必修 3
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.时间 120 分钟,满分 150 分. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2014·四川文,2)在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5000 名居民某天的阅读 时间,从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000 名居民的阅 读时间的全体是( A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 [答案] A [解析] 本题考查了抽样中的相关概念.5000 名居民的阅读时间的全体叫作总体.C 中 样本容量是 200,D 中样本为 200 名居民的阅读时间. 2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、 丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12、21、25、43,则这四个 社区驾驶员的总人数 N 为( A.101 C.1 212 [答案] B [解析] 本题考查了分层抽样知识. 96 由题意得, = ) B.808 D.2 012 )

N

12 , 12+21+25+43

解得 N=808. 解决本题的关键是分清各层次的比例,属基础题,难度较小. 3. (2015·湖南理, 3)执行如图 1 所示的程序框图. 如果输入 n=3, 则输出的 S=( )

1

A. C.

6 7 8 9

B. D.

3 7 4 9

[答案] B [解析]
? ? 1 ?的前三项和,而 由题意得,输出的 S 为数列? ?2 n - 1 ??2 n + 1 ? ? ?

1 ? 1 1? 1 - = ? ?, ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? 1 ? 1? n 3 ∴Sn= ?1- = ? S3= ,故选 B. ? 2n+1? 2n+1 2? 7 4.用二分法求方程 x -2=0 的近似根的算法中要用哪种算法结构( A.顺序结构 C.循环结构 [答案] D [解析] 任何一个算法都有顺序结构, 循环结构一定包含条件结构, 二分法用到循环结 构. 5.一个单位职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有 初级职称的 200 人,其余人员 120 人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从 中抽取容量为 40 的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是( A.12,24,15,9 C.8,15,12,5 [答案] D [解析] 本题考查分层抽样的概念和应用, 利用分层抽样抽取人数时, 首先应计算抽样 160 320 200 120 比.从各层中依次抽取的人数分别是 40× =8,40× =16,40× =10,40× =6. 800 800 800 800
2
2

)

B.条件结构 D.以上都用

)

B.9,12,12,7 D.8,16,10,6

6.有一个容量为 50 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [12.5,15.5) 3, [15.5,18.5) 8, [18.5,21.5) 9, [24.5,27.5) 10, [27.5,30.5) 5, [30.5,33.5) 4.

[21.5,24.5) 11, 则数据落在[15.5,24.5)的频率是( A.0.44 C.0.52 [答案] D [解析] [15.5,24.5)的频数应该是 8+9+11=28,所以频率是 28÷50=0.56,故选 D. 7.阅读下图所示的算法框图,运行相应的程序,输出的结果是( ) ) B.0.51 D.0.56

A.1 C.3 [答案] D [解析] 输入 S=2,n=1; 当 n=1 时,S= 当 n=2 时,S= 当 n=3 时,S= 1 =-1; 1-2 1 1 = ; 1-?-1? 2 =2,n=4; 1 1- 2 1

B.2 D.4

答合条件,故输出 4. 8.设矩形的长为 a,宽为 b,其比满足 b∶a= 5-1 ≈0.618,这种矩形给人以美感, 2

称为黄金矩形. 黄金矩形常应用于工艺品设计中, 下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初
3

加工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是 ( ) A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 [答案] A [解析] 本小题主要考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识.

x 甲= x 乙=

0.598+0.625+0.628+0.595+0.639 =0.617, 5 0.618+0.613+0.592+0.622+0.620 =0.613, 5

故选 A. 9.执行如图所示的算法流程图,输出的 s 值为( )

A.-3 C. 1 3

1 B.- 2 D.2

[答案] D 1 1 [解析] 由框图可知 i=0,s=2→i=1,s= →i=2,s=- →i=3,s=-3→i=4, 3 2

s=2,循环终止,输出 s,故最终输出的 s 值为 2.
10.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁~ 18 岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下图所示.根据此图可得这 100 名学生中体 重在[56.5,64.5)内的学生人数是( )
4

A.20 C.40 [答案] C

B.30 D.50

[解析] 体重在[56.5,64.5)内的学生人数是 100×(0.07+2×0.05+0.03)×2=40, 故选 C. - 11. 若执行如下图所示的框图, 输入 x1=1, x2=2, x3=3,x =2, 则输出的数等于( )

A.1 C. 1 3

B.2 D. 2 3

[答案] D [解析] 通过框图可以看出本题的实质是求数据 x1,x2,x3 的方差,根据方差公式,得

S= [(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]= .
12.①某小区有 4000 人,其中少年人、中年人、老年人的比例为 1∶2∶4,为了了解 他们的体质情况,要从中抽取一个容量为 200 的样本;②从全班 45 名同学中选 5 人参加校 委会. Ⅰ.简单随机抽样法; Ⅱ.系统抽样法; Ⅲ.分层抽样法. 问题与方法配对正确的是( A.①Ⅲ,②Ⅰ C.①Ⅱ,②Ⅲ B.①Ⅰ,②Ⅱ D.①Ⅲ,②Ⅱ )

1 3

2 3

5

[答案] A [解析] 因为①中的总体是由层次明显的几部分组成, 故适宜用分层抽样方法, ②中总 体容量和样本容量都比较小,适宜用简单随机抽样的方法. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题中横线上) 13.由赋值语句

a=10; b=20; c=30; a=b; b=c; c=a;
输出 a,b,c. 描述的算法的输出结果为__________. [答案] 20 30 20 [解析] 由 b=20 及 a=b 知 a=20,由 c=30 及 b=c 知 b=30,由 c=a 及 a=20 知 c =20,故最后输出结果为 a=20,b=30,c=20.注意赋值语句的意义是将赋值符号右边表 达式(或变量)的值赋给赋值符号左端的变量. 14.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如下,则在区间[4,5)上的数据的频数为 ________.

[答案] 30 [解析] 本小题主要考查频率分布直方图. 频数 n=(1-0.05-0.10-0.15-0.40)×100=30. 15.阅读下边的算法流程图,若输出 s 的值为-7,则判断框内可填写________.

6

[答案] i<6 [解析] 由 s=2,i=1,s=2-1=1,

i=3,s=1-3=-2, i=5,s=-2-5=-7, i=7.
可知应填 i<6. 16.某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如图所示: 甲 9 6 5 3 7 8 1 2 1 8 0 0 0 1 2 3 4 7 2 0 7 5 2 9 6 3 乙 9 7 9 9

根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下面四个结论中,正确的是________(填 序号). ①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 ②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 ③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均数 ④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 [答案] ①②③ [解析] 对①,甲运动员得分的极差为 29,而乙运动员得分的极差为 16,故①正确; 对②,甲得分的中位数为 30,而乙得分的中位数为 26,故②正确;对③,由茎叶图知甲的 平均值大于乙的平均值,故③正确;对④,从茎叶图中知乙更稳定,④错误.故选①②③. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)用循环结构流程图描述求 1×2×3×4×5 的值的算法.

7

[解析] 流程图如下图所示:

18.(本小题满分 12 分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事 先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

(1)求回归直线方程 y=bx+a,其中 b=-20,a= y -b x ; (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 1 [解析] (1)由于 x = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 6

y = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.
所以 a= y -b x =80+20×8.5=250,从而回归直线方程为 y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得

1 6

L=x(-20x+250)-4(-20x+250)
=-20x +330x-1000 33 2 =-20(x- ) +361.25. 4 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定价为 8.25 元时,工厂可获得最大利润. 19.(本小题满分 12 分)某文艺晚会由乐队 18 人,歌舞队 12 人,曲艺队 6 人组成,需 要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本. 如果采用系统抽样法和分层抽样法来抽取, 都不用 剔除个体;如果容量增加一个,则在采用系统抽样时,需要剔除一个个体,求样本容量 n. [解析] 总体容量为 6+12+18=36(人). 36 n 当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为 ,分层抽样的比例是 ,抽取曲艺 n 36
2

8

队的人数为 ×6= (人),歌舞队的人数为 ×12= (人),乐队的人数为 ×18= (人). 36 6 36 3 36 2 所以 n 应是 6 的倍数,36 的约数,即 n=6,12,18,36. 当样本容量为(n+1)时,总体容量为 35 人,系统抽样的间隔为 因为 35 35

n

n

n

n

n

n

n+1

.

n+1

必须是整数,所以 n 只能取 6,即样本容量应该是 n=6.

20.(本小题满分 12 分)根据下面提供的程序框图,完成问题.

(1)若输入四个数,5,3,7,2,则最终输出的结果是什么? (2)你能说出该框图实现了一个什么样的算法吗? [解析] (1)最终输出结果是 2. (2)实现的算法是:求 a,b,c,d 四个数中的最小数. 第一个判断框中 a<b,a<c,a<d 如果同时成立,那么 a 为四个数中的最小数,否则 a 不是最小的,那么最小数在 b,c,d 中.第二个判断框 b<c,b<d 如果同时成立,则 b 为最 小数,依次类推,所以本题实质是求 a,b,c,d 四个数中最小的数. 21.(本小题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间 参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲 乙 82 81 79 78 95 88 93 84 92 95 80 75 83 80 90 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加 合适?请说明理由. [解析] (1)作出茎叶图如下.

9

(2)派甲参赛比较合适,理由如下:

x 甲= (70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85, x 乙= (70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,
2 2 2 2 2 2 s2 甲= [(78-85) +(79-85) +(81-85) +(82-85) +(84-85) +(88-85) +(93-

1 8 1 8

1 8

85) +(95-85) ]=35.5,
2 2 2 2 2 2 s2 乙= [(75-85) +(80-85) +(80-85) +(83-85) +(85-85) +(90-85) +(92-

2

2

1 8

85) +(95-85) ]=41. ∵ x 甲= x 乙,s甲<s乙, ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 22.(本小题满分 12 分)高三年级有 500 名学生,为了了解数学学科的学习情况,现从 中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表: 分组 [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) [125,135) [135,145) [145,155] 合计 4 12 频数(ni) ① 频率(fi) ② 0.050 0.200 0.300 0.275 ③ 0.050 ④
2 2

2

2

(1)根据上面图表, ①②③④处的数值分别为________、 ________、 ________、 ________; (2)画出[85,155]的频率分布直方图; (3)根据题中信息估计总体平均数(用组中值进行估计), 并估计总体落在[129,155]中的 频率. [解析] (1)随机抽出的人数为 12 4 =40,由统计知识知④处应填 1;③处应填 = 0.300 40

0.100 ; ②处应 填 1 - 0.050 - 0.1 - 0.275 - 0.300 - 0.200 - 0.050 = 0.025 ; ①处应 填 0.025×40=1.

(2) 求 出 各 组 的 频 率 / 组 距 (

fi
Δ xi

) , 从 上 往 下 依 次 为 0.0025 ,

10

0.005,0.020,0.030,0.0275,0.010,0.005,频率分布直方图如图.

(3) 利 用 组 中 值 算 得 平 均 数 为 90×0.025 + 100×0.05 + 110×0.2 + 120×0.3 + 130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5; 6 总体落在[129,155]上的频率为 ×0.275+0.1+0.05=0.315. 10 故总体平均数约为 122.5,总体落在[129,155]上的频率约为 0.315.

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